Attraktor

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. juli 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Attraktor ( eng. tiltrække - tiltrække, tiltrække) - en kompakt delmængde af faserummet i et dynamisk system , hvor alle baner fra et eller andet nabolag har en tendens til det, mens tiden tenderer mod det uendelige. En attraktor kan være et attraktivt fikspunkt (f.eks. i problemet med et pendul med friktion mod luft), en periodisk bane (f.eks. selv-exciterede svingninger i en positiv feedback-loop) eller et begrænset område med ustabile baner indeni (som en mærkelig attraktor).

Der er forskellige formaliseringer af begrebet aspiration, hvilket fører til forskellige definitioner af attraktoren, som definerer henholdsvis potentielt forskellige sæt (ofte indlejret i hinanden). De mest almindeligt anvendte definitioner er den maksimale attraktor (ofte i dets lille kvarter, se nedenfor), Milnor-attraktoren og det ikke-vandrende sæt .

Klassifikation

Attraktører er klassificeret efter:

Formaliseringer af begrebet aspiration: man skelner mellem den maksimale attraktor, den ikke-vandrende mængde, Milnor-attraktoren, Birkhoff-centret, den statistiske og den minimale attraktor.
Regulariteter af selve attraktoren: attraktorer er opdelt i regulære (tiltrækkende fast punkt, tiltrækkende periodisk bane, manifold ) og mærkelige (uregelmæssige - ofte fraktale og/eller arrangeret i et eller andet afsnit som et Cantor-sæt ; dynamikken på dem er normalt kaotisk ).
Lokalitet (" tiltrækkende sæt ") og globalitet (her - udtrykket "minimal" i betydningen "udelelig").

Der er også velkendte "navngivne" eksempler på attraktorer: Lorentz , Plykin , Smale-Williams solenoide , heteroclinic attractor ( Bowens eksempel ).

Egenskaber og relaterede definitioner

Under alle definitioner antages attraktoren at være et lukket og (helt) invariant sæt.

Begrebet Sinai-Ruelle-Bowen-målet er også tæt forbundet med begrebet en attraktor : et invariant mål på det, hvortil tidsgennemsnittene for et typisk (i betydningen af Lebesgue-målet) udgangspunkt eller tidsgennemsnittene af gentagelser af Lebesgue-målet har tendens. En sådan foranstaltning findes imidlertid ikke altid (hvilket især illustreres af Bowens eksempel ).

Typer af definitionsformalisering

Da hele faserummet under alle omstændigheder er bevaret af dynamik, kan der gives en formel definition af en attraktor ud fra filosofien om, at "en attraktor er det mindste sæt, som alt har tendens til" - med andre ord at smide alt ud, der kan være. smidt ud af faserummet.

Maksimal attraktor

Lad et dynamisk system få et område , som strengt oversættes til sig selv af dynamikken: $U$

\overline {f(U)}\delsæt U

Så er systemets maksimale attraktor i begrænsningen til U skæringspunktet mellem alle dets billeder under dynamikkens handling:

A_{{max}}=\bigcap _{{n=1}}^{{\infty }}f^{n}(U).

Den samme definition kan anvendes på strømme: i dette tilfælde er det nødvendigt at kræve, at vektorfeltet, der definerer strømmen på grænsen af området, er rettet strengt inde i det.

Denne definition bruges ofte til at karakterisere et sæt som en "naturlig" attraktor ("er dens nabolags maksimale attraktion"). Det bruges også i partielle differentialligninger [1] .

Denne definition har to ulemper. For det første er det for dets anvendelse nødvendigt at finde et absorberende område. For det andet, hvis et sådant område blev valgt uden held - f.eks. indeholdt det et frastødende fikspunkt med dets frastødningspulje - så vil der i den maksimale attraktor være "ekstra" punkter, som faktisk ikke kan placeres flere gange i træk, men nuværende valg af området for denne "føles ikke."

Milnor attractor

Per definition er Milnor-attraktoren i et dynamisk system det mindste (ved inklusion) lukkede sæt, der indeholder ω-grænsesættene af næsten alle indledende punkter i forhold til Lebesgue-målet. Med andre ord er dette det mindste sæt, som et typisk udgangspunkts bane har en tendens til.

