Komma

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. april 2020; checks kræver 3 redigeringer .

Komma ( græsk κόμμα - segment) i musikteori er en fællesbetegnelse for mikro -intervaller på omkring 1/7 - 1/10 af en hel tone , som som regel opstår, når man sammenligner intervaller af samme type i forskellige musikskalaer [1] . De mest kendte er det syntoniske (Didim) komma og det pythagoræiske (Pythagoreiske) komma. Også kendt er kunstig (Golder's eller arabisk) og septimal (arkhitova) komm.

Der er også kommaer mindre end 1/10 af en hel tone, for eksempel Mercators komma [2] , hvilket ikke modsiger definitionen af komma som forskellen mellem de matematiske værdier af to toner omtrent lige høje [3] . Baseret på denne definition skal kommavarianter genkendes, for eksempel lille diesis , mere end 1/7 af en hel tone og skisma , mindre end 1/10 af en hel tone .

Almindelig lige temperament ødelægger alle varianter af komma, undtagen sjældne undtagelser [4] . Når de taler om et komma uden at angive dets navn, taler vi om et syntonisk komma.

Historie

På trods af udtrykkets oldtid (i oldtiden blev det aktivt brugt i forbindelse med retoriske læresætninger ), refererer det første bevis på brugen af komma som et musikteoretisk udtryk kun til det 5. århundrede e.Kr. e. Det findes i Procluss kommentar til Platons Timaeus ( Platon selv har ikke udtrykket "komma"). I latinsk litteratur er det første bevis på komma i afhandlingen "Fundamentals of Music" (ca. 500) af Boethius . Proclus definerer kommaet (kaldet "Pythagorean" i moderne tid) som forskellen mellem apotom og limma , men beregner det som forskellen mellem forholdet mellem en hel tone og to limmaer (denne beregning af Proclus indeholder dog en aritmetisk fejl) . Boethius kender disse metoder og tilføjer dem også beregningen af kommaet som forskellen mellem seks hele toner og en oktav. Boethius (De inst. mus III, 10). Efter hans mening er kommaet det mindste (eller "nyeste") af det, det menneskelige øre er i stand til at opfatte (est enim komma, quod ultimum conprehendere possit auditus). I dag er det velkendt, at det ikke er tilfældet. Ikke kun det pythagoræiske komma [5] , men også dets dele er tilgængelige for menneskelig hørelse.

At udføre regelmæssigt lige temperament kræver for eksempel evnen til at høre 1/12 af et pythagoræisk komma. Det er med et sådant interval, at hver naturlig perfekt femtedel (3:2) [6] skal reduceres, for at den nævnte justering kan gennemføres med succes. Denne metode til at udføre temperament [7] blev etableret som et resultat af den historiske udvikling af de såkaldte "gode temperamenter" foreslået på J.S. Bachs tid.

Pythagoras komma

Tolv femtedele skulle summere til syv oktaver . Men i den pythagoræiske tuning (hvor forholdet mellem frekvenserne af toner, der danner en kvint er 3:2) er der en forskel kaldet pythagoræisk eller pythagoræisk komma, svarende til omkring en fjerdedel af en halvtone :

{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{{12}}}{2^{7}}}={\frac {3^{{12}}}{2 ^{{19))))={\frac {531441}{524288}}\ca. 23{,}46\;{\mathrm {Cent}}

[otte]

Syntonisk komma

Det kaldes også Didims komma efter navnet Didymus Musikeren , en videnskabsmand fra det 1. århundrede f.Kr. e., som først beskrev det tredje 5:4 i tetrachordet af den diatoniske slægt (den musikteoretiske lære om Didyma er ikke blevet bevaret; den er kendt i præsentationen af Ptolemæus og Porfyr ). Selve sætningen "Didims komma" optrådte tilsyneladende i New Age . I gamle afhandlinger om musik (græsk og latin) er der ingen term "Didyme-komma".

