Bethe-Salpeters ligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. april 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Bethe-Salpeter-ligningen , opkaldt efter H. Bethe og E. Salpeter , beskriver de bundne tilstande af et to-partikel kvantefeltsystem i en relativistisk kovariant form . Ligningen blev først offentliggjort i 1950 i slutningen af et papir af Yoichiro Nambu , men uden en afledning. [en]

Integral form af Bethe-Salpeter-ligningen

Hovedmetoden til at løse problemer med interaktion er utvivlsomt perturbationsteori, men dette er langt fra den eneste metode. Der findes såkaldte ikke-perturbative metoder, og en af dem fører til Bethe-Salpeter-ligningen. Et system med to koblede fermioner overvejes . I en fri teori, som det er kendt, for en enkeltpartikelbølgefunktion (hvor er spinorindekset ) er propagatoren defineret som følger: $\psi _{a}$ $-en$

\psi (x_{2})=-i\int {d\sigma {(x_{1})}S_{F}{(x_{2},x_{1})}n\!\! \!/(x_{1})\psi (x_{1})}

Her bruger vi en notation ved hjælp af "overstregede matricer" , - 4-vektor af den ydre normal . Integrationen udføres over overfladen af volumen, som inkluderer begivenheden , . Feynman propagator. I tilfælde af ikke-interagerende partikler, er det defineret som løsningen af følgende ligning [2] : $n(x_{1})$ ${\displaystyle x_{2))$ $S_{F}$

(i\nabla \!\!\!/'-m_{0})S_{F}=\delta ^{4}(x'-x)\qquad (1)

På samme måde som propagatoren for en-partikelbølgefunktionen kan man definere propagatoren for to-partikelbølgefunktionen ved følgende udtryk:

\psi _{ab}(x_{3},x_{4})=\int {d\sigma {(x_{1})}d\sigma {(x_{2})}S^{ab }{(x_{3},x_{1}x_{4},x_{2})}n\!\!\!/(x_{1})n\!\!\!/(x_{2} )\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}\qquad (2)

Her er en spinor med to spinor-indeks . I tilfælde af ikke-interagerende partikler henfalder to-partikel-bølgefunktionen til produktet af enkelt-partikel, og propagatoren til produktet af propagatorer: ${\displaystyle \psi _{ab))$ $a,b$

S^{0ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_ {F}^{b}(x_{4},x_{2})

Dette er dog den mest trivielle sag. Lad os nu "tænde" den elektromagnetiske interaktion mellem to partikler. Hvis vi fulgte perturbationsteoriens ideologi, så ville vi få, efter Feynman , er repræsenteret som: ${\displaystyle S^{ab))$

S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_ {F}^{b}(x_{4},x_{2})+\Sigma

Med menes summen af alle mulige diagrammer opnået fra perturbationsteori. Hovedideen, der fører til ligningen, er, at vi betegner hele summen af diagrammerne som en bestemt kerne . Vi vil kalde et diagram reducerbart, hvis det, efter at have fjernet to fermioniske linjer, bliver afbrudt. Så kan det repræsenteres som summen af to bidrag: bidraget fra reducerbare diagrammer og bidraget fra irreducible diagrammer . Det kan vises [3] at udtrykket for kan omskrives som: $\Sigma$ $K$ $K$ ${\overline {K}}$ $S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})$

S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_ {F}^{b}(x_{4},x_{2})+\int {d^{4}x_{5}d^{4}x_{6}d^{4}x_{7}d ^{4}x_{8}\cdot iS_{F}^{a}(x_{3},x_{5})iS_{F}^{b}(x_{4},x_{6}){\ overline {K}}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{7},x_{8})S^{ab}(x_{7},x_{8};x_{1} ,x_{2})}

Ved at erstatte dette udtryk får vi Bethe-Salpeter-ligningen: $(2)$

\psi _{ab}(x_{1},x_{2})=\varphi _{ab}(x_{1},x_{2})+\int {d^{4}x_{3 }d^{4}x_{4}d^{4}x_{5}d^{4}x_{6}\cdot iS_{F}^{a}(x_{1},x_{5})iS_ {F}^{b}(x_{2},x_{6}){\overline {K}}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{3},x_{4}) \psi _{ab}(x_{3},x_{4})}\qquad (3)

I dette udtryk er en fri to-partikel bølgefunktion, det vil sige en bølgefunktion i fravær af interaktion mellem partikler. Således har vi opnået Fredholm-integralligningen af den anden slags . ${\displaystyle \varphi _{ab))$

Integro-differentiel form af Bethe-Salpeter-ligningen. Skrivning i p-rum

Lad os nu handle på Bethe-Salpeter-ligningen ved hjælp af operatorerne , i kraft får vi følgende udtryk: $(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a}),(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})$ $(1)$

