Vintage Dirichlet

Dirichlet-foldningen er en binær operation defineret for aritmetiske funktioner, der bruges i talteori , introduceret og studeret af den tyske matematiker Dirichlet .

Definition

Dirichlet-konvolutionen af to aritmetiske funktioner og er en aritmetisk funktion defineret som følger: $f*g$ $f$ $g$

(f*g)(n)=\sum _{{d\midt n}}f(d)g\venstre({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{{ab=n }}f(a)g(b)

hvor summen overtages alle naturlige divisorer af argumentet , eller tilsvarende over alle par af naturlige tal, hvis produkt er lig med . $d$ $n$ $(a,b)$ $n$

Egenskaber

Sættet af aritmetiske funktioner ved punktvis addition (det vil sige, at funktionen er bestemt af relationen ) og Dirichlet-foldningen danner en kommutativ ring kaldet Dirichlet-ringen . Ringens enhed er funktionen defineret som , hvis og , hvis . Inverterbare elementer er alle funktioner sådan, at . $f+g$ $(f+g)(n)=f(n)+g(n)$ $\epsilon$ $\epsilon(n)=1$ $n=1$ $\epsilon(n)=0$ $n>1$ $f$ $f(1)\neq 0$

Især Dirichlet-foldningen er [1] associativ :

(f*g)*h=f*(g*h)

distributiv ved tilføjelse:

f*(g+h)=f*g+f*h=(g+h)*f

kommutativ :

f*g=g*f

og har et neutralt element :

f*\epsilon =\epsilon *f=f

Dirichlet-konvolutionen af to multiplikative funktioner er igen multiplikativ, og hver multiplikativ funktion har en multiplikativ Dirichlet-inversion. Hvis er en fuldstændig multiplikativ funktion , så , hvor multiplikationen af funktioner er defineret som deres punktvise sammensætning. Konvolutionen af to fuldt multiplikative funktioner er ikke altid fuldt multiplikativ. $f$ $f(g*h)=(fg)*(fh)$

Dirichlets appel

For hver funktion , for hvilken der findes en funktion, sådan at ( er enheden for ringen i multiplikation), kaldet Dirichlet-inversionen af funktionen . $f$ $f(1)\neq 0$ $g$ $f*g=\epsilon$ $\epsilon$ $f$

Dirichlet-inversionen af identitetsfunktionen er Möbius-funktionen , og derfor følger mange resultater, især: $1(n)=1$

g=f*1\venstrehøjrepil f=g*\mu

( Møbius-inversionsformel ),

\lambda *|\mu |=\epsilon

, hvor er Liouville funktionen ,

\lambda

\lambda *1=1_{S},

hvor er mængden af kvadrater.

S=\{1;4;9;16;...\}

Forholdet til Divisors-funktionen : ${\displaystyle \sigma _{k))$

\sigma _{k}(n)=\sum \limits _{{d\midt n}}d^{k}

ved at summere den -te potens af divisorerne af et tal, er en række bemærkelsesværdige egenskaber også forbundet med foldning: $k$

\sigma _{1}=\operatørnavn {Id} *1

( er en konstant funktion ),

\operatørnavn {Id}

\operatørnavn {Id} (n)=n

\sigma _{k}=\operatørnavn {Id} _{k}*1

( -th potens af argumentet: ),

\operatørnavn {Id}_{k}

k

{\displaystyle \operatørnavn {Id} _{k}(n)=n^{k))

\tau =1*1

(her er antallet af divisorer af tallet ),

\tau=\sigma _{0}

n

\operatørnavn {Id} =\sigma _{1}*\mu

1=\tau*\mu

\tau ^{3}*1=(\tau *1)^{2}

Forholdet til Euler-funktionen : $\varphi$

\varphi *1=\operatørnavn {Id}

\sigma _{1}=\varphi *\tau

Forholdet til Jordan totient : ${\displaystyle J_{k))$

J_{k}*1=\operatørnavn {Id}

{\displaystyle (\operatørnavn {Id} _{s}J_{r})*J=J_{s+r))

Forholdet til Mangoldt-funktionen : $\lambda$

\Lambda *1=\ln

Dirichlets appel

Hvis en aritmetisk funktion er givet , så kan dens Dirichlet-inversion beregnes rekursivt (mere præcist er hver værdi udtrykt som for ) gennem definitionen af Dirichlet-inversionen. $f$ $g=f^{{-1}}$ $g(n)$ $g(m)$ $m<n$

For - defineret kl $n=1$ $g(1)=f^{{-1}}(1)$ $f(1)\neq 0$

Og generelt for alle : $n>1$

g(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum _{\stackrel {d\midt n}{d<n}}f\venstre({\frac {n} {d}}\right)g(d)

$g(n)$ defineret hvis . En funktion har således en Dirichlet-inversion, hvis og kun hvis . $f(1)\neq 0$ $f$ $f(1)\neq 0$

Dirichlet rangerer

For enhver aritmetisk funktion kan dens Dirichlet-serie defineres i form af den genererende funktion som $f$

\operatørnavn {DG}(f;s)=\sum \limits _{{n=1}}^{{+\infty }}{\frac {f(n)}{n^{s}}}

for alle sådanne komplekse argumenter , som serien konvergerer for. Produktet fra Dirichlet-serien er relateret til dens Dirichlet-foldning som følger: $s$

\operatørnavn {DG}(f;s)\operatørnavn {DG}(g;s)=\operatørnavn {DG}(f*g;s)

for alle , for hvilke begge serier til venstre konvergerer , og mindst én konvergerer absolut (i dette tilfælde indebærer den sædvanlige konvergens af begge serier til venstre ikke konvergensen af serien til højre). Dette forhold minder strukturelt om konvergenssætningen for Fourier-rækker (hvor rollen som Fourier-transformationen spilles af Dirichlet-rækken). $s$

Noter

↑ Chen, 2009 , Beviser er præsenteret i kapitel 2.

Vintage Dirichlet

Definition

Egenskaber

Dirichlets appel

Dirichlets appel

Dirichlet rangerer

Noter

Links