Hvis du lægger fire perfekte kvinter sammen (3:2) og trækker to oktaver fra (2:1), får du en pythagoras dur-terts (diton) :

{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{4}}{2^{2}}}={\frac {3^{4}}{2^ {6}}}={\frac {81}{64}}\approx 407{,}82\;\mathrm {Cent}

Detonet er større end den naturlige major-tredjedel [9] (81:64 > 5:4) af en syntonisk (eller didyme) kommune:

{\frac {81}{64}}:{\frac {5}{4}}={\frac {81}{64}}*{\frac {64}{80}}={\frac {81} {80}}\ca. 21{,}51\;{\mathrm {Cent}}

Kunstigt komma

Følgende er kendt om kunstigt komma [10] :

Nikolai Mercator , en beskeden person og en videnskabsmand og intelligent matematiker <...> fremlagde en genial opfindelse med at finde og anvende det mindste fælles mål for alle harmoniske intervaller, ikke strengt ideelt, men meget tæt på det . Hvis vi antager, at kommaet er 1/53. del af en oktav <...> denne 1/53. kalder han det kunstige komma , som ikke er nøjagtigt, men adskiller sig fra det sande naturlige komma med cirka 1/20 af kommaet

Originaltekst (engelsk)[ Visskjule] Nicholas Mercator, en beskeden person og en lærd og velovervejet matematiker <...> har udledt en genial opfindelse med at finde og anvende et mindst almindeligt mål på alle harmoniske intervaller, ikke præcist perfekt, men meget tæt på det . Antag et komma til de 1/53 del af diapason <…> som 1/53 han kalder et kunstigt komma ikke nøjagtigt, men adskiller sig fra det sande naturlige komma omkring 1/20 del af et komma — Golder (citeret fra bogen af G. Riemann) [11]

I musikteorien kaldes det kunstige komma også for Golder-kommaet [12] [13] , nogle gange det arabiske komma [14] ; dette mikrointerval er mellem et hvilket som helst par af tilstødende tonehøjder i systemet med 53 lige store divisioner af oktaven (1200 cents), og dets værdi kan let beregnes:

{\frac {1200}{53}}\approx 22{,}6415\;{\mathrm {Cent}}

Det kunstige komma er lige velegnet og bekvemt til brug i stedet for det pythagoriske og didymiske komma. Det gør det muligt ikke at skelne mellem Didyme og Pythagoras kommaer i en raffineret musikalsk notation. Kun ét universelt sæt af utilsigtede angivelser til at angive kommamatisk forskel [15] er nødvendigt og tilstrækkeligt. Der er ingen grund til at observere ovenstående sondringer for konstruktion af musikinstrumenter.

Ud over at påpege Golders budskab om den beskedne Nikolai Mercators betydelige bidrag til musikteorien offentliggjorde den anerkendte musikteoretiker fra det 19. og 20. århundrede, Hugo Riemann , også følgende udtalelse:

matematikere har uigendriveligt bevist, at for fri brug af alle tangenter er kun et system med 53 trin i en oktav bedre end et almindeligt anvendt system med 12 lige temperamenter

— G. Riemann [16]

Commas Mercator

Det blev bemærket ovenfor, at Mercators komma er meget mindre end de mest berømte kommaer, da det er forskellen mellem kæder på 53 naturlige kvinter og den 31. naturlige oktav med en værdi på:

{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{{53}}}{2^{{31}}}}={\frac {3^{{53}}} {2^{{84))))={\frac {19383245667680019896796723}{19342813113834066795298816))\ca. 3{,}6150\;{\mathrm {Cent)

Indsnævrer man hver naturlig kvint med en ubetydelig mængde på 1/53 Mercator-kommaer, opnår man den såkaldte Mercator-cyklus, som lukker kæden af 53 sådanne kvinter, hvilket fører til opdelingen af oktaven i 53 kunstige kommaer. Ligesom ødelæggelsen af det pythagoræiske komma i cyklussen på 12 lige tempererede femtedele, ødelægger Mercator-cyklussen Mercator-kommaet, men det pythagoræiske komma ødelægges ikke, men erstattes af et næsten identisk kunstigt.

Komma og musik

Kommaet danner ikke et separat trin i traditionelle vesteuropæiske modale modes og i dur-mol- tonearten (og er følgelig ikke udstyret med en særlig modal funktion ), men bruges af musikere (vokalister og performere på instrumenter med ikke- faste skalaer, såsom violinen ) for at give forestillingen mere udtryksfuldhed.

