Projektion (geometri)

Projektion ( lat. projectio - "smidt frem") er:

billedet af en tredimensionel figur på det såkaldte billed(projektions) plan på en måde, der er en geometrisk idealisering af de optiske mekanismer for syn , fotografi , camera obscura . Begrebet projektion betyder i denne sammenhæng også metoden til at konstruere et sådant billede og de teknikker, som denne metode bygger på. Udbredt i ingeniørgrafik , arkitektur , maleri og kartografi . Studiet af metoder til at konstruere projektioner som en ingeniørdisciplin beskæftiger sig med deskriptiv geometri ;
en generalisering af projektion i dens første betydning (mere præcist, en generalisering af dens variation - parallel projektion ) til visning af punkter, figurer, vektorer af rum af enhver dimension på dets underrum af enhver dimension: for eksempel udover projektion af punkter af tredimensionelt rum på et plan, kan der være en projektion af punkter af tredimensionelt rum på en ret linje, punkter af et plan på en linje, punkter i et 7-dimensionelt rum på dets 4-dimensionelle underrum osv. , såvel som projektionen af en vektor på et hvilket som helst underrum af det oprindelige rum, især på en linje eller på retningen af en vektor (definitionen af det skalære produkt i euklidisk er forbundet med sidstnævnte rum ). Projektion i denne forstand finder bred anvendelse i forhold til vektorer (både i en elementær kontekst og i en abstrakt), når man bruger kartesiske koordinater osv.

Generel definition

En kortlægning af et rum ind i sig selv kaldes en projektion, hvis denne kortlægning er idempotent , dvs. dens sammensætning med sig selv er lig med eller for alle . $P\kolon A\til A$ $EN$ $P\colon$ $P\cirkel P=P$ $P(P(a))=P(a)$ $a\i A$

Projektion fra tredimensionelt rum på et plan

Projektionsmetoden til at afbilde objekter er baseret på deres visuelle repræsentation. Hvis du forbinder alle objektets punkter med rette linjer (projektionsstråler) med et konstant punkt O (projektionscenter), hvori observatørens øje formodes , så i skæringspunktet mellem disse stråler med et hvilket som helst plan, en projektion af alle punkter af genstanden opnås. Således får vi et perspektivbillede af et objekt på et plan, eller en central projektion .

Hvis projektionscentret er uendeligt langt fra billedplanet, så taler de om en parallel projektion ; desuden, hvis projektionsstrålerne falder vinkelret på planet - så om ortogonal projektion , og hvis skråt - omkring skrå .

Hvis projektionsplanet ikke er parallelt med nogen af koordinatplanerne i det rektangulære system , er dette en aksonometrisk projektion .

For enhver af disse projektioner går et linjestykke ind i et linjestykke (og i det degenererede tilfælde, når segmentet ligger på projektionsstrålen, ind i et punkt); en ret linje kan blive en ret linje eller en stråle. Denne egenskab forenkler i høj grad anvendelsen af projektion til visuelle formål, især i teknisk tegning , når objektet indeholder mange retlinede elementer: det er nok at projicere enderne af segmenterne og forbinde dem i tegningen med lige linjer.
Ellipsen eller cirklen bliver til en ellipse (i det degenererede tilfælde til et segment eller en cirkel).

Projektion fra et vilkårligt rum på dets underrum

Projektion i denne betydning (nævnt i indledningen i afsnit 2) er meget brugt i lineær algebra (for flere detaljer, se: Projektion (lineær algebra) ), men i praksis ikke kun i ret abstrakte sammenhænge, men også når man arbejder med vektorer af enhver art, dimensioner og grader af abstraktion, og endda i elementær geometri, og også - meget bredt - ved brug af retlinede koordinater (som rektangulære eller affin ).

Separat skal vi nævne projektionen af et punkt på en linje og projektionen af en vektor på en linje (i en retning).

Ortogonal projektion på linjen og på retningen

Den mest almindeligt anvendte projektion er ortogonal.

Udtrykket projektion i denne forstand bruges både i forhold til selve projektionsoperationen og i forhold til dens resultat (under operationen med at projicere på en linje kaldes billederne af et punkt, en vektor, et sæt af punkter projektion af et punkt , vektor, sæt punkter på denne linje).

