Van der Pol oscillator

Van der Pol oscillatoren er en ikke-lineært dæmpet oscillator , der adlyder ligningen

{d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0

, hvor

x

er punktets koordinat , afhængig af tidspunktet ;

t

\mu

er den koefficient, der karakteriserer ulineariteten og dæmpningskraften af svingninger.

Historie

Van der Pol-oscillatoren blev foreslået af den hollandske ingeniør og fysiker Balthasar van der Pol , mens han var hos Philips . [1] Van der Pol fandt stabile svingninger, som blev kaldt afslapningsoscillationer, [ 2] kendt som "grænsecyklusser" . , som altid er tæt på bølgernes naturlige frekvenser. Dette var en af de første observationer af deterministisk kaos . [fire]

Van der Pol-ligningen bruges i både fysik og biologi . Så for eksempel i biologi blev Fitz Hugh-Nagumo-modellen skabt. Denne ligning blev også brugt i seismologi til at modellere geologiske fejl . [5]

Todimensional kasus

Ved hjælp af Liénards sætning kan man bevise, at systemet har en grænsecyklus. Det følger af denne sætning, at . Ud fra dette kan vi udlede [6] van der Pols oscillatorligninger for det todimensionelle tilfælde: $y=x-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {1}{\mu }}{\frac {dx}{dt}}$

\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)\ \{\frac {dy}{dt}}&={\frac {1}{\mu }}x\end{aligned}}\right.

Du kan også foretage en anden udskiftning og få $y={\frac {dx}{dt))$

\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y\\{\frac {dy}{dt}}&=\mu (1-x^{2})yx\ ende{aligned}}\right.

Oscillator med frie vibrationer

Van der Pol-oscillatoren har to interessante tilstande: ved og ved . Det er indlysende, at den tredje tilstand - - ikke eksisterer, da dæmpningen i systemet ikke kan være negativ. $\mu=0$ $\mu>0$ $\mu<0$

1) Når altså oscillatoren beregnes uden dæmpning, så konverteres ovenstående ligninger til formen

\mu=0

{d^{2}x \over dt^{2}}+x=0

. Dette er ligningen for en harmonisk oscillator . 2) For har systemet visse grænsecyklusser. Jo længere fra nul, jo mindre er oscillatorens oscillationer, der ligner harmoniske.

\mu>0

\mu

Tvungen vibrationer

Tvungede svingninger af Van der Pol oscillatoren, både med og uden energitab, beregnes med formlen

{d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=A\sin(\omega t)

, hvor

EN

er amplituden af det eksterne harmoniske signal,

\omega

er dens vinkelfrekvens.

Noter

↑ Cartwright, ML, "Balthazar van der Pol" Arkiveret 18. oktober 2019 på Wayback Machine , J. London Math. soc. 35 , 367-376 (1960).
↑ Van der Pol, B., "On relaxation-oscillations", The London, Edinburgh og Dublin Phil. Mag. & J. of Sci. 2 (7) , 978-992 (1927).
↑ Van der Pol, B. og Van der Mark, J., "Frequency demultiplication", Nature , 120 , 363-364, (1927).
↑ Kanamaru, T., "Van der Pol oscillator" Arkiveret 9. juli 2009 på Wayback Machine , Scholarpedia , 2 (1), 2202, (2007).
↑ Cartwright, J., Eguiluz, V., Hernandez-Garcia, E. og Piro, O., "Dynamics of elastic excitable media", Internat. J. Bifur. ChaosAppl. sci. Engrg. 9 , 2197-2202, (1999).
↑ Kaplan, D. og Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics , Springer, 240-244, (1995)