I modsætning til den gængse opfattelse om muligheden for at udelukke komma fra en række intervaller, der er nødvendige for fuldgyldig musikproduktion [17] , er der fakta, der taler for andre synspunkter:

<...> ordet "komma" kan forstås som ethvert interval, der ikke eksisterer som et fysisk objekt, men i stedet som et mentalt objekt afviser to ustabile toner fra hinanden og får dem til at gravitere mod stabile toner<. ..> Jeg tror, at komma som et mentalt objekt eksisterede i forskellige tonehøjdesystemer - fra de mest primitive til dem, vi bruger i dag. For eksempel, i vores nøgle "C" eksisterer kommaet som et psykisk objekt på hver sort tast. Selv temperament kan dog ikke blot fjerne komma, men også frigøre det, dvs. transformere det fra en mental genstand til en fysisk. Det 12-tonede temperament eliminerede kommaet. Samtidig viste intervallerne for tyngdekraft (m.2) og frastødning (sw.1) sig at være lige store. Temperament, der frigør kommaet, vil føre til, at intervallerne for tiltrækning og frastødning vil være ulige med hinanden. De mulige typer af temperamenter, der frigør kommaet, er temperamenter, hvor tiltrækningsintervallet vil være relateret til frastødningsintervallet som 1/2, 2/3, 3/4 osv. Det optimale forhold er 2/3. I dette tilfælde vil kommaet udgøre halvdelen af gravitationsintervallet, en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for frigørelsen af kommaet som et interval, der er mindre end de eksisterende. Denne frigørelse af "black-key komma" giver 29-tone systemet. De der. Det 29-tonede temperament ophæver ikke de tidligere systemer, men er både et mikrokosmos og et makrokosmos af det musikalske tonehøjdesystem.

— V. B. Brainin [18]

Tilføjelse eller subtraktion af et komma informerer ... begge lyde af ethvert interval i en helt anden dynamisk retning ... I temperament afskæres tilføjelser af kommaer (i stedet for en diatonisk halvtone med komma tilføjes en amorf tempereret halvtone ) ... Den musikalske tænknings logik er styret af forholdet og interaktionen mellem lyde i systemet i dets utempererede (for os - afdæmpede) form.

— A. S. Ogolevets [19]

Hvis vi tager som det mindste interval værdien af det pythagoræiske komma (24 cents) som et interval, der frit kan skelnes af vores hørelse, (Al-Farabi argumenterede også for, at dette interval skulle betragtes som et af de vigtigste i musikteori og -praksis, og inden for grænserne af oktavområdet, navnetypisk, de mest stabile intervaller, er det muligt at bestemme næsten 30 trin, der er bevidste og kreativt brugt i de melodiske strukturer i den musikalske praksis hos mange folk i Østen.

— G. A. Kogut [20]

Udforsker persisk. Vostu, Khorasan tanbur, F[arabi] beregnede den pythagoræiske store heltone (se Pythagoras system), som opdeles i 3 mikrointervaller (to limmaer og et komma). Hele denne tone var grundlaget for den 17-trins skala, der blev udviklet i middelalderen. østlige teoretikere.

— O. V. Rusanova [21]

I Aserbajdsjan bruges kommaer ganske bevidst i traditionel musik, sammen med søgningen efter passende systemer af deres notation [22] .

Moderne musikalsk notation i Tyrkiet indikerer direkte brugen af komma i tyrkisk musik. I takt 3..11 i det foreslåede musikeksempel er det påkrævet at spille tonen si-bekar (tyrkisk navn bûselik), men i de to første takter er det foreskrevet at spille tonen si-on-commu-nedenfor (segâh ). De uafhængige navne på to noder i kommaafstand vidner om eksistensen af en kommamatisk grad i den tyrkiske skala.

Et af kendetegnene ved Nar. melodier - deres modale variabilitet (konstante kortsigtede afvigelser fra en tilstand til en anden). Den særlige "blomstring" af meloer forklares også af stigningen og faldet i diatonisk. trin på comm; i T[urkish] m[usic] <...> er der et særligt modalt system (tyrkiske teoretikere mener, at dette system svarer til en skala med 24 trin i en oktav). Mange tyrkiske tilstande ligner europæiske, men i tyrkisk teori har de specielle navne: for eksempel kaldes den naturlige dur med støttetrinene I og V og VI-trinnet sænket til komm. mahkhur, med de samme grundlæggende trin og tredje trin sænket til komm - rast

— Music Encyclopedia [23]

Et andet indiskutabelt bevis er de særlige tilfældige, der foreskriver kommatiske stigninger/fald af sedler.

I Tyrkiet har brugen af et system med 53 kunstige kommunikationer i en oktav spredt sig , som en reference for en teori, der er kompatibel med praksis med musikfremstilling [24] .

