Central manifold

Centermanifolden af et singulærpunkt i en autonom almindelig differentialligning er en invariant manifold i faserummet, der passerer gennem singularispunktet og tangerer det invariante centrale underrum af lineariseringen af differentialligningen. [1] Et vigtigt studieobjekt i teorien om differentialligninger og dynamiske systemer . På en måde er hele den ikke-trivielle dynamik i systemet i nærheden af det enestående punkt koncentreret om centermanifolden. [2]

Formel definition

Overvej en autonom differentialligning med entalspunkt 0:

${\dot {x}}=Ax+f(x),\quad (*)$

hvor , er en lineær operator, er en glat funktion af klasse , og og . Med andre ord er lineariseringen af vektorfeltet ved entalspunktet 0. ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n))$ $EN$ $f(x)$ $C^{k+1}$ $f(0)=0$ $Df(0)=0$ $Økse$

underrum	titel	spektrum A
$T^{s}$	stabil _ _	$\operatorname {Re} \lambda <0$
$T^{u}$	ustabil _ _	$\operatorname {Re} \lambda >0$
$T^{c}$	central ( i midten )	$\operatorname {Re} \lambda =0$

Ifølge de klassiske resultater af lineær algebra nedbrydes et lineært rum til en direkte sum af tre -invariante underrum , hvor de bestemmes af tegnet for den reelle del af de tilsvarende egenværdier (se tabel) $EN$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=T^{s}\oplus T^{u}\oplus T^{c))$ ${\displaystyle T^{s},T^{u},T^{c))$

Disse underrum er invariante manifolder af et lineariseret system, hvis løsning er en matrixeksponent . Det viser sig, at dynamikken i systemet i nærheden af et enkelt punkt i sine egenskaber er tæt på dynamikken i et lineariseret system. Mere præcist er følgende påstand sand: [3] [4] ${\dot {x}}=Ax$ ${\displaystyle x(t)=e^{At}x_{0))$

Sætning (på den midterste manifold).

Antag, at højre side af differentialligningen (*) tilhører klassen , . Så, i nærheden af entalspunktet, er der varianter og klasser og henholdsvis invariante under differentialligningens faseflow. De rører ved oprindelsen underrummene og og kaldes henholdsvis stabile , ustabile og centermanifolder . $C^k$ $2\leq k<\infty$ $W^{s},W^{u}$ $W^{c}$ $C^{k},C^{k}$ $C^{k-1}$ $T^{s},T^{u}$ $T^{c}$

I det tilfælde, hvor højre side af ligningen (*) tilhører klassen , er manifolderne og også til klassen , men centermanifolden kan generelt kun være endeligt glat. Desuden, for ethvert vilkårligt stort antal, hører manifolden til klassen i nogle kvarterer , der trækker sig sammen til et enkelt punkt ved , således at skæringspunktet mellem alle kvarterer kun består af selve singularpunktet [5] . ${\displaystyle C^{\infty ))$ ${\displaystyle W^{s))$ $W^{u}$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $W^{c}$ $k$ $W^{c}$ ${\displaystyle C^{k))$ $U_k$ $k\to\infty$ $U_k$

Stabile og ustabile invariante manifolder kaldes også hyperbolske , de er unikt definerede; samtidig er et lokalcentermanifold ikke entydigt defineret. Det er klart, at hvis systemet (*) er lineært, så falder de invariante manifolds sammen med de tilsvarende invariante underrum af operatøren . $EN$

Eksempel: sadelpunkt

Ikke-degenererede entalspunkter i planet har ikke en centermanifold. Overvej det enkleste eksempel på et degenereret entalspunkt: en sadelknude af formen

${\begin{cases}{\dot {x}}=x^{2}\\{\dot {y}}=y\end{cases}}$

Dens ustabile manifold falder sammen med Oy-aksen og består af to lodrette adskillelser og selve singularpunktet. De resterende fasekurver er givet ved ligningen $\{x=0,y>0\}$ $\{x=0,y<0\}$