Ikke-vandrende sæt

Et punkt x i et dynamisk system kaldes vandring , hvis gentagelser af nogle af dets kvarter U aldrig krydser dette kvarter:

\forall n>0\quad f^{n}(U)\bigcap U=\emptyset .

Med andre ord, et punkt vandrer, hvis det har et kvarter, som enhver bane kun kan krydse én gang. Sættet af alle ikke-vandrende punkter kaldes det ikke- vandrende sæt.

Statistisk attraktor

En statistisk attraktor er defineret som det lukkede sæt med mindst inklusion , hvor næsten alle punkter tilbringer næsten hele tiden: for et hvilket som helst af dets kvarterer , for næsten ethvert punkt (i betydningen af Lebesgue-målet) har vi $A_{{stat}}$ $U$ $x$

{\frac {1}{N}}\#\{j\leq N\mid f^{j}(x)\in U\}\to 1,\quad N\to \infty .

Minimal attraktor

Den minimale attraktor er defineret som det mindste (med hensyn til inklusion) lukkede sæt , i nærheden af hvilket næsten hele Lebesgue-målet tilbringer næsten hele tiden: for ethvert af dets kvarterer , $A_{{min}}$ $U$

{\frac {1}{N}}\sum _{{j=0}}^{{N-1}}(f_{*}^{j}(Leb))(U)\til 1,\quad N\til \infty .

Eksempler på uoverensstemmelser

Lokalitet, minimalitet og globalitet

Regelmæssige og mærkelige attraktorer

Regelmæssige attraktorer

Attraktivt fikspunkt

(eksempel: pendul med friktion)

Begræns cyklus

(eksempel: mikrofon+højttalere, Van der Pol oscillator )

Mærkelige attraktorer

(eksempler: Lorenz - attraktor, Rössler-attraktor , Smale-Williams-solenoide; kommentar til sommerfugleeffekten og dynamisk kaos .)

En mærkelig attraktor er et tiltrækkende sæt af ustabile baner i faserummet af et dissipativt dynamisk system [2] . I modsætning til en attraktor er den ikke en manifold , det vil sige, den er ikke en kurve eller en overflade. Strukturen af den mærkelige attraktor er fraktal . Banen for en sådan attraktor er ikke-periodisk (den lukker ikke), og driftsformen er ustabil (små afvigelser fra tilstandsstigningen). Hovedkriteriet for tilfældigheden af en attraktor er den eksponentielle vækst af små forstyrrelser i tid. Konsekvensen af dette er "blanding" i systemet, ikke-periodicitet i tid af nogen af systemets koordinater , et kontinuerligt effektspektrum og en tidsaftagende autokorrelationsfunktion .

Dynamikken på mærkelige attraktorer er ofte kaotisk : at forudsige en bane, der er faldet ind i en attraktor, er vanskelig, da en lille unøjagtighed i de indledende data efter nogen tid kan føre til en stærk uoverensstemmelse mellem prognosen og den reelle bane. Uforudsigeligheden af banen i deterministiske dynamiske systemer kaldes dynamisk kaos , og adskiller det fra det stokastiske kaos , der opstår i stokastiske dynamiske systemer . Dette fænomen kaldes også sommerfugleeffekten , hvilket indebærer muligheden for at omdanne svage turbulente luftstrømme forårsaget af blafren af en sommerfugls vinger på et tidspunkt på planeten til en kraftig tornado på den anden side på grund af deres multiple forstærkning i atmosfæren over nogle tid. Men faktisk skaber klappen af en sommerfugls vinge normalt ikke en tornado, da der i praksis er en sådan tendens til, at så små udsving i gennemsnit ikke ændrer dynamikken i så komplekse systemer som planetens atmosfære, og Lorentz sagde selv om dette: "Men generelt argumenterer jeg for, at mindre stød i årenes løb hverken øger eller mindsker hyppigheden af forekomst af forskellige vejrbegivenheder, såsom orkaner. Det eneste, de kan gøre, er at ændre den rækkefølge, hvori disse fænomener opstår." Og dette er måske en vigtig og overraskende ting, uden hvilken det ville være svært, hvis ikke umuligt, at studere kaotisk dynamik (dynamik, der er følsom over for de mindste ændringer i systemets begyndelsesbetingelser).