(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})\psi _{ab }(x_{1},x_{2})=-\int {d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}{\overline {K))^{ab}(x_{1 },x_{2};x_{3},x_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}

Derfor får vi i stedet for en integralligning af Fredholm-typen en integro-differentialligning for en to-partikel-bølgefunktion . En anden mulig måde at skrive Bethe-Salpeter-ligningen på er at skrive den i momentumrum, nemlig vi definerer Fourier-transformationen af en to-partikelbølgefunktion som følger: $\psi _{ab}(x_{1},x_{2})$ $\psi _{ab}(x_{1},x_{2})$

\chi _{ab}(p_{1},p_{2})={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1 }d^{4}x_{2}\cdot e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\psi _{ab}{(x_{1},x_ {2})}}

Fourier-transformationen af selve Bethe-Salpeter-ligningen er skrevet som følger:

{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}e^{i(p_{1 }x_{1}+p_{2}x_{2})}(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{ 2}-m_{b})\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}=-{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d ^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_ {2}x_{2})}{\overline {K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})\psi _{ab}(x_{ 3},x_{4})}

På venstre side kan du tage gradienterne til eksponenten ved hjælp af integration af dele . Vi tilføjer også to delta-funktioner til højre. Vi får:

{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\left[(i\nabla \ !\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})e^{i(p_{1}x_{1} +p_{2}x_{2})}\right]\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}=

=-{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_ {3}d^{4}x_{4}d^{4}x'_{3}d^{4}x'_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{ 2}x_{2})}\delta ^{4}(x'_{3}-x_{3})\delta ^{4}(x'_{4}-x_{4}){\overline { K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x'_{3},x'_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}

Ved at bruge impulsrepræsentationen af deltafunktioner med primede variable kan vi omskrive kernen i impulsrepræsentation, nemlig: ${\overline {K}}^{ab}$

{\overline {K}}^{ab}(p_{1},p_{2};p_{3},p_{4})={\frac {1}{(2\pi )^{ 8}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{ 1}x_{1}+p_{2}x_{2}-p_{3}x_{3}-p_{4}x_{4})}{\overline {K}}^{ab}(x_{1 },x_{2};x_{3},x_{4})}

Ved at bruge dette får vi Bethe-Salpeter-ligningen i momentumform:

({\cancel {p}}_{1}-m_{a})({\cancel {p}}_{2}-m_{b})\chi _{ab}(p_{1} ,p_{2})=-\int {d^{4}p'_{1}d^{4}p'_{2}{\overline {K}}^{ab}(p_{1}, p_{2};p'_{1},p'_{2})\chi _{ab}(p'_{1},p'_{2})}

Andre repræsentationer

På grund af dens almindelighed og det faktum, at den bruges i mange grene af teoretisk fysik , kan Bethe-Salpeter-ligningen findes i forskellige former. En form, der ofte bruges i højenergifysik, er:

\Gamma (P,p)=\int \!{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4))}\;K(P,p,k)\, S(k-{\tfrac {P}{2}})\,\Gamma (P,k)\,S(k+{\tfrac {P}{2}})

hvor er Bethe-Salpeter- amplituden , beskriver vekselvirkningen mellem to partikler og er deres udbredelse . $\gamma$ $K$ $S$

Da denne ligning kan opnås ved at identificere de bundne tilstande med polerne i S-matrixen , kan den relateres til kvantebeskrivelsen af spredningsprocesser og Greens funktioner .

Selv for simple systemer som positronium kan ligningen ikke løses nøjagtigt, selvom den i princippet er angivet nøjagtigt. Heldigvis kan klassificeringen af stater gøres uden at bruge en nøjagtig løsning. Hvis den ene partikel er meget mere massiv end den anden, så er opgaven meget forenklet, og i dette tilfælde er Dirac-ligningen løst for en let partikel placeret i et eksternt potentiale skabt af en tung partikel.

Noter

↑ Y. Nambu. Kraftpotentialer i kvantefeltteori // Progress of Theoretical Physics. - 1950. - Bd. 5 , nr. 4 . - doi : 10.1143/PTP.5.614 .
↑ Walter Greiner, Joachim Reinhardt. Kvantekromodynamik . — 3. - Springer, 2007. - S. 46 -47. — 475 s.
↑ Walter Greiner, Joachim Reinhardt. Kvantekromodynamik. — Springer. - S. 347-348. — 475 s.

Litteratur

W. Greiner , J. Reinhardt. Kvanteelektrodynamik. — 3. - Springer (udgiver), 2003. - ISBN 978-3-540-44029-1 .
N. Nakanishi. En generel undersøgelse af teorien om Bethe-Salpeter-ligningen (engelsk) // Progress of Theoretical Physics. - 1969. - Bd. 43 . — S. 1–81 . - doi : 10.1143/PTPS.43.1 .
N.N. Bogolyubov, D.V. Shirkov, Introduktion til teorien om kvantiserede felter, 1973