Nyquist-Mikhailov stabilitetskriteriet

Nyquist -Mikhailov stabilitetskriteriet er en af måderne til at bedømme stabiliteten af et lukket kontrolsystem ud fra amplitude-fase frekvensresponsen af dets åbne tilstand. Det er et af frekvensstabilitetskriterierne. Ved at bruge dette kriterium er det meget nemt at evaluere stabiliteten uden behov for at beregne polerne for overføringsfunktionen med lukket sløjfe .

Stabilitetstilstand

Overførselsfunktionen af et dynamisk system kan repræsenteres som en brøkdel $\ T(s)$

\ T(s)={\frac {N(s)}{D(s)))

Stabilitet opnås, når alle dens poler er i venstre halvplan . De bør ikke være i det rigtige halvplan. Hvis det opnås ved negativ tilbagekobling af en åben-sløjfe-overførselsfunktion , så er polerne af den lukkede-sløjfe-overførselsfunktion funktionens nuller . Udtrykket kaldes systemets karakteristiske ligning . $\ T(s)$ $\s$ $\ T(s)$ $\ F(s)={\frac {A(s)}{B(s)))$ $\ 1+F(s)$ $\ 1+F(s)=0$

Cauchys argumentprincip

Det er kendt fra funktionsteorien for en kompleks variabel, at en kontur, der omslutter et vist antal ikke-analytiske punkter på -planet, kan afbildes på et andet komplekst plan (planet ) ved hjælp af funktionen på en sådan måde, at den resulterende kontur vil dække centrum af -planet gange, og , hvor er tallet nuller, og er antallet af poler af funktionen . Den retning, der falder sammen med retningen af konturen, betragtes som positiv , og den modsatte retning betragtes som negativ. $\Gamma _{s}\$ $\s$ $\F(s)$ $\F(s)$ $\Gamma _{F(s)}\$ $\ F(S)$ $\n$ $\n=zp$ $\z$ $\p$ $\F(s)$ $\Gamma _{s}\$

Ordlyden af kriteriet

Først konstruerer vi en kontur, der omslutter højre halvplan af det komplekse plan. Konturen består af følgende sektioner:

sektion, der går op langs aksen , fra til . $\ j\omega \$ $0-j\infty$ $0+j\infty$
en halvcirkel med radius, der starter ved et punkt og slutter ved et punkt i urets retning. $r\to\infty$ $0+j\infty$ $0-j\infty$

Dernæst viser vi denne kontur ved hjælp af overføringsfunktionen af et åbent system , som et resultat af hvilket vi opnår systemets AFC -plan . Ifølge argumentprincippet skal antallet af rotationer med uret omkring origo være lig med antallet af nuller i funktionen minus antallet af poler i højre halvplan. Hvis vi betragter et punkt i stedet for oprindelsen , får vi forskellen mellem antallet af nuller og poler i højre halvplan for funktionen . Når vi bemærker, at funktionen har de samme poler som funktionen , og polerne i det åbne system er nullerne i det lukkede system, formulerer vi Nyquist-Mikhailov-kriteriet : $\F(s)$ $\F(s)$ $\F(s)$ $\ -1+j0$ $\ 1+F(s)$ $\ 1+F(s)$ $\F(s)$

Lade være en lukket sløjfe i det komplekse plan, være antallet af poler omfattet af sløjfen , og være antallet af nuller omfattet af , Det vil sige antallet af poler omfattet af . Den resulterende kontur i -planet skal, for at sikre stabiliteten af det lukkede system, dække (med uret) punkttiderne, hvor . $\Gamma _{s}\$ $\p$ $\F(s)$ $\Gamma _{s}\$ $\z$ $\F(s)$ $\Gamma _{s}\$ $\ T(s)$ $\Gamma _{s}\$ $\F(s)$ $\Gamma _{F(s)}\$ $\ -1+j0$ $\n$ $\n=zp$

I den russisksprogede litteratur, hovedsagelig udgivet i USSR, er der en anden formulering af kriteriet, som i dette tilfælde kaldes Mikhailov - kriteriet (stabilitetskriteriet blev foreslået af den sovjetiske videnskabsmand A.V. Mikhailov i 1936 [1] ):

Ordresystemet er stabilt, hvis dets frekvenshodograf, startende på den positive reelle halvakse af det komplekse plan, successivt passerer gennem koordinatkvadranterne uden at dreje til 0 nogen steder. $\n$ $\n$

Konsekvenser af Nyquist-Mikhailov-kriteriet:

Hvis et åbent sløjfesystem med en overførselsfunktion er stabilt, er et lukket sløjfesystem stabilt, hvis faseresponsen i åben sløjfe ikke dækker punktet (−1; j0). $\F(s)$
Hvis det åbne system er ustabilt, så skal antallet af omdrejninger omkring punktet −1 være lig med antallet af poler i højre halvplan. $\F(s)$ $\F(s)$
Antallet af yderligere spænd (større end ) omkring punkt −1 er nøjagtigt lig med antallet af ustabile poler i det lukkede system. $\n+p$

Se også

Rutstabilitetskriterium
Hurwitz stabilitetskriterium
Stabilitetskriterium i statens rum
LAFCHH

Noter

↑ § 5.3. Mikhailovs stabilitetskriterium . scask.ru . Hentet: 7. august 2022. (ubestemt)

Litteratur

Mikhailov A. V. Om en ny tilgang til studiet af lukkede kontrollerede systemer // Automation and Telemechanics. - 1973. - Nr. 8 .
Nyquist , H. 1932. Regenerationsteori. Bell System Technical Journal, 11, s. 126-147.
Chernetsky VI Matematisk modellering af dynamiske systemer. - Petrozavodsk: Petrozavodsk-staten. un-t, 1996. - 432 s. — ISBN 5-230-08981-4 .