Blandt de mærkelige attraktorer er der dem, hvis Hausdorff-dimension er forskellig fra den topologiske dimension og er fraktioneret. En af de mest berømte blandt sådanne attraktorer er Lorenz-attraktoren .

Nominelle eksempler

Lorentz attraktor

Systemet af differentialligninger, der skaber Lorentz-attraktoren, har formen:

{\dot x}=\sigma (yx)

{\dot y}=x(rz)-y

{\dot z}=xy-bz

med følgende parameterværdier: , , . Lorenz-attraktoren er ikke klassisk. Han er heller ikke mærkelig i Smale forstand . [3] $\sigma =10$ $r=28$ $b=8/3$

Smale-Williams solenoide

Smale-Williams-solenoiden er et eksempel på et reversibelt dynamisk system , der ligner opførsel af baner til fordoblingskortlægningen på en cirkel. Mere præcist er dette dynamiske system defineret på den solide torus , og i en iteration af den fordobles vinkelkoordinaten; hvorfra den eksponentielle divergens af baner og den kaotiske dynamik opstår automatisk. Den maksimale attraktor af dette system kaldes også en solenoide (hvor navnet faktisk kommer fra): den er arrangeret som en (utallig) forening af "tråde" viklet langs en solid torus .

Plykin-attraktion

Plykin-attraktoren er et eksempel på et dynamisk system på en disk, hvis maksimale attraktor er hyperbolsk . Især er dette eksempel strukturelt stabilt, da det opfylder Smales aksiom A.

Bowens eksempel, eller den heteroclinic attractor

Hénos attraktor

https://web.archive.org/web/20101227004521/http://ibiblio.org/e-notes/Chaos/ru/strange_r.htm

Hypoteser

Palis' formodning [4]

Der er en så metrisk tæt delmængde D af rummet T, at Milnor-attraktoren i ethvert dynamisk system fra mængden D kun kan dekomponeres i et endeligt antal transitive komponenter;
De transitive komponenter i attraktoren har et SRB-mål ;
Attraktorens transitive komponenter er stokastisk stabile i deres tiltrækningsbassiner;
For et typisk system af en typisk familie af endimensionel dynamik repræsenterer attraktionskomponenterne enten tiltrækkende periodiske baner eller har et absolut kontinuerligt invariant mål. [5]

Ruelles hypoteser

Se også

Noter

↑ Yu. S. Iljasjenko. Global analyse af faseportrættet for Kuramoto-Sivashinsky-ligningen, Journal of Dynamics and Differential Equations, Vol. 4, nr. 4, 1992
↑ Gaponov-Grekhov A.V. , Rabinovich M.I. Ikke- lineær fysik. Stokasticitet og strukturer // Det XX århundredes fysik: udvikling og udsigter. - M., Nauka, 1984. - s. 237
↑ Mærkelige attraktorer. Sammenfatning af artikler. Moskva. 1981 Oversættelse fra engelsk, redigeret af Y. G. SINAI og L. P. SHILNIKOV
↑ Seminarer: V. A. Kleptsyn, Attraktører af dynamiske systemer . www.mathnet.ru Hentet: 17. august 2018. (ubestemt)
↑ Saltykov, Petr Sergeevich. Nye egenskaber for attraktorer og invariante sæt af dynamiske systemer . - 2011. Arkiveret den 17. august 2018. (Russisk)

Referencer og litteratur

A. Gorodetski, Yu. Iljasjenko. Minimale og mærkelige attraktorer, International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 6, nr. 6 (1996), s. 1177-1183.
A. S. Gorodetsky. Minimale attraktorer og delvist hyperbolske sæt af dynamiske systemer. Diss. c.f.-m. n., Moscow State University, 2001.
Elektronisk bibliotek om ikke-lineær dynamik
Artikel "Attractor" af J. Milnor , Scholarpedia.
Galleri med de mærkeligste attraktioner . LENTA.RU. Hentet 28. marts 2013. Arkiveret fra originalen 4. april 2013. (ubestemt)
E. V. Nikulchev. Geometrisk metode til systemrekonstruktion baseret på eksperimentelle data // Breve til ZhTF. 2007. T. 33. Udgave. 6. S. 83-89.
E. V. Nikulchev. Identifikation af dynamiske systemer baseret på symmetrierne af rekonstruerede attraktorer. Moskva, 2010.