I Indien opfattes de såkaldte shrutier ifølge en gammel definition som pitch-intervaller [25] . Der kendes tre sorter: pramana, nyuna og purana shruti [26] . Sorter kan sammenlignes med numeriske værdier: pramana shruti (70 cents), nyuna shruti (22 cents) og purana shruti (90 cents) [27] , som er opnået med en god tilnærmelse fra de kunstige kommunikationer i 53RDO-systemet [28] . Det betyder, at intervaller, der kan sammenlignes med komma, har været kendt i indisk klassisk musik siden oldtiden: de har deres egne navne og er efterspurgte sammen med alle andre intervaller.

I vestlig musik kan den konstante stræben efter at bruge kommaet bekræftes af flere hundrede års historie om fremkomsten af talrige projekter og endda lavet keyboardinstrumenter af en fast skala af usædvanligt temperament (eller uden det overhovedet), hvor trin kl. en kommaafstand er specielt tilvejebragt, hvilket giver mulighed for praktisk forskning af deres funktionelle egenskaber [29] .

Didims komma spiller den samme vigtige rolle i den seneste musikvidenskab som Pythagoras i beregninger af lige temperament, især i værker, der er helliget at dirigere, i modsætning til alle temperamenter, ren stemning (Hauptmann, Helmholtz, von Oettingen, Engel, Tanaka, etc.) . )

— G. Riemann [30]

En af dem, der viste dette i praksis, var den jugoslaviske komponist I. Slavensky. Den første del af hans komposition "Music for the nature-tone-system" blev skrevet til det enharmoniske harmonium (enharmonium) Bozanqueta [31] , verdens første musikinstrument med oktaver fra kæder af 53 kunstige kommaer .

At spille sådanne instrumenter er utænkeligt uden kommatisk notation, først udviklet af Bosanquet. Slavensky skitserede det i partiturets præamble og anvendte det eksplicit i første sats.

Det akustiske Bosanquet- instrument , bygget i 1871-72, blev efterfulgt af den amerikanske mester J.P. Whites kunstige harmonier, der understøttede oktavopdelingen i 53 systemer. Et af de tre akustiske instrumenter, han byggede, har et navneskilt:

Harmon nr. 3, Jas. Paul White, opfinder og producent, 1883

Originaltekst (engelsk)[ Visskjule] Harmon nr. 3, Jas. Paul White, opfinder og skaber, 1883

Det opbevares på Boston Conservatory, USA [32] . Designet af tastaturet og arrangementet af Whites harmonier adskiller sig på mange punkter fra Bosanquet-prototypen. Men det princip, som Bosanquet implementerede, om at bevare den samme fingersætning i opførelser af det samme stykke fra forskellige toner, respekteres.

Ligesom det unikke Bosanquet enharmonium og Whites originale harmonier, blev der også fremstillet akustiske instrumenter med komplette sæt af kunstige kommunikationssignaler i Tyskland (1914) i henhold til udviklingen i Oettingen nævnt af Riemann. Deres tastaturdesign hævder at være en ergonomisk avanceret version af Bosanquets løsning. Det er betydningsfuldt, at de blev kaldt orphotonophoniums, dvs. de lyder i korrekte toner [33] . Dette understreger, at øret opfatter musikken, der spilles i systemet med 53 kunstig komm tonal musik, som lydende korrekt. På billedet kan du se et af de orthophoniums, der opbevares i Berlin. Flere sande akkorder af denne instans kan også høres [34] . Et andet orphotonophonium opbevares i Leipzig [35] .

Interessante fakta

I 1990, for kommaet, som er forskellen mellem 665 femtedele og 389 (fejl i kilden: 359) oktaver, blev navnet satanisk foreslået [36] . Dens værdi er mindre end 1/10 af en cent (mere præcist, 0,076 cent), og navnet parodierer navnet på det syntoniske komma. Betydningen af navnet afspejler også det faktum, at det 666. led i kæden af rene femtedele viser sig at være en uadskillelig falsk forfalskning af den sande oktavversion af det indledende led i denne kæde. Således skaber den 666. femte en satanisk falsk lukning af den femte spiral. En anden person, uafhængigt og meget senere [37] , bemærkede, at den første falske lukning af denne spiral (med en forskel på et pythagoræisk komma) skaber den 12. kvint13, hvis led i spiralen viser sig at være den såkaldte djævlens dusin, og den sidste meningsfulde er et satanisk tal.
Nogle gange kaldes Mercators komma et kunstigt komma , selvom navnet kunstig blev givet til det af Mercator selv.

