Hurtigt-langsomt system

Et hurtigt-langsomt system i matematik er et dynamisk system , hvor der foregår processer på forskellige tidsskalaer. Fasevariablerne i et sådant system er opdelt i to klasser: "hurtige" og "langsomme" variabler. Ændringshastigheden af "hurtige" variabler på næsten alle punkter i faserummet er meget større end ændringshastigheden for "langsomme" variable. Banerne for sådanne systemer består af skiftende sektioner af langsom "drift" og hurtige "pauser". Hurtigt-langsomme systemer beskriver forskellige fysiske og andre fænomener, hvor den gradvise evolutionæreakkumuleringen af små ændringer over tid fører til en brat overgang af systemet til et nyt dynamisk regime. [en]

Relaterede termer: enkelt forstyrret system , afslapningsoscillationer , dynamiske bifurkationer .

Formel definition og grundlæggende begreber

Overvej familien af systemer af almindelige differentialligninger

${\begin{cases}{\dot {x}}=f(x,y,\varepsilon )\\{\dot {y}}=\varepsilon g(x,y,\varepsilon ),\end {cases}}\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\ y\in \mathbb {R} ^{m},\ \varepsilon \in (\mathbb {R} ,0)$

Hvis f og g jævnt afhænger af deres argumenter og er en lille parameter , så siges familien skrevet på denne måde at definere et hurtigt-langsomt system. Variablen x kaldes den hurtige variabel, y kaldes den langsomme variabel. Teorien om hurtigt-langsomme systemer studerer den asymptotiske opførsel af systemer af denne type for . $\varepsilon$ $\varepsilon\til 0$

En langsom kurve er et sæt nuller af en funktion f :. Når systemet kaldes "hurtigt": variablen y er en fast parameter. Den langsomme kurve består af faste punkter i det hurtige system og er således dets invariante mangfoldighed . For små er et hurtigt-langsomt system en lille forstyrrelse af et hurtigt: uden for ethvert fast kvarter overstiger ændringshastigheden af variablen vilkårligt ændringshastigheden for variablen . Fra et geometrisk synspunkt betyder det, at uden for nærheden af den langsomme kurve er systemets baner praktisk talt parallelle med aksen for hurtig bevægelse . (I illustrationerne er det traditionelt afbildet lodret, se figuren.) ${\displaystyle M:=\{(x,y)\midt f(x,y,0)=0\))$ $\varepsilon=0$ $\varepsilon \neq 0$ $M$ $x$ $y$ $x$

For en sektion af en langsom kurve, der er lille i et lille kvarter og er unikt projiceret langs retningen af hurtig bevægelse (det vil sige, at den ikke har folder eller andre designfunktioner), bevarer systemet en invariant manifold , som er tæt på den langsomme kurve . Denne invariante manifold kaldes den sande langsomme kurve . Dens eksistens kan udledes af Fenichels sætning eller fra teorien om centermanifolder . Det er specificeret på en ikke-unik måde, men alle sådanne invariante manifolder er eksponentielt tæt på (det vil sige, afstanden mellem dem estimeres til ). $\varepsilon$ $O(\varepsilon )$ $M$ $O(\exp -C/|\varepsilon |)$

Projektionen af vektorfeltet i det hurtige system langs den hurtige bevægelses retning på den langsomme kurve kaldes det langsomme felt , og ligningen givet af dette felt og defineret på den langsomme kurve kaldes den langsomme ligning . Dynamikken af det forstyrrede system (at ) på den sande langsomme kurve tilnærmes af den langsomme ligning med en nøjagtighed på . $\varepsilon \neq 0$ $O(\varepsilon )$

Blandet system

Til analyse af hurtig-langsomme systemer er det ofte nyttigt at overveje det såkaldte blandede system . Vi antager, at på den langsomme kurve er dynamikken givet af den langsomme ligning, og uden for den langsomme kurve, af det hurtige system. Et sådant systems "bane" (den såkaldte "singulære bane") er en stykkevis jævn kurve bestående af skiftende buer af den stabile del af den langsomme kurve og hurtige brud.

