Transform Pseudogruppe

En pseudogruppe af transformationer af en glat manifold er en familie af diffeomorfismer af åbne delmængder af en manifold i , som er lukket under sammensætningen af kortlægninger, overgangen til en omvendt kortlægning og også begrænsningen og limningen af kortlægninger. $M$ $M$ $M$

Præcis definition

Pseudogruppen af transformationer af en manifold består af lokale transformationer, det vil sige par af formen , hvor er en åben delmængde i , og er en diffeomorfisme , og det antages, at $\Gamma$ $M$ $p=(D_{p},{\bar {p)))$ $D_{p}$ $M$ ${\barp}$ $D_{p}\to M$

$p,q\in \Gamma \Rightarrow p\circ q=({\bar {q))^{-1}(D_{p}\cap {\bar {q))(D_{q}) ),{\bar {p}}\circ {\bar {q}})\i \Gamma$
$p\in \Gamma \Rightarrow p^{-1}=({\bar {p}}(D_{p}),{\bar {p}}^{-1})\in \Gamma$
$(M,id)\i \Gamma$ ,
hvis er en diffeomorfi af en åben delmængde i og , hvor er åbne delmængder i , så for enhver . $s$ $D$ $M$ $D=\cup _{\alpha }D_{\alpha }$ $D_{\alpha }$ $M$ $(D,p)\i \Gamma \Longleftrightarrow (D_{\alpha },p)\i \Gamma$ $\alfa$

Eksempler

En vilkårlig jævn handling af en gruppe på en manifold.
Lad en glat manifold, og som en gruppe virker jævnt på, så er "begrænsningen" af handlingen til et vilkårligt åbent sæt en pseudogruppe af transformationer. Mere præcist er det indeholdt i pseudogruppen hvis og . $M$ $G$ $\Omega$ $p=(D_{p},{\bar {p)))$ ${\bar {p}}\i G$ $D_{p},{\bar {p}}(D_{p})\subset \Omega$

Relaterede definitioner

Ligesom en transformationsgruppe definerer en transformationspseudogruppe en ækvivalensrelation ; ækvivalensklasserne kaldes dens baner . $M$

Typer af pseudogrupper

Pseudogruppen af transformationer af en manifold kaldes $\Gamma$ $M$

transitiv hvis er dens eneste bane, $M$
primitiv , hvis der ikke er nogen ikke-trivielle glatte -invariante foliationer (ellers kaldes transformationspseudogruppen imprimitiv ). $M$ $\Gamma$

Variationer og generaliseringer

Ved at ændre denne definition korrekt kan man definere en pseudogruppe af transformationer af et vilkårligt topologisk rum eller endda et vilkårligt sæt.

Litteratur

Vinogradov I.M. (red.) - Matematisk Encyklopædi. Bind 4. - M .: Sov. encyklopædi, 1977 - s. 730-732.