Underrum

Underrum er et begreb, der bruges (direkte eller i sætninger) i forskellige dele af matematikken.

Et underrum er en delmængde af et eller andet rum ( affin , vektor , projektiv , topologisk , metrisk og så videre), som i sig selv er et rum af den tilsvarende type med egenskaber induceret af det omgivende rum.

Præfikset "under" bruges i samme betydning for andre matematiske enheder, såsom subgraph , subgroup , subcategory , og så videre.

Eksempler

En ikke- tom delmængde af et vektor (lineært) rum over et felt er et vektor (lineært) underrum, hvis to egenskaber gælder: for alle vektorer , summen og for enhver vektor og enhver vektor . Især indeholder et underrum nødvendigvis en nulrumsvektor (det er også en nulrumsvektor ). $L'\subset L$ $L$ $F$ $x,y\in L'$ $x+y\in L'$ $x\in L'$ $\alfa \i F$ $\alpha x\in L'$ $L'$ $L$ $L'$

Et vektorunderrum kaldes et egentligt underrum, hvis og indeholder mindst én vektor, der ikke er nul. $L'\subset L$ $L'\neq L$ $L'$

Et vektorunderrum kaldes et invariant underrum af en lineær afbildning , hvis , det vil sige for enhver vektor . Hvis er en egenværdi af afbildningen , danner alle vektorer, der opfylder relationen (inklusive nulvektoren), et invariant underrum af afbildningen . Det kaldes egenunderrummet svarende til den givne egenværdi . $L'\subset L$ $A:L\to L$ $A(L')\subset L'$ $A(x)\in L'$ $x\in L'$ $\lambda$ $EN$ $e\in L$ $A(e)=\lambda e$ $EN$ $\lambda$

Et underrum af et euklidisk vektorrum er også et euklidisk rum, men et underrum af et pseudo-euklidisk vektorrum kan være både pseudo-euklidisk (af en anden signatur) og euklidisk rum, og kan også være degenereret eller isotropisk [1] .

Et underrum af et metrisk rum med en metrisk har den inducerede metriske , som er defineret af formlen for enhver [2] . $M'\subset M$ $M$ $\rho$ $\rho'$ $\rho '(x,y)=\rho (x,y)$ $x,y\in M'$

Et underrum af et topologisk rum med topologien har den inducerede topologi , hvor de åbne mængder er mængderne , hvor der er alle mulige åbne mængder i topologien [2] . $T'\subset T$ $T$ $\tau$ $\tau '$ $G_{\tau '}=G_{\tau }\cap T'$ $G_{\tau }$ $\tau$

Lade være et projektivt rum bestående af linjer i vektorrummet , og være et vektorunderrum. Så er det projektive rum et projektivt underrum [3] . $P=P(L)$ $L$ $L'\subset L$ $P'=P(L')\subset P$

Noter

↑ Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, - Fizmatlit, Moskva, 2009 (kap. 7, afsnit 7)
↑ 1 2 Zorich V. A. Matematisk analyse. — Enhver udgave, bind 2, kap. IX.
↑ Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, - Enhver udgave, kap. IX, stk. en.