I hurtig-langsomme systemer på planet (det vil sige, når de hurtige og langsomme variable er en-dimensionelle), under visse ikke-degenerationsforhold, tillader de enestående baner i det blandede system en at "simulere" adfærden af den hurtige- langsomt system for små : den "rigtige" bane passerer i -nabolaget af ental . Dens dynamik består af skiftende faser af langsom "drift" nær de stabile sektioner af den langsomme kurve og hurtige "brud" langs banerne med hurtig bevægelse. $\varepsilon \neq 0$ $O(\varepsilon )$

I løbet af "langsom" bevægelse rejser banen en fast afstand i en tid af størrelsesordenen , mens den eksponentielt tiltrækkes af den tilsvarende sande langsomme kurve (og andre baner). $O(1/\varepsilon )$

Afslapningscyklusser

Overvej følgende hurtigt-langsomme system forbundet med Van der Pol-oscillatoren :

${\begin{cases}{\dot {x}}&=-y+xx^{3};\\{\dot {y}}&=\varepsilon x.\end{cases}}$

Dens langsomme kurve er en kubisk parabel . (Se fig.) I betragtning af et blandet system er det let at konstruere den såkaldte "entalscyklus", der går gennem punkterne , , , . Bemærk, at cyklussen skyldes, at det langsomme felt er rettet mod højre øverst på grafen og til venstre nederst; desuden på den ustabile del af den langsomme kurve har det langsomme system et fast punkt. $y=xx^{3}$ $G_{1}$ $F_{2}$ $G_{2}$ $F_{1}$

I nærheden af denne enestående cyklus har det hurtigt-langsomme system en "rigtig" stabil grænsecyklus. Faktisk fortsætter den sande langsomme kurve nær segmentet i direkte tid ud over stallpunktet , bryder sammen, når i nærheden af den nedre del af den langsomme kurve, bevæger sig derefter til venstre nær den sande langsomme kurve svarende til segmentet , gennemgår en stall opad og falder igen i nærheden af buen . På grund af effekten af eksponentiel konvergens af baner, når man bevæger sig nær stabile sektioner af en langsom kurve (se slutningen af det foregående afsnit), er Poincaré-kortet fra det tværgående til sig selv (se fig.) et sammentrækningskort og har derfor et sammentrækningskort. fast punkt . Det betyder, at systemet har en grænsecyklus. Et sådant system siges også at opleve afspændingssvingninger . $\varepsilon >0$ $F_{1}G_{1}$ $G_{1}$ $F_{2}G_{2}$ $F_{1}G_{1}$ $J$

Historisk oversigt

Afslapningsvibrationer

Afslapningsoscillationer blev først opdaget i radioteknik . For at beskrive svingninger i et kredsløb , der inkluderer to modstande , en kapacitans , en induktans og en tetrode , foreslog B. Van der Pol i slutningen af 20'erne af det XX århundrede [2] en andenordens almindelig differentialligning ( Van der Pol ligning ), afhængigt af parameteren, som vi vil betegne med . Den angivne parameter blev udtrykt gennem parametrene for konturelementerne. Ved små svingninger i kredsløbet var de tæt på harmoniske, men med en stigning ændrede deres karakter sig, og ved store værdier af parameteren begyndte man at skelne sektioner af to typer i dynamikken i den oscillerende proces: "langsomt" ” ændringer og hurtige ”spring” fra en tilstand til en anden. Van der Pol foreslog, at sådanne svingninger kaldes afslapningssvingninger , og fremsatte hypotesen om, at de tilsvarende løsninger bliver diskontinuerlige. (I denne henseende kaldes afslapningssvingninger også ofte diskontinuerlige .) $\mu$ $\mu$ $\mu$ $\mu \to +\infty$