$y(x)=y_{0}\exp \left({\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {1}{x}}\right)$ ,

hvor . $y(x_{0})=y_{0}$

Det er let at se, at i venstre halvplan falder den eneste fasekurve, der tenderer mod entalspunktet, sammen med Ox-aksens stråle . Samtidig er der i højre halvplan uendeligt mange ( kontinuum ) fasekurver, der har tendens til nul - det er grafer for funktionen y(x) for enhver og enhver . På grund af det faktum, at funktionen y(x) er flad ved nul, kan vi komponere en glat invariant manifold ud fra strålen , punktet (0, 0) og enhver bane i højre halvplan. Enhver af dem vil lokalt være punktets midtermanifold (0, 0). [6] $\{x<0,y=0\}$ $x_{0}>0$ $y_0$ $\{x<0,y=0\}$

Globale centermanifolder

Hvis vi betragter ligningen (*) ikke i et eller andet område af entalspunktet 0, men i hele faserummet , kan vi definere det globale centermanifold . Uformelt set kan det defineres som en invariant manifold, hvis baner ikke har en tendens til uendelig (i fremad eller tilbage) langs hyperbolske retninger. Især indeholder den globale centermanifold alle afgrænsede baner (og dermed alle grænsecyklusser , entalspunkter , separatrix-forbindelser osv.) [7] $\mathbb {R} ^{n}$

Overvej projektionerne af rummet på de tilsvarende invariante underrum af operatøren . Vi definerer også et underrum og en projektion på det. Centermanifolden er sættet af punkter i faserummet, således at projektionen af baner, der starter fra , på det hyperbolske underrum, er afgrænset. Med andre ord ${\displaystyle \pi _{s},\ \pi _{u},\pi _{c))$ $\mathbb {R} ^{n}$ $EN$ $T^{h}=T^{u}\oplus T^{s}$ $\pi _{h}$ $W^{c}$ $x$ $x$

$W^{c}:=\venstre\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{t\in \mathbb {R} }|\pi _{h}({\ tilde {x}}(t,x))|<\infty \right\}$ ,

hvor er en løsning af ligning (*) sådan at . [otte] ${\tilde {x}}(t,x)$ ${\tilde {x}}(0,x)=x$

For eksistensen af et globalt centermanifold skal yderligere betingelser pålægges funktionen: afgrænsethed og Lipschitz-egenskab med en tilstrækkelig lille Lipschitz-konstant. I dette tilfælde eksisterer et globalt centermanifold, er i sig selv en Lipschitz-undermanifold af , og er unikt defineret. [8] Hvis vi kræver glathed af rækkefølgen og lillehed af den afledte, så vil det globale centermanifold have jævnhed af orden og røre det centrale invariante underrum ved entalspunktet 0. Det følger, at hvis vi betragter begrænsningen af det globale centrum manifold til et lille kvarter af ental punkt, så vil det være et lokalt center manifold er en måde at bevise sin eksistens. Selvom systemet (*) ikke opfylder betingelserne for eksistensen af et globalt centermanifold, kan det modificeres uden for et område på nul (ved at gange med en passende glat afskæringsfunktion af typen " cap "), således at disse betingelser begynder at blive opfyldt, og overveje den begrænsning, at de modificerede globale centrale manifoldsystemer. Det viser sig, at det omvendte udsagn også kan formuleres: man kan globalisere et lokalt givet system og udvide det lokale centermanifold til det globale. [9] Mere præcist er dette udsagn formuleret som følger: [10] $f(x)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f(x)$ $k$ $k$ $T^{c}$

Sætning. Lad , , , og være et lokalcentermanifold (*). Der er sådan et lille kvarter på nul og en funktion afgrænset på hele rummet, der falder sammen med , idet ligningen (*) for funktionen har en jævn global centermanifold, der falder sammen i regionen med

f\in C^{k}(\mathbb {R} ^{n})

k\geq 1

f(0)=0

Df(0)=0

W^{c}

\Omega

{\tilde {f}}(x)

f(x)

\Omega

\tilde f

\Omega

W^{c}

Det skal bemærkes, at overgangen fra lokale til globale problemer og vice versa ofte bruges til at bevise påstande relateret til centermanifolder.

