Schwartz-Christoffel kortlægning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. november 2020; checks kræver 3 redigeringer .

Schwartz-Christoffel- sætningen er en sætning i funktionsteorien for en kompleks variabel , opkaldt efter de tyske matematikere Karl Schwartz og Alvin Christoffel .

Ordlyd

Antag, at det er noget -gon , og funktionen udfører en konform mapping på . Så kan det repræsenteres som $P\subset \mathbb {C}$ $n$ $f$ ${\displaystyle {\mathbb {H} }^{+))$ $P$ $f$

f(z)=C_{1}\int \limits _{0}^{z}\prod _{k=1}^{n}(\zeta -a_{k})^{\alpha _ {k}-1}d\zeta +C_{2}

hvor er de omvendte billeder af hjørnerne på den reelle akse , er radianmålene for de tilsvarende indre vinkler divideret med (det vil sige den fremkaldte vinkel svarer til nulgraden), og og er de såkaldte accessoriske parametre for . Integralet på højre side har sit eget navn - det kaldes Schwarz-Christoffel integralet af den første slags . $a_1,\prikker,a_n$ $P$ $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ $\pi$ $C_{1}$ $C_{2}$

Hvis det omvendte billede af en af polygonens hjørner er ved uendelig, så er formlen lidt ændret. Hvis det -th toppunkt har et uendeligt fjernt punkt som forbillede, så vil formlen se ud $n$

f(z)=C_{1}\int \limits _{0}^{z}\prod _{k=1}^{n-1}(\zeta -a_{k})^{\ alfa _{k}-1}d\zeta +C_{2}

det vil sige, at multiplikatoren svarende til dette toppunkt simpelthen vil være fraværende. Et sådant integral vil være et Schwarz-Christoffel-integral af den anden slags .

Vanskeligheden ved at bruge disse formler er, at punkterne såvel som tilbehørsparametrene generelt er ukendte. For at beregne dem pålægges normalt nogle yderligere normaliseringer på polygonen, eller beregningen udføres tilnærmelsesvis (hvilket bruges i praksis). $a_1,\prikker,a_n$

Schwarz-Christoffel integral
Schwarz-Christoffel integral
Stjerne Schwartz-Christoffel integral
Stjerne inde i Schwarz-Christoffel integralet