Liouvilles teorem om konforme kortlægninger

Liouvilles konforme kortlægningssætning siger det

enhver konform kortlægning af et domæne af euklidisk rum ved kan repræsenteres som et endeligt antal superpositioner af isometrier og inversioner . $\mathbb {R} ^{n}$ $n\geqslant 3$

Denne teorem afslører fattigdommen i klassen af konforme kortlægninger i rummet, og fra dette synspunkt er den meget vigtig i teorien om analytiske funktioner af flere komplekse variable og i teorien om kvasikonformelle kortlægninger . Til sammenligning er alle to forbundne simpelt forbundne domæner med mere end ét grænsepunkt konformt ækvivalente (dette er Riemanns kortlægningssætning ). $\mathbb {R} ^{2}$

Sætningen blev bevist af Liouville i 1850 . I 1967 generaliserede Reshetnyak sætningen til det tilfælde, hvor kortlægningen kun antages at have generaliserede derivater (ligger i et Sobolev-rum ). [en] $W_{n}^{1}$

Skitse af beviset

I tilfælde af uendeligt differentierbare afbildninger følger beviset af en mere generel påstand om differentialgeometri.

Lad være en Riemannmanifold, og være en glat hyperoverflade i den, være dens ydre krumningsoperator (det vil sige en operator sådan, at der er en anden grundlæggende form), og være en positiv funktion på . Derefter udtrykkes operatoren for udadgående krumning af metrikken som , hvor er feltet af udadgående normaler til , a er Lie-afledten . $(X,g)$ $S\subset X$ $A\colon TS\to TS$ $g(Au,v)=\mathrm {I\!I} (u,v)$ $f$ $x$ $g'=fg$ $A'(u)={\frac {\sqrt {f}}{2}}A(u)-\venstre(L_{\mathbf {n} _{S}}{\sqrt {f}} \right)u$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{S))$ $S$ $L$

Det følger heraf, at selvom den ydre krumningsoperator i sig selv ikke er en konform invariant (hvilket er indlysende for Möbius-transformationerne , der oversætter totalt geodætiske - dvs. med identisk nul ydre krumning - planer til cirkulære sfærer), er det sæt af punkter, hvor dets egenværdier sammenfaldende ( hovedkrumninger ), konformt invariant. Disse punkter kaldes afrundingspunkter . Især fuldt navlestrengsoverflader - det vil sige dem, hvis punkter alle er afrundende punkter - omdannes ved konforme transformationer til fuldt navlestrenge. Disse er udtømt af områderne af sfærer og fly, hvilket fuldender beviset for sætningen. $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Derudover følger det af denne formel, at egenvektorerne for den ydre krumningsoperator også er konformt invariante, og dermed de lokale integrallinjer for de tilsvarende egenvektorfelter - de såkaldte krumningslinjer . Denne påstand er noteret af Schouten og Struik . [2]

Bemærk, at der ikke er nogen begrænsning på dimensionen af den omgivende manifold i denne teorem. Men konsekvensen i dette tilfælde er en tautologi, da den ydre krumningsoperator kun har én egenværdi på en kurve i planet, og derfor er hver kurve fuldstændig navlestreng (hvilket stemmer godt overens med det faktum, at alle glatte Jordan-kurver er afbildet i hver andet ved konforme kortlægninger af domænerne afgrænset af dem ).

Andre konforme invarianter

Geometrien af konforme kortlægninger er især rig for overflader i . I dette tilfælde er invarianten af den konforme transformation ikke kun overfladens afrundingspunkter, men den såkaldte Wilmore-integrand, , hvor er dens middelkrumning , er den Gaussiske krumning , og er arealets form. Denne form nulstilles nøjagtigt ved overfladens afrundingspunkter. Integralet kaldes Wilmor funktionelle. $S^{3}$ ${\displaystyle (H^{2}-K)\omega _{g))$ $H$ $K$ ${\displaystyle \omega _{g))$ ${\displaystyle \int _{S}(H^{2}-K)\omega _{g))$

I analogi med den ydre krumningsoperator, hvis egne retninger er konformt invariante, selvom den selv ændrer sig under konforme transformationer, introducerede Bryant det konforme Gaussiske kort . Nemlig, selvom begrebet tangentplan ikke er konformt invariant, er begrebet om en tangentkugle, der har samme middelkrumning som overfladen ved tangenspunktet, allerede konformt invariant. Kugler i , hvis de implementeres som et sæt isotrope stråler i Minkowski-rummet , skæres ud af signaturhyperplaner - og disse bestemmes af deres normalenhed, det vil sige hyperboloidens punkt . At associere et overfladepunkt med et Möbius- punkt af hyperboloiden svarende til dets tangentkugle er ækvivariant under påvirkning af Möbius-gruppen ; dette er den konforme Gaussiske kortlægning. [3] $S^{3}$ $S^{3}$ $\mathbb {R} ^{4,1}$ $\mathbb {R} ^{3,1}$ ${\displaystyle Q=\{(v,v)=1\}\subset \mathbb {R} ^{4,1))$ $S^{3}$ $\mathrm {SO} (4,1)$

Forholdet til kompleks geometri

Det ville være en fejl at konkludere, i modsætning mellem Liouvilles sætning for og Riemanns sætning for , at konforme kortlægninger af rum af højere dimension ikke er relevante for kompleks analyse og geometri. Tværtimod forhindrer rigdommen af strukturerne i multidimensionel kompleks geometri eksistensen af konforme transformationer af andre euklidiske domæner end Möbius. Så for tredimensionelle manifolds inducerer deres konforme kortlægning en RC-holomorf kortlægning af deres Lebrun-snoninger ; i tilfælde af et euklidisk rum definerer løft af runde sfærer til Lebruns snoninger et gitter af holomorfe kurver på dem, som skal oversættes til hinanden under disse kortlægninger, som bestemmer strenge betingelser for dem, som i sidste ende reduceres til Möbius. $n>2$ $n=2$

Noter

↑ Yu. G. Reshetnyak. "Liouvilles teorem om konforme kortlægninger under minimal regularitetsantagelser", Sibirsk. matematik. magasin 8:4 (1967), 835-840
↑ I. A. Schouten og D. J. Stroyk. Introduktion til nye metoder til differentialgeometri. Om. fra det tyske B. A. Rosenfeld og I. M. Yaglom , 1948, M., Statens Forlag for Udenlandsk Litteratur. S. 228.
↑ Bryant, Robert L. En dualitetssætning for Willmore-overflader. J. Differential Geom. 20 (1984), nr. 1, 23-53.