Geometrisk middelværdi

Det geometriske middelværdi af flere positive reelle tal er et tal, der kan erstatte hvert af disse tal, så deres produkt ikke ændres. Mere formelt:

G(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})={\sqrt[ {n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n))}=\venstre( \prod _{{i=1}}^{n}x_{i}\right)^{{1/n}}

Den geometriske middelværdi af to tal kaldes også deres proportionale middelværdi [1] , fordi den geometriske middelværdi af to tal og har følgende egenskab: , det vil sige, at den geometriske middelværdi er relateret til det første tal på samme måde som det andet tal er til det geometriske middelværdi. $g$ $a_{1}$ $a_{2}$ ${\frac {a_{1}}{g}}={\frac {g}{a_{2}}}$

Egenskaber

Ligesom enhver anden middelværdi ligger den geometriske middelværdi mellem minimum og maksimum af alle tal:

\operatørnavn {min} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant G(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\ leqslant \operatornavn {max} (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}).

Det geometriske middelværdi af to tal er det aritmetisk-harmoniske middelværdi af disse tal, det vil sige, at det er lig med grænsen for to sekvenser: $a=A_{0},b=G_{0}$

A_{i}={\frac {A_{i-1}+G_{i-1}}{2)),\quad G_{i}={\sqrt {A_{i-1}G_{ i-1}}}.

Den geometriske middelværdi af to tal er lig med den geometriske middelværdi af deres aritmetiske middelværdi og harmoniske middelværdi [2] .

Geometrisk vægtet middelværdi

Den geometriske vægtede middelværdi af et sæt reelle tal med reelle vægte er defineret som $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$

{\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i= 1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\sum _{ i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right).

I tilfælde af at alle vægte er ens, er den vægtede geometriske middelværdi lig med den geometriske middelværdi.

I geometri

Højden af en retvinklet trekant faldet til hypotenusen er den gennemsnitlige proportional mellem projektionerne af benene på hypotenusen, og hvert ben er den gennemsnitlige proportional mellem hypotenusen og dens projektion på hypotenusen.

Dette giver en geometrisk måde at konstruere det geometriske middelværdi af to (længder) segmenter: du skal bygge en cirkel på summen af disse to segmenter som på en diameter, og derefter genoprette højden fra punktet for deres forbindelse til skæringspunktet med cirklen vil give den ønskede værdi.

Afstanden til en kugles horisont er det geometriske middelværdi mellem afstanden til kuglens nærmeste punkt og afstanden til kuglens fjerneste punkt.

Generaliseringer

Den geometriske middelværdi kan betragtes som grænsen for middeleksponenterne for . $A_{g}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[ {g}]{\frac {x_{1}^{g}+\ldots +x_{n}^{g }}{n}}}$ $g\til 0$
Den geometriske middelværdi er Kolmogorov-gennemsnittet ved . $\phi (x)=\ln x$

Noter

↑ "Mean Proportional". - artikel fra Great Soviet Encyclopedia .
↑ Rowe S. Geometriske øvelser med et stykke papir . - 2. udg. - Odessa: Matesis, 1923. Arkiveret kopi af 13. august 2020 på Wayback Machine

Se også

Betyde
Matematik	Effektmiddel ( vægtet ) harmonisk middel vægtet geometrisk middelværdi vægtet Gennemsnit vægtet geometriske middelværdi Gennemsnitlig kubik glidende gennemsnit Aritmetisk-geometrisk middelværdi Funktion Middel Kolmogorov mener
Geometri	geometrisk centrum Barycenter
Sandsynlighedsteori og matematisk statistik	Winsoriseret middelværdi prøvegennemsnit Forventet værdi Median Mode standardafvigelse Afkortet middelværdi Betinget forventning
Informationsteknologi	Medoid k-median metode
Sætninger	Første middelsætning Anden middelsætning Ulighed om det aritmetiske, geometriske og harmoniske middelværdi
Andet	Distributionscenter-metrics