Eisensteins primtal
Eisenstein primtal - Eisenstein tal :
,
som er et irreducerbart (eller tilsvarende simpelt ) element af Z [ω] i betydningen ringteori. Divisorer af Eisenstein-primtal er kun inverterbare elementer (±1, ±ω, ±ω 2 ), a + b ω og deres produkter.
Multiplikation med en invertibel og konjugation af et hvilket som helst Eisenstein-primtal er også et Eisenstein-primtal.
Et Eisenstein-heltal z = a + b ω er et Eisenstein-primtal , hvis og kun hvis en af følgende gensidigt udelukkende betingelser er opfyldt:
- z er produktet af et inverterbart grundstof og et naturligt primtal på formen 3 n − 1,
- | z | 2 = a 2 − ab + b 2 er et naturligt primtal (sammenlignelig med 0 eller 1 modulo 3).
Det følger heraf, at den absolutte værdi af kvadratet af ethvert Eisenstein-heltal enten er et primtal eller kvadratet af et primtal.
Adskillige første Eisenstein-primtal svarende til naturlige primtal 3n − 1:
2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 , 59 , 71 , 83 , 89 , 101 ( OEIS -sekvens A003627 ).Alle naturlige primtal, der er kongruente med 0 eller 1 modulo 3, er ikke Eisenstein-primtal: de kan faktoriseres til ikke-trivielle faktorer i Z [ω]. Eksempler:
3 = −(1 + 2ω) 2 7 = (3 + ω)(2 − ω).Et par ikke-naturlige Eisenstein-primtal:
2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω.Op til konjugation og multiplikation med enheder er ovenstående tal, sammen med 2 og 5, alle Eisenstein-primtal, der ikke overstiger 7 i absolut værdi .
Fra 2017 er den største kendte rigtige Eisenstein-primtal 10223 × 2 31172165 + 1 opdaget af PrimeGrid-projektet [1] .
Alle store kendte primtal er Mersenne-primtal og er fundet ved hjælp af GIMPS . Ægte Eisenstein-primtal er kongruente med 2 modulo 3, og Mersenne-primtal (bortset fra de mindste og dem, 3) er kongruente med 1 modulo 3. Således er ingen Mersenne-primtal et Eisenstein-primtal.
Se også
Links
- ↑ Chris Caldwell, " The Top Twenty: Largest Known Primes Archived June 12, 2018 at the Wayback Machine " fra The Prime Pages . Hentet 2017-03-14.