Hyperbolsk ortogonalitet er et begreb i euklidisk geometri . To linjer siges at være hyperbolsk ortogonale , når de er refleksioner fra hinanden langs asymptoten af den givne hyperbel .
To specielle hyperbler bruges ofte i flyet:
(A) xy = 1 for y = 0 som en asymptote. Når den reflekteres langs x-aksen, bliver linjen y = mx y = -mx . I dette tilfælde er linjerne hyperbolske ortogonale, hvis deres hældninger er modsatte tal . (B) x 2 - y 2 = 1 for y = x som en asymptote. For linjer y = mx for −1 < m < 1, når x = 1/ m , er y = 1. Punktet (1/ m , 1) på linjen reflekteres gennem y = x til (1, 1/ m ). Derfor har den reflekterede linje en hældning på 1/m, og hældningerne af de hyperbolske ortogonale linjer er omvendt til hinanden.Relationen mellem hyperbolsk ortogonalitet gælder faktisk for klasser af parallelle linjer i planet, hvor enhver bestemt linje kan repræsentere en klasse. For en given hyperbel og en asymptote A er et par linjer ( a, b ) således hyperbolske ortogonale, hvis der eksisterer et par ( c, d ), således at , og c er reflektionen af d gennem A.
Egenskaben af en radius ortogonal til en tangent på en kurve udvides fra en cirkel til en hyperbel ved hjælp af begrebet hyperbolsk ortogonalitet. [1] [2]
Siden fremkomsten af Minkowski rumtid i 1908 er begrebet hyperbolsk ortogonale til tidslinjen (tangens til verdenslinjen ) punkter i rumtidsplanet blevet introduceret for at bestemme samtidigheden af begivenheder i forhold til en given tidslinje. Minkowskis undersøgelse bruger type (B) hyperbole. [3] To vektorer er normale (i betydningen hyperbolsk ortogonalitet) når
Hvor c = 1, y og z er lig med nul, x ≠ 0, t 1 ≠ 0, så .
I analytisk geometri bruges en bilineær form til at beskrive ortogonalitet , hvor to elementer er ortogonale, når deres bilineære form forsvinder. I planet med komplekse tal er den bilineære form , mens den bilineære form i planet med hyperbolske tal er
To vektorer z 1 og z 2 i det komplekse plan, og w 1 og w 2 i det hyperbolske plan siges at være henholdsvis euklidisk ortogonale og hyperbolske ortogonale , hvis deres respektive indre produkter af bilineære former er nul. [fire]For en given hyperbel med asymptote A giver dens refleksion ved A den konjugerede hyperbel . Enhver diameter af den oprindelige hyperbel reflekteres til konjugatdiameteren. I relativitetsteorien tages retninger givet af konjugerede diametre som rumlige og tidsmæssige akser.
Som E. T. Whittaker skrev i 1910, "Hyperbelen er uændret, hvis et par konjugatdiametre tages som nye akser, og den nye længdeenhed tages i forhold til længden af en af disse diametre." [5] På dette relativitetsprincip skrev han derefter Lorentz-transformationen i sin moderne form ved at bruge begrebet hurtighed .
Edward B. Wilson og Gilbert N. Lewis udviklede konceptet indenfor syntetisk geometri i 1912. De bemærker, at "i vores plan er intet par vinkelrette hyperbolske-ortogonale linjer bedre egnet som koordinatakser end noget andet par" [1]
Begrebet hyperbolsk ortogonalitet opstod i analytisk geometri under hensyntagen til de konjugerede diametre af ellipser og hyperbler. [6] Hvis g og g' er hældningerne af konjugatdiametrene, så i tilfælde af en ellipse og i tilfælde af en hyperbel. Hvis a = b , er ellipsen en cirkel, de konjugerede diametre er vinkelrette, hyperbelen er rektangulær, og de konjugerede diametre er hyperbolsk ortogonale.
I terminologien for projektiv geometri er operationen med at tage en hyperbolsk ortogonal linje en involution . Antag, at den lodrette linjehældning er betegnet som ∞, så har alle linjer en hældning i den projektivt forlængede reelle linje . Afhængigt af hvilken af hyperbelerne (A) eller (B) der bruges, er operationen et eksempel på hyperbolsk involution , hvor asymptoten er invariant.