Wiener-serien

Wiener-serien  er en ortogonal udvidelse for ikke-lineære funktionaler, der er tæt beslægtet med Volterra-serien og har samme relation til den, som den ortogonale polynomieudvidelse har til potensrækken. Wiener-serien er en diskret analog af Volterra-serien.

Wiener-serien har formen

Denne serie omtales ofte i den matematiske litteratur som Ito-udvidelsen (efter den japanske matematiker Kiyoshi Ito ), hvilket fuldstændig svarer til den.

Historie

I 1920'erne stiftede Norbert Wiener i samtaler med en elev af den italienske matematiker Vito Volterra , Paul Levi, bekendtskab med teorien om analytiske funktionaler. Wiener, analogt med Lévys teori om at repræsentere Brownsk bevægelse i form af integraler af analytiske Volterra-funktioner, bruger Volterra-serien til en omtrentlig analyse af effekten af ​​radarstøj i et ikke-lineært kredsløb i en radiomodtager.

Samtidig formulerer A. N. Kolmogorov problemet med at designe et optimalt ikke-lineært prædiktivt filter. Idéen er videreudviklet i Kolmogorov-Wieners teori om lineær filtrering [1] [2] .

I begyndelsen af ​​1960'erne foreslog D. Gabor et universelt prædiktivt filter med selvjustering i læreprocessen [3] ; Filteret implementerer en algoritme til at forudsige den fremtidige værdi af en stationær funktion af tid fra dets historie ved at finde de optimale vægtkoefficienter for den udvidede forudsigelsesoperator. Denne operatør er repræsenteret af den diskrete analog af den kontinuerlige Volterra-serie, Wiener-serien.

Senere bruger A. G. Ivakhnenko denne tilgang og Wiener-serien i metoden til grupperegnskab af argumenter , og kalder operatøren "Kolmogorov-Gabor polynomium".

Noter

  1. ↑ Kolmogorov A. N.  Interpolation og ekstrapolation af stationære tilfældige sekvenser // Izv. USSR's Videnskabsakademi. Ser. Matem., bind 5:1, 1941. - S. 3-14.
  2. ↑ Weiner N. Ekstrapolationsinterpolation og udjævning af stationære tidsserier. I. Willey, NY, 1949. - 290 s.
  3. ↑ Gabor D., Wilby W. R., Woodcock R. A. Et universelt ikke-lineært filter, prædiktor og simulator, som optimerer sig selv ved en læreproces // Proc. Inst. elektr. Engr., vol. 108., del B, nr. 40, 1961. - S. 85-98.