Lignende effekter er også blevet observeret i andre fysiske systemer. Især under analysen af forskellige multivibratorkredsløb fandt A. A. Andronov og A. A. Witt [1] , at nogle "parasitære" parametre (såsom modstand eller selvinduktans af en leder), traditionelt blev kasseret på grund af deres relative lillehed ved opbygning af en model , kan betydeligt påvirke systemets adfærd: for eksempel deltage i dannelsen af positiv feedback og dermed spille en nøglerolle i forekomsten af selvsvingninger . Deres afvisning førte således til en utilstrækkelig model. Indledningsvis blev indflydelsen af små parametre taget i betragtning ved at introducere "springpostulatet" foreslået af L. I. Mandelstam , ifølge hvilket det ud fra fysiske overvejelser blev erklæret, at systemet efter at have nået en bestemt tilstand "øjeblikkeligt" går over i en anden stat. Den matematiske begrundelse af "springpostulatet" blev opnået af N. A. Zheleztsov og L. V. Rodygin [3] [4] , og krævede overvejelse af ligninger, hvor den "parasitiske" lille parameter var en koefficient ved den højeste afledede, og dens inklusion steg rækkefølgen af ligningen - eller med andre ord dimensionen af faserummet i det tilsvarende system. Siden 1940'erne begyndte forskellige forskere at overveje formsystemer

\left\{{\begin{matrix}\varepsilon x'&=&f(x,y,\varepsilon ),\\y'&=&g(x,y,\varepsilon ).\end{matrix} }\ret.

((*))

eller efter skift til en anden tidsskala : $t=\tau /\varepsilon$

{\begin{cases}{\dot {x}}=f(x,y,\varepsilon ),\\{\dot {y}}=\varepsilon g(x,y,\varepsilon ),\ slut{cases}}

((**))

hvor og kan være, generelt set, multidimensionelle koordinater, og er en lille parameter. Den klassiske van der Pol-ligning er reduceret til et system af lignende form ved hjælp af Liénard-transformationen (i dette tilfælde ). Sådanne systemer i moderne terminologi kaldes "hurtigt-langsomt": koordinere - hurtigt, - langsomt. Af interesse er den asymptotiske opførsel af løsninger til . $x$ $y$ $\varepsilon$ $\varepsilon \sim 1/\mu$ $x$ $y$ $\varepsilon\til 0$

Hurtige og langsomme systemer

Faseportrætterne af systemer (*) og (**) ved fast falder sammen, men den begrænsende adfærd ved er anderledes: grænsen (*) kaldes et langsomt system (den angiver bevægelse i "langsom tid" ), og grænsen ( **) kaldes hurtig . Tractoriaerne i det hurtige system ligger i fly , og sættet af nuller af funktionen , kaldet den langsomme overflade , består udelukkende af enkeltstående (faste) punkter i det hurtige system (som derfor ikke er isolerede). Omvendt ligger banerne for et langsomt system helt på den langsomme overflade. $\varepsilon \neq 0$ $\varepsilon \to 0$ $\tau$ $y={\mathrm {c} onst}$ ${\displaystyle M:=\{(x,y)\midt f(x,y,0)=0\))$ $f$

Overvejelse af disse begrænsende systemer gjorde det muligt at forklare udseendet af "øjeblikkelige hop". Det langsomme system svarer til modellen, i hvis konstruktion "parasitære" små parametre blev kasseret. Det beskriver tilstrækkeligt opførselen af et rigtigt system for små , men kun så længe bevægelsen forekommer nær de langsomme overfladesegmenter, som består af stabile enkeltpunkter i det hurtige system. Imidlertid kan banen for et langsomt system på et tidspunkt nå grænsen til det tiltrækkende område. I dette øjeblik kan det virkelige systems bane opleve en stall : forlad nærheden af den langsomme overflade og skift fra slowmotion til hurtig bevægelse, som er sat af det hurtige system. Dette er det observerede "spring" (på en langsom tidsskala sker det "øjeblikkeligt", det vil sige, at banen har en diskontinuitet; på en hurtig tidsskala, i en tid af størrelsesordenen ), hvilket ikke kan forklares ved at negligere små parametre. I dette tilfælde kan banen, efter den hurtige dynamik, igen falde på en stabil del af den langsomme overflade, hvorefter den hurtige bevægelse igen vil blive erstattet af langsom bevægelse mv. $\varepsilon$ $\varepsilon \neq 0$ $\tau$ $O(1)$