Noter

↑ Great Russian Encyclopedia , v.14. M., 2009, s. 645.
↑ Dillon og Musenich 2009, s. 49: " C53 = 1,002090314. C 53 er også kendt som Mercators komma _
↑ Dictionary of Music 2008, komma: "dette er navnet på forskellen mellem de matematiske værdier af to toner, der er omtrent lige store i tonehøjde"
↑ For en ren tuning er forskellen mellem seks små tredjedele og en ren duodecime , den såkaldte kleisma ( en: Kleisma ), for eksempel omkring 8,1 cent og ødelægges ikke i det sædvanlige 12RDO-system , men degenererer der til en halvtone (100 cents)
↑ Riemann 1898, s. 99: “Ifølge W. Preyers studier (Ueber die Grenzen der Tonwahrnehmung, 1876) kan erfarne musikere stadig skelne en tonehøjdeforskel på 1/2 vibration i en to-linjes oktav; for g" med 792 vibrationer ville dette give en logaritmisk værdi (baseret på 2) 0,00090, dvs. knap 2/3 af skismaet "
↑ Intervallet for en naturlig ren kvint er lig med intervallet af den naturlige skala mellem 3. og 2. overtone.
↑ Fadeev, Allon 1973, s. 255-8
↑ Hvis forholdet mellem frekvenserne af to lyde ( a ) og ( b ) er kendt, så er antallet af cents ( n ) i intervallet mellem dem: $n=1200\log _{2}\left({\frac {a}{b}}\right)\ca. 3986\log _{{10}}\left({\frac {a}{b}}\ ret)$
↑ Intervallet for den naturlige dur-terts er lig med intervallet af den naturlige skala mellem 5. og 4. overtoner.
↑ Barbieri 2008, s. 611 Arkiveret 21. marts 2013 på Wayback Machine : "komma, definition af: "kunstig" (ETS 53), 350 ( engelsk komma, definition af: "kunstig" (ETS 53), 350 )"
↑ Riemann 1898, s. 67
↑ The Ratio-bogen: en dokumentation af The Ratio Symposium, Royal Conservatory, Haag, 14.-16. december 1992 .
↑ "Lux oriente": Begegnungen der Kulturen in der Musikforschung : Festschrift Robert Günther zum 65. Geburtstag. Kassel : G. Bosse Verlag, 1995. (= Kölner Beiträge zur Musikforschung, Bd. 188).
↑ Touma HH The Music of the Arabs, s.23. trans. Laurie Schwartz. Portland, Oregon: Amadeus Press, 1996. ISBN 0-931340-88-8 .
↑ Kholopov 2003, s. 141: "vi hører en kommatisk forskel"
↑ Riemann 1898, s. 63
↑ Kholopov 2003, s. 141: "Komma kan ikke opfattes som et egentligt interval (trin)"
↑ V. B. Brainin . Et brev til en lærd nabo om nogle muligheder for mikrokromatisk komposition i forbindelse med de formodede udsigter til det musikalske sprogs udvikling. // Musikakademiet, 1997, nr. 3, C. 145 . Hentet 2. maj 2020. Arkiveret fra originalen 25. oktober 2020. (ubestemt)
↑ Ogolevets 1941, s. 61-62.
↑ Kogut 2005, s. 27
↑ Music Encyclopedia 2008-11, Farabi
↑ Alieva 2011, s. ?
↑ Music Encyclopedia 2008-11, Tyrkisk musik
↑ Yarman 2007, s. 58: "På grund af den fremragende nærhed af enhver 24-tone model til de tilsvarende toner i en oktav, når den er opdelt i 53 lige dele, er metoden med "9 komm. pr. hel tone; 53 komm. pr. oktav" enstemmigt accepteret i den tyrkiske maqam musikalsk leksikon og undervisning ( Eng. På grund af den fremragende nærhed af enten 24-tonemodeller til de relaterede toner af 53-lige inddelinger af oktaven, er "9 kommaer pr. hel tone; 53 kommaer pr. oktav"-metoden enstemmigt accepteret på tyrkisk Makam musiksprog og uddannelse )”
