Krystallografisk punktsymmetrigruppe

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 21. december 2021; verifikation kræver 1 redigering .

En krystallografisk punktsymmetrigruppe er en punktsymmetrigruppe, der beskriver en krystals makrosymmetri . Da kun 1, 2, 3, 4 og 6 rækkefølger af akser (rotation og ukorrekt rotation) er tilladt i krystaller, er kun 32 af hele det uendelige antal punktsymmetrigrupper krystallografiske.

Notation

Symbolik af Bravais

Det bruges hovedsageligt til uddannelsesformål og går ud på at liste alle elementerne i en punktgruppe. Roterende symmetriakser er angivet med bogstavet L med et underskrift n svarende til rækkefølgen af aksen ( ) — , , , og . Inverterede akser (en kombination af rotation med inversion) er angivet med bogstavet Ł med et underskrift n svarende til akserækkefølgen ( Ł n ) - Ł 2 , Ł 3 , Ł 4 og Ł 6 . Den første ordens inversionsakse (inversionscenter) er angivet med symbolet C. Den anden ordens inversionsakse er simpelthen symmetriplanet og er normalt betegnet med symbolet P. For at forfine orienteringen af planet i forhold til hovedaksen kan forskellige indekser bruges, f.eks. || og ⊥. For eksempel betegner symbolet L 2 P ⊥ C en gruppe bestående af en andenordens akse og et plan vinkelret på denne (og, som en konsekvens af deres interaktion, inversionscentrum), og symbolet L 2 2 P | | - en gruppe bestående af en andenordens akse og to planer parallelt med denne (selvom der kun er tale om parallelle planer, er symbolet || normalt udeladt og vil være L 2 2 P ). Symbol L 4 4 L 2 4 P || P ⊥ C betegner en gruppe bestående af en fjerdeordens akse, fire andenordens akser vinkelret på den, fire planer parallelt med den, en vinkelret på planet og inversionscentret. $L_{n}$ $L_{1}$ $L_{2}$ $L_{3}$ $L_{4}$ $L_{6}$

Symbolisme af skoenfluer

Schoenflies- symbolikken er baseret på klassificering af punktgrupper efter familier og bruges i vid udstrækning til at betegne alle punktgrupper generelt, og ikke kun krystallografiske.

En familie af grupper med en enkelt roterende akse er betegnet med det latinske bogstav C med et indeks, der angiver rækkefølgen af aksen. Krystallografiske indbefatter C1 , C2 , C3 , C4 og C6 . _ _ _ _

Tilføjelsen af et vandret plan til grupperne Cn er angivet med det ekstra indeks h . Vi får grupperne C 2h , C 3h , C 4h og C 6h .

Tilføjelsen af lodrette planer til grupperne Cn er angivet med det ekstra indeks v . Grupperne C 2v , C 3v , C 4v og C 6v .

Da der ikke er særlige retninger i C 1 -gruppen , kan det tilføjede plan ikke karakteriseres som lodret eller vandret. Et sådant plan er angivet med indekset s . Således er symbolet for en gruppe bestående af et symmetriplan C s ( tysk spejl - spejl).

Grupper med akser af anden orden, vinkelret på hovedaksen, er angivet med bogstavet D med et indeks, der viser rækkefølgen af hovedrotationsaksen. De krystallografiske er D 2 , D 3 , D 4 og D 6 .

Tilføjelsen af et vandret plan til grupperne D n betegnes, som i tilfældet med C n , med et yderligere indeks h . Grupperne er D 2h , D 3h , D 4h og D 6h .

Tilføjelsen af lodrette planer til grupperne D n er tvetydig, da planerne kan placeres både mellem andenordens vandrette akser og falde sammen med dem. I det første tilfælde tilføjes indekset d , der angiver det diagonale arrangement af planerne (diagonalt mellem retningerne af andenordens akser). Krystallografiske grupper D 2d og D 3d opnås . I D nd - grupperne fører samspillet mellem andenordens vandrette akser og lodrette spejlplaner til fremkomsten af en spejlakse af orden 2n . Derfor er grupperne D 4d og D 6d ikke krystallografiske, da de indeholder spejlakser af henholdsvis orden 8 og 12. Tilføjelse til grupperne D n lodrette planer langs akserne af anden orden genererer et vandret symmetriplan, og grupperne D nh beskrevet ovenfor opnås

Grupper bestående af én spejlakse er betegnet med symbolet S n . For ulige n er spejlaksen ækvivalent med tilstedeværelsen af en rotationsakse af orden n og et plan vinkelret på den, det vil sige gruppen C nh , derfor er indekset n i grupperne S n altid lige. Disse omfatter S 2 (en gruppe, der kun består af inversionscentret), S 4 og S 6 . Enhver spejlakse kan beskrives på samme måde som inversionsaksen, derfor er en alternativ betegnelse for disse grupper Cni , hvor n er rækkefølgen af inversionsaksen. C i = S 2 , C 4i = S 4 og C 3i = S 6 opnås .

