Grundlæggende rækkefølge

En fundamental sekvens , eller en selvkonvergerende sekvens , eller en Cauchy-sekvens  er en sekvens af punkter i et metrisk rum, således at der for enhver given afstand, der ikke er nul, er et element i sekvensen, startende fra hvilket alle elementer i sekvensen er mindre end en given afstand fra hinanden.

Definition

En sekvens af punkter i et metrisk rum kaldes fundamental , hvis den opfylder Cauchy-kriteriet :

Relaterede definitioner

• Et metrisk rum, hvor hver grundlæggende sekvens konvergerer til et element i det samme rum, kaldes komplet .

Egenskaber

• Hver konvergent sekvens er fundamental, men ikke enhver fundamental sekvens konvergerer til et element fra dets rum.
• Et metrisk mellemrum er komplet, hvis og kun hvis et system af indlejrede lukkede kugler med uendeligt faldende radius har et ikke-tomt skæringspunkt bestående af et punkt.
• Hvis en sekvens er fundamental og indeholder en konvergent undersekvens, så konvergerer sekvensen selv.
• Hvis en sekvens er fundamental, så er den afgrænset.

Litteratur

• Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementer i teorien om funktioner og funktionel analyse, - M. : Nauka, 2004. - 7. udg.
• Shilov G. E. Matematisk analyse. Funktioner af en variabel. Del 3, - M . : Nauka, 1970.