Semilokalt enkelt forbundet rum

Semilokalt simpelthen forbundne rum danner en klasse af topologiske rum, der er vigtige for at dække teori . For sådanne rum er der en universel dækning og en Galois-korrespondance mellem dækning af rum og undergrupper af den grundlæggende gruppe .

Manifolderne , CW-komplekserne er semilokalt simpelthen forbundet. Ikke-semilokalt simpelthen forbundne rum (f.eks. Hawaii-øreringe ) betragtes som patologiske eksempler.

Definition

Et topologisk rum X siges at være semilokalt simpelthen forbundet, hvis hvert punkt i X har et naboskab U , således at hver sløjfe i U kan trækkes sammen til et punkt i X.

Noter

• Nabolaget U i sig selv behøver ikke blot at være forbundet  - selvom hver cyklus i U kontraherer til X , behøver den ikke at trække sig sammen med U
  • Af denne grund kan et rum blot være semilokalt forbundet uden at være lokalt blot forbundet.
• Følgende betingelse er ækvivalent: hvert punkt i X har et naboskab U , for hvilket homomorfien fra den fundamentale gruppe U til den fundamentale gruppe X induceret ved inklusion af U i X er triviel.

Eksempler

• Hawaii-øreringen  er et klassisk eksempel på et ikke-semilokalt enkelt forbundet rum.

• Keglen over den hawaiianske ørering giver et eksempel på et rum , der kan trækkes sammen (især et, der er simpelt forbundet og semilokalt simpelthen forbundet), men ikke et , der er lokalt simpelthen forbundet .
  • Et mellemrum limet fra to kopier af en sådan kegle på et punkt, på grundlag af hvilket øreringens ringe rører hinanden, giver et eksempel på et ikke-simpelt forbundet rum med en triviel universalbeklædning. Det vil sige, at rummets grundlæggende gruppe er ikke-triviel, men selve rummet tillader kun en triviel dækning.