Reduktionsprincip

Som nævnt ovenfor er den ikke-trivielle dynamik nær entalspunktet "koncentreret" på centermanifolden. Hvis singularpunktet er hyperbolsk (det vil sige lineariseringen indeholder ikke egenværdier med nul reel del), så har det ikke en centermanifold. I dette tilfælde er vektorfeltet ifølge Grobman -Hartman-sætningen orbitalt-topologisk ækvivalent med dets linearisering, det vil sige fra et topologisk synspunkt er dynamikken i et ikke-lineært system fuldstændig bestemt af lineariseringen. I tilfælde af et ikke-hyperbolisk singular punkt bestemmes topologien af fasestrømmen af den lineære del og begrænsningen af flowet til centermanifolden. Dette udsagn, kaldet Shoshitaishvilis reduktionsprincip , er formuleret som følger: [11]

Sætning (A. N. Shoshitaishvili, 1975 [12] ).

Antag, at højre side af vektorfeltet (*) tilhører klassen . Så, i et nabolag af et ikke-hyperbolsk singular punkt, er det orbitalt topologisk ækvivalent med produktet af standardsadlen og begrænsningen af feltet til centermanifolden: $C^{2}$

${\begin{cases}{\dot {x}}=w(x)\\{\dot {y}}=-y\\{\dot {z}}=z,\end{cases} }\quad x\in W^{c},\ y\in T^{s},\ z\in T^{u}$

Noter

↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Chow. Normale former og bifurkationer af vektorfelter på flyet. - M. : MTSNMO, 2005. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 . , c. 13
↑ Ilyashenko Yu.S., Veigu L. Ikke-lokale bifurkationer. - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 s. — ISBN 5-900916-34-0 . , kapitel 1, afsnit 2.3
↑ Ilyashenko Yu.S., Veigu L. Ikke-lokale bifurkationer. - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 s. — ISBN 5-900916-34-0 . , kapitel 1, punkt 2.2
↑ Ikke- lineær dynamik og kaos, 2011 , s. 133.
↑ Gukenheimer J., Holmes F. Ikke-lineære svingninger, dynamiske systemer og bifurkationer af vektorfelter, - Moscow-Izhevsk: IKI, 2002. - Kapitel 3, par. 3.2.
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Chow. Normale former og bifurkationer af vektorfelter på flyet. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 37. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Chow. Normale former og bifurkationer af vektorfelter på flyet. - M. : MTsNMO, 2005. - S. 14. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ 1 2 D. Wang, C. Lee, S.-N. Chow. Normale former og bifurkationer af vektorfelter på flyet. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 16. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Chow. Normale former og bifurkationer af vektorfelter på flyet. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 36. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Chow. Normale former og bifurkationer af vektorfelter på flyet. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 38. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ Ilyashenko Yu.S., Veigu L. Ikke-lokale bifurkationer. - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 s. — ISBN 5-900916-34-0 . se også D. Wang, C. Lee, Sh.-N. Chow. Normale former og bifurkationer af vektorfelter på flyet. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 406. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ Shoshitaishvili A.N. Bifurkationer af den topologiske type af et vektorfelt nær et enkelt punkt. // Tr. seminarer til dem. I. G. Petrovsky. - 1975. - Udgave 1. . - S. 279-309 .

Litteratur

Malinetsky G. G. , Potapov A. B. Ikke- lineær dynamik og kaos: grundlæggende begreber. - M. : Librokom, 2011. - 240 s. - ISBN 978-5-397-01583-7 .