Omvendt gruppe

En invers gruppe er en konstruktion i gruppeteori , der udveksler argumenterne for en binær gruppeoperation, der bruges til at bestemme den rigtige handling . For en given gruppe er den konstrueret som en gruppe med det samme sæt af elementer, men med et produkt defineret af reglen . $G=(G,\cdot)$ $G^{op}=(G, {*})$ ${*}$ $g * h := h \cdot g$

Den omvendte gruppe af en abelsk gruppe er den samme som sig selv. Den omvendte gruppe af enhver gruppe er isomorf for den: en isomorfi er for eksempel ; desuden genererer enhver anti-automorfi (en en-til-en kortlægning af en gruppe på sig selv, der opfylder relationen ) den tilsvarende isomorfi : $g\mapsto g^{-1}$ $\psi: G \til G$ $\psi (a\cdot b)=\psi (b)\cdot \psi (a)$ $\varphi: G \to G^{op}$

\varphi(a \cdot b) = \psi(a \cdot b) = \psi(b) \cdot \psi(a) = \psi(a) * \psi(b) = \varphi(a) * \ varphi(b)

Hvis den højre handling for en gruppe på et objekt af en eller anden kategori er angivet: , så er , defineret som (eller ), en venstre handling. $G$ $\rho: G \to \mathrm{Aut}(X)$ $\rho^{op}: G^{op} \to \mathrm{Aut}(X)$ $\rho^{op}(g) = \rho(g)$ $g^{op}x = xg$

Med en kategorisk definition af en gruppe bliver den omvendte gruppe et specialtilfælde af den dobbelte kategori .

Litteratur

Vinberg E. B. Algebra kursus. - 3. udg. - Moscow: Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 eksemplarer. — ISBN 5-88688-060-7 .