Således blev det muligt at beskrive adfærden af løsninger af hurtig-langsomme systemer, idet man i dem betragtede vekslende faser af langsom bevægelse langs stabile sektioner af den langsomme overflade, bestemt af det langsomme system, og stall langs det hurtige systems baner. Hvis de hurtige og langsomme koordinater er endimensionelle (det vil sige, hurtig-langsomme systemer på planet betragtes), er denne beskrivelse opfyldt af den typiske bane for et typisk system. Den lukkede bane, der passerer gennem sektionerne af hurtige og langsomme bevægelser, er en afslapningscyklus, der er ansvarlig for fremkomsten af afslapningssvingninger.

Yderligere forskning på dette område var hovedsageligt rettet mod at finde asymptotiske forhold med hensyn til forskellige parametre for systemets sande baner (for eksempel perioden med afspændingssvingninger). Væsentlige vanskeligheder var forårsaget af analysen af dynamikken i nærheden af nedbrydningspunkterne, hvor skiftet fra hurtig til langsom bevægelse sker. Dette problem blev løst af L. S. Pontryagin og E. F. Mishchenko i slutningen af 1950'erne [5] [6] . Vigtige resultater blev opnået af A. N. Tikhonov, A. B. Vasil'eva, L. Flatto, N. Levinson og andre [7] [8] . De første led i den asymptotiske række for perioden med afslapningssvingninger i Van der Pol-ligningen blev først beregnet af A. A. Dorodnitsyn [9] . En række asymptotika for det generelle tilfælde af et hurtigt-langsomt system på et fly blev opnået af J. Haag i 40'erne [10] [11] . Metoderne udviklet af Pontryagin og Mishchenko gjorde det muligt at opnå fuldstændig asymptotik til løsninger af typiske hurtigt-langsomme systemer på flyet, som blev beskrevet i monografien af E. F. Mishchenko og N. Kh. Rozov [12] , som er blevet en klassiker . $\varepsilon$ $\varepsilon\til 0$

Stramning buckling og ænder

Det viste sig dog, at denne enkle kvalitative beskrivelse ikke udtømmer alle mulige typer af baner for hurtigt-langsomme systemer. Så i 70'erne opdagede Pontryagin fænomenet med at forsinke tabet af stabilitet : det viste sig, at i analytiske hurtigt-langsomme systemer med en todimensionel hurtig koordinat, efter at have passeret stabilitetsgrænsen, kan banen forblive i lang tid i nærheden af den allerede ustabile del af den langsomme overflade (passerer langs den adskilt fra nul afstand), og først derefter gennemgå en sammenbrud og skifte til hurtig bevægelse. På et specifikt eksempel blev denne effekt undersøgt i arbejdet af M. A. Shishkova [13] i 1973, udført under vejledning af Pontryagin; den generelle sag blev analyseret af A. I. Neishtadt [14] i 1985.