↑ Sarangadeva , Sangeet Ratnakar med kommentarer fra Kalinath, Anandasram-udgaven, 1897.
↑ Lentz 1961, s. ?
↑ Datta, Sengupta, Dey og Nag 2006, s. 28: “Tabel 2.4 giver fordelingen af længderne af de forudsagte shrutis. Den mindste shruti er omkring 14 cents og den største er 85 cents. Disse værdier kan sammenlignes med størrelsen af pramana shruti (70 cent), nyuna shruti (22 cent) og purana shruti (90 cent), som angivet i vestlig litteratur ( engelsk tabel 2.4 giver en fordeling af længden af den forudsagte shruti. Den mindste shruti er omkring 14 cent og den største er 85 cent. Disse værdier kan sammenlignes med målene for pramana shruti (70 cents), nyuna shruti (22 cents) og purana shruti (90 cents) som angivet i western litteratur )"
↑ Khramov 2011, s. 32: “Det ideelle CI-system er ikke lukket, men kan godt tilnærmes i et lukket system 53RDO. Et interessant træk ved dette system er nærheden af dets mindste mikrotone eller komma (22.642 ¢) til den mindste mikrotone i den indiske skala, kendt som nyuna shruti (22 ¢). Pramana shruti (70 ¢) og purana shruti (90 ¢) er tæt på summen af henholdsvis tre (67.925 ¢) og fire (90.566 ¢) komms af 53RDO-systemet . Det ideelle JI-system er ikke-lukket, men er måske ikke dårligt tilnærmet i det lukkede 53EDO-system. Som et attraktivt træk ved dette system fremstår nærhed af dens minimale mikrotone eller komma (22.642¢) til størrelsen af den minimale mikrotone på en indisk skala, som er kendt som nyuna shruti (22¢). shruti ( 90 ¢) er derfor tæt på summen af tre (67.925 ¢) og fire (90.566 ¢) kommaer i 53EDO-systemet )"
↑ Barbieri 2008, 620 s.
↑ Riemann 1898, s. 13
↑ R.H.M. Bosanquet Enharmonic Harmonium Arkiveret 12. februar 2021 på Wayback Machine // Science Museum London.
↑ Barbieri 2008, s. 100-2
↑ Goldbach 2007, 29 s.
↑ Orphotonophonium af A. von Oettingen Arkiveret 12. december 2016 på Wayback Machine // Berlin Museum of Musical Instruments
↑ Orphotonophonium af A. von Oettingen Arkiveret 3. marts 2016 på Wayback Machine // Museum of Musical Instruments of the University of Leipzig
↑ Jones 1990 som rapporteret af Monzo 2005: <<... Satanic comm. Forskellen mellem 665 kvinter og 359 oktaver er mindre end 1/10 af en cent, omkring 1/15878 af en oktav <...> [navn] blev opfundet i 1990 som en parodi på navnet på det syntoniske komma ( eng . Satanisk komma Forskellen mellem 665 kvinter og 359 oktaver, mindre end 1/10 af en cent, omkring 1/15878 af en oktav <...> opfundet 1990, som en parodi på navnet på det syntoniske komma ) .. .> >
↑ Vol 2005: i en kommentar til dette værk af hans netop skrevet i en privat samtale, bemærkede G. Vol, at den første og sidste lukning af en teoretisk uendelig femte spiral, som kan tænkes på grund af dens fysiske legemliggørelse i form af tastaturinstrumenter med en fingersætning egnet til menneskehænder, føre til tallene 12 og 665, der grænser op til de ugudelige henholdsvis 13 og 666.

