Positiv bestemt matrix

I lineær algebra er en positiv bestemt matrix en hermitisk matrix , som på mange måder er analog med et positivt reelt tal . Dette koncept er tæt forbundet med den positive-definite symmetriske bilineære form (eller sesquilineær form i tilfælde af komplekse tal ).

Formuleringer

Lad være en hermitisk matrix af dimension . Betegn den transponerede vektor med , og den konjugerede transponerede vektor med . $M$ $n\ gange n$ $-en$ $a^{T}$ $a^{*}$

En matrix er positiv bestemt , hvis den opfylder et af følgende ækvivalente kriterier: $M$

en.	For alle ikke-nul komplekse vektorer , $z \in \mathbb{C}^n$ $\textbf{z}^{} M \textbf{z} > 0.$ Bemærk, at mængden altid er reel, da den er en hermitisk matrix . $z^{} M z$ $M$
2.	Alle egenværdier , , er positive. Enhver hermitisk matrix , ifølge spektralnedbrydningssætningen, kan repræsenteres som en reel diagonal matrix , oversat til et andet koordinatsystem (det vil sige , hvor er en enhedsmatrix , hvis rækker er ortonormale egenvektorer , der danner grundlaget ). Ved denne definition er en matrix positiv-definitiv, hvis alle elementer i hoveddiagonalen (eller med andre ord egenværdier ) er positive. Det vil sige, at i en basis bestående af egenvektorer er virkningen på vektoren ækvivalent med komponentvis multiplikation med en positiv vektor. $M$ $\lambda_i, i = 1, 2, \prikker, n$ $D$ $M = P^{-1}DP$ $P$ $M$ $M$ $D$ $M$ $M$ $M$ $z \in \mathbb{C}^n$ $z$
3.	En og en halv streg form $\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}$ definerer prikproduktet i . Ved at generalisere ovenstående dannes ethvert skalært produkt ud fra en hermitisk positiv bestemt matrix. $\mathbb{C}^n$ $\mathbb{C}^n$
fire.	$M$ er Gram-matrixen dannet af sættet af lineært uafhængige vektorer $\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_n \in \mathbb{C}^k$ for nogle . Med andre ord er elementerne defineret som følger $k$ $M$ $M_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{} \textbf{x}_j.$ Således, , hvor er et injektiv , men ikke nødvendigvis en kvadratisk matrix . $M = A^{}A$ $EN$
5.	Determinanterne for alle angulære mindreårige af matricer er positive ( Sylvesters kriterium ). I overensstemmelse med dette kriterium, for positive semidefinite matricer , er alle angulære minorer ikke -negative, hvilket dog ikke er en tilstrækkelig betingelse for, at en matrix er positiv semidefinite, som det kan ses af følgende eksempel $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}.$

For reelle symmetriske matricer i ovenstående egenskaber kan rummet erstattes af , og konjugere transponerede vektorer med transponerede. $\mathbb{C}^n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Kvadratiske former

Det er også muligt at formulere positiv bestemthed i termer af kvadratiske former . Lad være et felt af reelle ( ) eller komplekse ( ) tal, og være et vektorrum over . Hermitisk form $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb{V}$ $K$

B : V \ gange V \ højrepil K

er en bilineær kortlægning , desuden er konjugatet af er . En sådan funktion kaldes positiv bestemt når for enhver ikke-nul . $B\venstre(x, y\højre)$ $B\venstre(y, x\højre)$ $B$ $B\venstre(x, x\højre) > 0$ $x \i V$

Negative bestemte, semibestemte og ubestemte matricer

En hermitisk matrix af dimension vil blive kaldt negativ bestemt if $M$ $n\ gange n$

x^{*}Mx<0

for alle ikke-nul (eller tilsvarende for alle ikke-nul ). $x \in \mathbb{R}^n$ $x \in \mathbb{C}^n$

$M$ vil blive kaldt positiv semidefinit (eller ikke-negativ definit ) if

x^{*} M x \geq 0

for alle (eller tilsvarende for alle ). $x \in \mathbb{R}^n$ $\mathbb{C}^n$

$M$ vil blive kaldt negativ semidefinit (eller nonpositive definite ) if

x^{*} M x \leq 0

for alle (eller tilsvarende for alle ) [1] . $x \in \mathbb{R}^n$ $\mathbb{C}^n$

En matrix vil således være negativ bestemt, hvis alle dens egenværdier er negative, positiv semidefinit, hvis alle dens egenværdier er ikke- negative, og negativ semidefinit, hvis alle dens egenværdier er ikke -positive [2] .

En matrix er positiv semibestemt, hvis og kun hvis den er Gram-matrixen af et sæt vektorer. I modsætning til en positiv bestemt matrix er disse vektorer ikke nødvendigvis lineært uafhængige . $M$

For enhver matrix gælder følgende: er positiv semibestemt, og . Det omvendte er også sandt: enhver positiv semi-bestemt matrix kan udtrykkes som ( Cholesky dekomponering ). $EN$ $A^{*}A$ $\operatørnavn{rang}\left(A\right) = \operatørnavn{rang}\left(A^{*}A\right)$ $M$ $M = A^{*}A$

En hermitisk matrix , der hverken er positivt eller negativt semi-bestemt, kaldes ubestemt .