En lignende effekt blev opdaget af J. Ribas elever (E. Benois, J. Callot, F. Diene, M. Diene) [15] [16] i begyndelsen af 80'erne i hurtigt-langsomme systemer med et hurtigt og et langsomt variabel. De undersøgte fødslen af en afslapningsgrænsecyklus i Van der Pol-systemet med en ekstra parameter. Det viste sig, at når denne parameter på et fast punkt passerer et eksponentielt snævert (i ) interval (det vil sige et interval af rækkefølgen ), passerer grænsecyklussen født fra et enkelt punkt som et resultat af Andronov-Hopf-bifurkationen gennem flere udviklingsstadier, før de tager form af en klassisk afslapningscyklus. I dette tilfælde, som det viste sig, for mellemværdier af parameteren passerer de tilsvarende grænsecyklusser nær nogle buer af den ustabile del af den langsomme kurve. Sådanne baner blev kaldt "ænder" ( fransk canard , nu bruges engelsk engelsk duck også ) - dels på grund af den kontraintuitive effekt, som først blev opfattet som en "avisand", dels på grund af sin form, der vagt ligner en flyvende and [7] [17] . Der er fundet skudopløsninger i forskellige kemiske, biologiske og andre modeller. [atten] $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\exp(-C/\varepsilon )$

Oprindeligt blev andeopløsninger undersøgt med metoder til ikke-standardanalyse , men snart var de i stand til at anvende de allerede klassiske metoder for asymptotiske serier på dem (W. Ekkauz [19] , E. F. Mishchenko, A. Yu. Kolesov, Yu. S Kolesov, N. Kh Rozov [20] [21] ), og senere - den geometriske teori om enkeltforstyrrede systemer (udviklet af N. Fenichel [22] ) ved brug af blow-up-metoden (F. Dumortier og R. Roussari [ 23] , M. Krupa og P. Smolyan [24] ). Det viste sig, at andeløsninger er et "sjældent" fænomen i flysystemer. Især tiltrækningsskudscyklusser, som kan detekteres i løbet af et numerisk eksperiment , vises kun i nærværelse af en ekstra parameter, og sættet af "skud"-værdier for denne parameter for en fast værdi er eksponentielt snævert i . $\varepsilon$ $\varepsilon$

I 2001 opdagede Yu. S. Ilyashenko og J. Guckenheimer [25] en fundamentalt ny adfærd for hurtigt-langsomme systemer på en todimensionel torus. Det blev vist, at for en bestemt familie af systemer, i mangel af yderligere parametre , for en vilkårligt lille værdi på , kan systemet have en stabil andecyklus. Efterfølgende viste I. V. Shchurov [26] , at et lignende fænomen også observeres på en typisk måde - i nogle åbne sæt af hurtigt-langsomme systemer. $\varepsilon$

Litteratur

V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Teori om bifurkationer // Dynamiske systemer-5. Resultater af videnskab og teknologi. Moderne matematikproblemer. grundlæggende retninger. - M .: VINITI , 1986. - T. 5 . - S. 5-218 . — ISSN 0233-6723 .
DV Anosov Om udviklingen af teorien om dynamiske systemer i løbet af det sidste kvarte århundrede , kapitel Teori om singular forstyrrelser .

