Operatørspektrum

Spektret af en operator er et sæt tal, der kendetegner en lineær operator . Anvendt på lineær algebra , funktionel analyse og kvantemekanik .

Finit-dimensional case

Lad A være en operator, der virker i et finitdimensionalt lineært rum E . Spektret af en operator (normalt betegnet ) er sættet af dets egenværdier . $\sigma (A)$

Kvadratordensmatricen kan ses som en lineær operator i n-dimensionelt rum, hvilket giver os mulighed for at overføre "operator"-termer til matricer . I dette tilfælde taler man om matrixens spektrum . $n$

Generel definition

Lad A være en operatør, der handler i et Banach-rum E over . Et tal λ kaldes regulært for en operator A , hvis operatoren , kaldet resolvent af operatoren A , er defineret på hele E og er kontinuert . Sættet af regulære værdier for operatoren A kaldes denne operators opløsningsmiddelsæt , og komplementet af opløsningsmiddelsættet kaldes denne operators spektrum . Spektret af en afgrænset operator er kompakt i eller er tom. Spektret for en lineært begrænset operator er ikke- tomt. $\mathbb {C}$ $R(\lambda )=(A-\lambda I)^{{-1}}$ $\sigma (A)$ $\mathbb {C}$

Inden for en operatørs spektrum er det muligt at udskille dele, der ikke er identiske i deres egenskaber. En af de vigtigste spektrumklassifikationer er følgende:

Et diskret (punkt)spektrum er et sæt af dem , som operatøren ikke er injektiv for . Det diskrete spektrum er mængden af alle egenværdier for operatoren A ; i det finit-dimensionelle tilfælde er der kun et punktspektrum; $\sigma _{p}(A)$ $\lambda$ $A-\lambda I$
det kontinuerte spektrum er det sæt af værdier, for hvilke opløsningsmidlet er defineret på et overalt tæt sæt i E , men ikke er kontinuert (det vil sige, at operatøren er injektiv, men ikke surjektiv , og dens billede er overalt tæt); $\sigma _{c}(A)$ $\lambda$ $(A-\lambda I)^{{-1}}$ $A-\lambda I$
restspektret er sættet af punkter i spektret, som ikke er inkluderet i hverken de diskrete eller kontinuerte dele (det vil sige, at operatøren er injektiv, ikke surjektiv, og dens billede er ikke overalt tæt). $\sigma _{r}(A)$ $A-\lambda I$

Den maksimale absolutte værdi af punkter i spektret af en operator A kaldes denne operators spektrale radius og er betegnet med . I dette tilfælde er ligestillingen opfyldt . $r(A)$ $r(A)=\lim _{{n\to \infty }}\|A^{n}\|^{{1/n}}$

I det komplekse tilfælde er resolventet en holomorf operator-vurderet funktion på opløsningsmiddelsættet. Især for , kan den udvides til en Laurent-serie centreret om . $\lambda >r(A)$ $z=0$

Forskellen mellem de to maksimale absolutte værdier fra spektret kaldes spektralgabet ( eng. spectral gap ).

I kvantemekanik

Spektret af selvtilsluttende operatører spiller en vigtig rolle i kvantemekanikken , idet de definerer sættet af mulige værdier af det observerbare , når det måles . Især bestemmer Hamiltonians spektrum de tilladte energiniveauer i et kvantesystem .

Kontinuerligt spektrum i kvantemekanik

Et kontinuert spektrum er et spektrum af værdier af en fysisk størrelse, hvori, i modsætning til et diskret spektrum, værdien af denne størrelse bestemmes for hver egentilstand i systemet, og en uendelig lille ændring i systemets tilstand fører til en uendelig lille ændring i den fysiske mængde. Følgende kan fungere som en fysisk størrelse: koordinat, momentum, energi, orbitalt bevægelsesmoment osv. Da en vilkårlig bølgefunktion kan udvides i en række egenfunktioner af en størrelse med et diskret spektrum, kan den også udvides til en integral over det fulde system af egenfunktioner af mængde med et kontinuert spektrum. $\psi$

Se også

Projektor (algebra)
Spektrum af algebra

Litteratur

Matematisk encyklopædi. - M . : Soviet Encyclopedia, 1984. - T. 5 Slu - Ya. - 1248 s.