En elementær beskrivelse af den ortogonale projektion af et punkt på en linje bunder i det faktum, at en vinkelret skal sænkes fra punktet på linjen, og dens skæring med linjen vil give billedet af punktet (projektionen af punktet på denne linje). Denne definition fungerer både på planet og i tredimensionelt rum og i rummet af enhver dimension.

En elementær definition af projektionen af en vektor på en linje gives nemmest ved at repræsentere vektoren som et rettet segment. Derefter kan dens begyndelse og slutning projiceres på en ret linje, og et rettet segment fra projektionen af begyndelsen til projektionen af slutningen af den oprindelige vektor vil give sin projektion på den rette linje.

Projektionen af en vektor på en bestemt retning kaldes normalt et tal, der i absolut værdi falder sammen med længden af projektionen af denne vektor på den rette linje, der definerer denne retning; tallets fortegn er valgt således, at det betragtes som positivt, når retningen af denne projektion falder sammen med den givne retning, og negativt, når retningen er modsat.

Den sidste definition er meget let at erstatte med en ækvivalent ved at bruge prikproduktet : hvis retningen er givet af en enhedsvektor e , så er projektionen af enhver vektor a på denne retning lig med prikproduktet a•e .
Det samme kan omskrives , hvor er længden af vektoren , er vinklen mellem vektoren og den retning, hvortil projektionen søges. $|{\mathbf a}|{\mathrm {cos}}\ \alpha$ $|{\mathbf a}|$ $\mathbf {a}$ $\alfa$ $\mathbf {a}$

Ikke-ortogonal projektion til linjen og retningen

Ikke-ortogonal projektion bruges sjældnere, og selv når det bruges, især i elementære sammenhænge, bruges udtrykket ikke altid.

Den enkleste måde at specificere en ikke-ortogonal projektion på en linje på er ved at specificere denne linje selv og et plan (i det todimensionale tilfælde en anden linje i stedet for et plan; i tilfælde af et n -dimensionalt rum, et hyperplan af dimension ( n -1)), der skærer linjen. Projektionen af et punkt er defineret som skæringspunktet mellem det plan (hyperplan), der indeholder dette punkt og parallelt med det plan, der definerer projektionen.

I det tilfælde, hvor planen (hyperplanet), der definerer projektionen, er ortogonal på linjen, får vi en ortogonal projektion (dette kan være dens alternative definition). Derfor må man for en egentlig ikke-ortogonal projektion kræve, at denne ortogonalitet er fraværende.

For en ikke-ortogonal projektion af en vektor på en linje og på en retning, er definitionerne hentet fra den givne definition af projektionen af et punkt, på samme måde som det blev beskrevet i afsnittet om ortogonal projektion.

Sandt nok skal man huske på, at projektion af en vektor på en lige linje eller på en retning som standard stadig forstås som en ortogonal projektion.

Ikke desto mindre kan begrebet ikke-ortogonal projektion være nyttigt (i hvert fald hvis du ikke er bange for terminologisk forvirring) til at introducere skrå koordinater og arbejde med dem (gennem dem, i princippet, begrebet punktkoordinater og vektorkoordinater i dette tilfælde kan ret nemt defineres).

Projektion af et punkt på et sæt

Projektionen af et punkt v på en konveks mængde X er et punkt i mængden X , således at [1] $p=p(v)$

\|pv\|=\inf _{x\in X}\|xv\|

Se også

Projektor (matematik)

Noter

↑ Bazaraa, Sherali, Shetty, 2006 , formel 8.72, s. 435.

Litteratur

Mokhtar S. Bazaraa, Hanif D. Sherali, C. V. Shetty. ikke-lineær programmering. - Wiley-Interscience, 2006. - ISBN 0-471-48600-0 .
Projektion // Lille encyklopædisk ordbog over Brockhaus og Efron : i 4 bind - St. Petersborg. , 1907-1909.
Projektion - artikel fra Great Soviet Encyclopedia .
Projektionsapparat, Fotoforstørrer, Projektionstryk, Filmprojektionsapparat // Foto-biografteknik: Encyklopædi / Kap. udg. E. A. Iofis . — M .: Soviet Encyclopedia , 1981. — 447 s.

Typer af projektioner
Parallel Rektangulær (ortogonal) skrå aksonometrisk Isometrisk dimetrisk Trimetrisk Perspektiv (centralt) Fiskeøje