Noter

↑ 1 2 Andronov A.A., Witt A.A., Khaikin S.E. Teori om vibrationer. — 2. udgave. - 1959. - S. 727-855. — 914 s.
↑ van der Pol, B. , On relaxation-oscillations, The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. og J. of Sci., 2 :7 (1927), 978-992
↑ Zheleztsov N. A., Rodygin L. V. Om teorien om en symmetrisk multivibrator. — Dokl. AN SSSR, 81 :3 (1951), 391-392.
↑ N. A. Zheleztsov , Om teorien om diskontinuerlige vibrationer i andenordens systemer. Izv. højere uddannelsesinstitutioner. Radiophysics 1 :1 (1958), 67-78.
↑ L. S. Pontryagin , Asymptotisk adfærd af løsninger af systemer af differentialligninger med en lille parameter ved højere derivater, Izv. USSR's Videnskabsakademi. Ser. Mat 21 :5 (1957), 605-626
↑ E. F. Mishchenko, L. S. Pontryagin , Afledning af nogle asymptotiske estimater for løsninger af differentialligninger med en lille parameter ved de afledte, Izv. USSR's Videnskabsakademi. Ser. Mat 23 :5 (1959), 643-660
↑ 1 2 V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Dynamiske systemer - 5. VINITI, Moderne matematikproblemer. grundlæggende retninger. 5 , 1986.
↑ se værker citeret i V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Dynamiske systemer - 5. VINITI, Moderne matematikproblemer. grundlæggende retninger. 5 , 1986 og E. F. Mishchenko, N. Kh. Rozov , Differentialligninger med en lille parameter og afslapningsoscillationer, Moskva, Nauka, 1975.
↑ A. A. Dorodnitsyn , Asymptotisk løsning af Van der Pol-ligningen, Prikl. matematik. i Mekhan., 11 :3 (1947), 313-328
↑ Haag J. Etude asymptotique des oscillations de relaxation. Ann. sci. Ecole Standard. Sup. 60 (1943).
↑ Haag J. Eksempler concrets d'etude asymptotique d'oscillations de relaxation. Ann. sci. Ecole Standard. Sup. 61 (1944).
↑ E. F. Mishchenko, N. Kh. Rozov , Differentialligninger med en lille parameter og afslapningsoscillationer, Moskva, Nauka, 1975.
↑ M. A. Shishkova, Betragtning af et system af differentialligninger med en lille parameter ved højere afledte, Dokl. AN SSSR, 1973, 209 :3, 576-579.
↑ Neishtadt A. I. Asymptotisk undersøgelse af tabet af stabilitet af ligevægt med et par egenværdier, der langsomt passerer gennem den imaginære akse. Held og lykke mat. Nauk, 1985, 40 :5, 190-191
↑ E. Benoit, J.F. Callot, F. Diener, M. Diener . Chasse au canard. Collectanea Mathematica, 31-32 (1981), 37-119.
↑ M. Diener , The canard unchained or how fast/slow dynamiske systems bifurcate, The Mathematical Intelligencer 6 (1984), 38-48.
↑ Martin Wechselberger , Canards Arkiveret 9. februar 2019 på Wayback Machine , Scholarpedia, 2(4):1356 (2007),
↑ (Se f.eks. J. Moehlis , Canards in a Surface Oxidation Reaction. J. of Nlinear Sci. 12 :4, 319-345 og de der citerede værker.
↑ W. Eckhaus , Afslapningsoscillationer inklusive en standardjagt på franske ænder, i Asymptotic Analysis II, Springer Lecture Notes Math. 985 (1983), 449-494.
↑ A. Yu. Kolesov, E. F. Mishchenko. Pontryagins slæbende fænomen og stabile andecyklusser af multidimensionelle afslapningssystemer med en langsom variabel. Mathematical Collection, 181 :5 (1990), 579-588.
↑ Mishchenko E. F., Kolesov Yu. S., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Periodiske bevægelser og bifurkationsprocesser i enkeltstående forstyrrede systemer. Moskva, "Fysisk-matematisk litteratur", 1995
↑ N. Fenichel , Geometrisk singularforstyrrelsesteori for almindelige differentialligninger, J. of Diff. Eq., 31 (1979), s. 53-98.
↑ F. Dumortier og R. Roussarie , Canard-cykler og centermanifolder, Mem. amer. Matematik. Soc. 121 :577 (1996).
↑ M. Krupa, P. Szmolyan , Udvidelse af geometrisk singular forstyrrelsesteori til ikke-hyperboliske punkter - fold- og canard-punkter i to dimensioner, SIAM J. Math. Anal., 33 :2, 286-314.
↑ J. Guckenheimer, Yu. S. Ilyashenko , The Duck and the Devil: Canards on the Staircase, Moscow Math. J. , 1 :1, (2001), 27-47.
↑ IV Schurov, Ænder på torus: eksistens og unikhed (utilgængeligt link) , Journal of dynamic and control systems , 16 :2 (2010), 267-300.