Links

Goldbach KT Arthur von Oettingen und sein Orthotonophonium im Kontext // Tartu ülikooli muusikadirektor 200, hrsg. v. Geiu Rohtla, Tartu 2007.— s. 29.
Datta AK, Sengupta R., Dey N., Nag D. Eksperimentel analyse af Shrutis fra forestillinger i hindustansk musik (engelsk) . - Kolkata, Indien: SRD ITC SRA, 2006. - S. 103. - ISBN 81-903818-0-6 .
Dillon, George; Musenich R. The Huygens Comma: Some Mathematics Concerning The 31-Cycle // Thirty-One. The Journal of the Huygens-Fokker Foundation : Journal / Gilmore, Bob. - Amsterdam: Stichting Huygens-Fokker Center for Mikrotonal Musik, 2009. - Vol. 1 . - S. 49-56 .
Khramov, M. On Amount of Notes in Octave //Ninãd, Journal of the ITC-SRA / Datta AK, Sengupta R.. - Kolkata, Indien: ITC Sangeet Research Academy. Afd. af Akademisk Forskning, 2011. - December ( bind 25 ). - S. 31-37 . — ISSN 0973-3787 . Arkiveret fra originalen den 18. oktober 2012. Arkiveret 18. oktober 2012 på Wayback Machine
Lentz DA -toner og intervaller af hinduistisk klassisk musik // University of Nebraska Studies, New Series No.24, University of Lincoln, 1961.
Monzo, J. Tuning termer af Marc Jones . Tonalsoft Encyclopedia of Microtonal Music Theory (2005). Hentet 22. oktober 2012. Arkiveret fra originalen 23. oktober 2012. (ubestemt)
Yarman, Ozan. A Comparative Evaluation of Pitch Notations in Turkish Makam Music: Abjad Scale & 24-Tone Pythagorean Tuning - 53 Equal Division of the Octave as a Common Grid // Journal of interdisciplinary music studies: journal / ?. -?, 2007. - Efterår ( bd. 1 , nr. 2 ). - S. 43-61 . — ISSN ? . Arkiveret fra originalen den 18. maj 2013.
Aliyeva, I. Mikrotonal notation gennem numeriske præciseringer af tilfældige tegn (på eksemplet med tjæreskalaen) // Musiqi Dünyası, publisistik musiki jurnali: journal / Mamedov T. A .. - 2011. - V. 47 . — S.? . — ISSN 2219-8482 . (Russisk)
Barbieri P. Enharmoniske instrumenter og musik, 1470-1900 . - Latina: Il Levante libreria editrice, 2008. - 620 sider. ISBN 978-88-95203-14-0
Vol., Gennady Algebra of Tonal Functions (2005). Hentet 23. oktober 2012. Arkiveret fra originalen 4. november 2012. (ubestemt)
Kogut G. A. Mikrotonal musik . - Kiev: Naukova Dumka, 2005 (på russisk). — 264 sider ISBN 966-00-0604-7
Musikalsk encyklopædi. Kilde: Music Encyclopedia i 6 bind, 1973-82 Tyrkisk musik . www.music-dic.ru (2008-11). Hentet: 24. oktober 2012. (ubestemt)
Musikalsk encyklopædi. Kilde: Musical encyclopedia in 6 bind, 1973-82 Farabi . www.music-dic.ru (2008-11). Hentet: 24. oktober 2012. (ubestemt)
Musikalsk ordbog. Baseret på udgivelsen: Riemann G. Musical Dictionary [Trans. med ham. B.P. Yurgenson, tilføje. Russisk afdeling], 1901 Komma (utilgængelig link - historie ) . "DirectMedia Publishing" (2008). Hentet: 23. oktober 2012. (ubestemt)
Ogolevets A. S. Grundlæggende for det harmoniske sprog. M. - L., 1941. - ? side .
Riemann, G. Akustik fra et musikvidenskabeligt perspektiv . — Oversættelse fra tysk af N. Kashkin. - Moskva: Tipo-lit. K. Alexandrova, 1898. - S. 1 - 83. (Russisk)
Riemann, G. Akustik fra et musikvidenskabeligt perspektiv . — Oversættelse fra tysk af N. Kashkin. - Moskva: Tipo-lit. K. Alexandrova, 1898. - S. 84 - 147. (Russisk)
Fadeev I. G., Allon S. M. Reparation og stemning af klaverer og flygler - M .: Let industri, 1973. - 304 sider.
Kholopov Yu. N. Harmony: Teoretisk kursus: Lærebog . - Skt. Petersborg, Moskva, Krasnodar: Lan Publishing House, 2003. - S. 541. - ISBN 5-8114-0516-2 .

Litteratur

Zubov A. Yu. Komma // Great Russian Encyclopedia. T. 14. Moskva, 2009, s. 645.

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Brockhaus og Efron Lille Brockhaus og Efron Musical Riemann Britannica (online) Ordbog for musik og musikere

Musikalske intervaller
Enkel	Prima Sekund Tredje Quart Quint Sjette Syvende Oktav
Sammensatte	Nona Decima Undecima duodecyma Terzdecima Quartdecima Quintdecima
Mikrointervaller	Skisma Diaschisme Komma Diez Cent Millioktav
Særlig	Hel tone Halvtone Limma Apotoma Deaton Halv Diton Triton Ulvekvint