Legendres sætning (sfærisk trigonometri)

Legendres sætning i sfærisk trigonometri gør det muligt at forenkle løsningen af ​​en sfærisk trekant , hvis dens sider vides at være små nok sammenlignet med radius af kuglen , hvorpå den er placeret.

Ordlyd

Lad en sfærisk trekant være givet med små sider i forhold til kuglens radius , vinkler og kurtosis . Lad os bygge en trekant på planet med sider lige lange med de tilsvarende sider af den givne sfæriske trekant, det vil sige, da siderne i den sfæriske trekant har et vinkelmål, og de udtrykkes i radianer, så . Lad os betegne vinklerne for en sådan trekant (udtrykt i radianer) som . Legendres sætning siger, at følgende relationer er sande [1] :

Så hvis siderne i en sfærisk trekant er små sammenlignet med kuglens radius, kan vi erstatte den med en flad trekant med samme længde sider og en tredjedel af kurtosis mindre vinkler og beregne elementerne i en flad trekant.

Historie

Denne teorem blev formuleret af A. M. Legendre i 1787 [2] og bevist af ham i 1798 [3] . Det var dog ifølge nogle kilder kendt allerede i 1740, da Sh.M. de la Condamine brugte det til at behandle gradmålingerne fra den peruvianske ekspedition [4] .

Noter

1. ↑ Stepanov N. N. §55. Legendres sætning // Sfærisk trigonometri. - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 141-143. — 154 s.
2. ↑ Legendre AM: Mémoire sur les operations trigonométriques, dont les résultats dépendent de la figur de la Terre. Histoire de l'Académie royale de sciences, Paris 1787; 352-383.
3. ↑ Legendre AM: Méthode pour déterminer la longueur exacte du Quart du méridien d'après les observations faites pour la mesure de l'arc compris entre Dunkerque et Barcelona, ​​Note III: Resolution des triangles sphériques dont des côtés sont par rapport au petit s de la sfære. JB Delembre: Méthodes analytiques pour la détermination d'un arc du méridien, Paris 1798; 12-14
4. ↑ Zbynek Nadenik. Legendre-sætning om sfæriske trekanter . Arkiveret fra originalen den 16. januar 2014.