Yderligere egenskaber

Lad os introducere notationen for positive semibestemte matricer og for positive bestemte matricer. $M \succeq 0$ $M\succ 0$

For vilkårlige kvadratiske matricer vil vi skrive hvis , det vil sige en positiv semidefinit matrix. Relationen definerer således en partiel orden på et sæt kvadratmatricer . På lignende måde kan den samlede ordrerelation defineres . $M, N$ $M \succeq N$ $M - N \succeq 0$ $M-N$ $\succeq$ $M \succ N$

en.	Enhver positiv-definit matrix er inverterbar , og dens inverse matrix er også positiv-definitiv. Hvis , så . $M \succeq N \succ 0$ $N^{-1} \succeq M^{-1} \succe 0$
2.	Hvis er en positiv-definitiv matrix og , så er en positiv-definitiv matrix. $M$ $0 < r \in \mathbb{R}$ $r \cdot M$ Hvis og er positive bestemte matricer, så er produkterne og også positive bestemte. Hvis , så er det også positivt bestemt. $M$ $N$ $MNM$ $NMN$ $MN=NM$ $MN$
3.	Hvis er en positiv bestemt matrix, så er elementerne i hoveddiagonalen positive. Derfor ,. Desuden, $M$ $m_{ii}$ $\operatørnavn{spor}\left(M\right) > 0$ $\| m_{ij} \| \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}$ .
fire.	$M$ er en positiv-definitiv matrix, hvis og kun hvis der eksisterer en positiv-definit sådan, at . Lad os betegne . En sådan matrix er unik, forudsat at . Hvis , så . $B \succ 0$ $B^2 = M$ $B = M^{\frac{1}{2}}$ $B$ $B \succ 0$ $M \succ N \succ 0$ $M^{\frac{1}{2}} > N^{\frac{1}{2}}>0$
5.	Hvis og er positive bestemte matricer, så (hvor angiver Kronecker-produktet ). $M$ $N$ $M\otider N \succ 0$ $\ nogle gange$
6.	Hvis og er positive bestemte matricer, så (hvor angiver Hadamard-produktet ). Når matricerne er reelle, gælder følgende ulighed også ( Oppenheims ulighed ): $M$ $N$ $M\cirkel N \succ 0$ $\cirk$ $M,N$ $\det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii}$ .
7.	Hvis er en positiv bestemt matrix, a er en hermitisk matrix og , så . $M$ $N$ $MN + NM \succeq 0$ $\venstre( MN+NM \succ 0 \right)$ $N \succeq 0$ $\venstre( N \succ 0 \right)$
otte.	Hvis og er positive semibestemte reelle matricer, så . $M$ $N$ $\operatørnavn{trace}\left(MN\right)\succeq 0$
9.	Hvis er en positiv bestemt reel matrix, så eksisterer der et tal , sådan at , hvor er identitetsmatrixen . $M$ $\delta>0$ $M\succeq \delta I$ $jeg$

Ikke-ermitiske matricer

Reelle ikke-symmetriske matricer kan også tilfredsstille uligheden for alle ikke-nul reelle vektorer . Sådan er for eksempel matrixen $x^TM x > 0$ $x$

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix},

siden for alle reelle vektorer, der ikke er nul $x = (x_1, x_2)^T$

\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1^2 + x_2^2 > 0 .

Mere generelt, for alle ikke-nul reelle vektorer , hvis og kun hvis den symmetriske del er positiv bestemt. $x^TM x > 0$ $x$ $\frac{M + M^T}{2}$

For komplekse matricer er der flere generaliseringer af uligheden . Hvis for alle ikke-nul komplekse vektorer , så er matrixen Hermitian . Det vil sige, hvis , så er Hermitian . På den anden side, for alle ikke-nul komplekse vektorer , hvis og kun hvis den hermitiske del er positiv bestemt. $x^{*} M x > 0$ $x^{*} M x > 0$ $x$ $M$ $x^{*} M x > 0$ $M$ $\operatørnavn{Re}\left(x^{*} M x\right) > 0$ $x$ $\frac{M + M^{*}}{2}$

Se også

Noter

↑ Nikolay Bogolyubov, Anatoly Logunov, Anatoly Oksak, Ivan Todorov. Generelle principper for kvantefeltteori . - FIZMATLIT, 2006. - S. 20. - 744 s. — ISBN 9785457966253 .
↑ Vasily Fomichev, Andrey Fursov, Sergey Korovin, Stanislav Emelyanov, Alexander Ilyin. Matematiske metoder til kontrolteori. Problemer med stabilitet, kontrollerbarhed og observerbarhed . - FIZMATLIT, 2014. - S. 182. - 200 s. — ISBN 9785457964747 .

Litteratur

R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis, Cambridge University Press, Ch. 7, 1985.
R. Bhatia , Positive definite matrics, Princeton Series in Applied Mathematics, 2007.