Krystallografiske punktgrupper, hvori der er flere akser af højere orden (det vil sige mere end to ordener), er angivet med symbolerne T eller O , afhængigt af rotationsakserne i dem. Yderligere indeks h og d angiver tilstedeværelsen af vandrette (og lodrette) og diagonale symmetriplaner. Hvis gruppen kun indeholder rotationsakser af 2. og 3. orden, er gruppen betegnet med symbolet T (da en sådan kombination af rotationsakser er til stede i tetraederet). Hvis gruppen kun indeholder rotationsakser af 2, 3 og 4 orden, er gruppen betegnet med symbolet O (da en sådan kombination af rotationsakser er til stede i oktaederet). Tilføjelsen af vandrette symmetriplaner fører til grupperne T h og O h ( O h er symmetrigruppen for terningen og oktaederet). Begge grupper indeholder både vandrette og lodrette planer. Tilføjelse af diagonale planer til gruppen T fører til gruppen T d (tetraederens symmetrigruppe). Gruppen O d eksisterer ikke, da tilføjelse af diagonale planer til gruppen O vil føre til grænsesymmetrigruppen for en kugle, der indeholder alle mulige rotationer og refleksioner.

Schoenflies notation bruges i gruppeteori , fysik og krystallografi . I Schoenflies-symbolikken bruges kun generative symmetrielementer (det vil sige, hvorfra alle andre symmetrielementer i gruppen kan udledes). Betegnelserne er invariante med hensyn til valget af koordinatsystemet, hvilket både er en fordel, når vi blot er interesseret i systemets symmetri, og en ulempe, hvis orienteringen af symmetrielementerne i punktgruppen er vigtig m.h.t. andre objekter, for eksempel krystalkoordinatsystemet, eller med hensyn til akserne rumgruppe Bravais gitter . Derfor bruges Hermann-Mogen-symboler oftere i krystallografi, især til at beskrive rumgrupper.

Symbolism of Hermann - Mogen (international symbolism)

Herman-Mogen symbolet angiver symmetrisk ikke-ækvivalente symmetrielementer. Roterende symmetriakser er angivet med arabiske tal - 1, 2, 3, 4 og 6. Inversionsakser er angivet med arabiske tal med en tankestreg øverst - 1 , 3 , 4 og 6 . I dette tilfælde er aksen 2 , som blot er et symmetriplan, betegnet med symbolet m (engelsk spejl - spejl). Planens retning er retningen vinkelret på den (det vil sige 2 -aksen ). Spejlakser bruges ikke i internationale symboler. Elementets orientering i forhold til koordinatakserne er givet af elementets position i gruppesymbolet. Hvis retningen af symmetriaksen falder sammen med retningen af flyet, så skrives de i samme position som en brøk. Hvis inversionsaksen har en større symmetri end rotationsaksen, der falder sammen med den, er den angivet i symbolet (det vil sige, de skriver ikke , men 6 ; hvis der er et inversionscenter i gruppen, ikke 3, men 3 ). $\color {Sort}{\tfrac {3}{m}}$

Den laveste kategori er punktgrupper, hvor den maksimale rækkefølge af enhver akse (rotation eller forkert rotation) er lig med to. Det omfatter gruppe 1, 1 , 2, m, , 222, mm2 og . Hvis der er tre positioner i gruppesymbolet, så $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

på 1. position - retning langs X-aksen

i 2. position - retning langs Y-aksen

i 3. position - retning langs Z-aksen

I en brugerdefineret opsætning kan mm2-gruppen skrives som m2m eller som 2mm. Tilsvarende kan grupper 2, m og skrives mere detaljeret - angiver langs hvilken koordinatakse retningen af andenordens akse og/eller plan går. For eksempel 11m, 1m1 eller m11. Dette træk ved symbolikken bruges til entydigt at beskrive rumgrupper med et andet valg af koordinatsystem, da symbolerne for rumgrupper er afledt af symbolerne for deres tilsvarende punktgrupper. $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$

Midterste kategori - punktgrupper, hvor der er én ordensakse over to (højeste ordensakse). Her skal det bemærkes, at krystallografi bruger et krystallografisk koordinatsystem forbundet med krystallens symmetri. I dette system vælger akserne specielle retninger i krystallen (de retninger, som symmetri- eller translationsakserne går langs). Derfor er vinklen [1] mellem X- og Y-retningerne 120° i nærvær af en akse af 3 eller 6 orden, og ikke 90° som i det sædvanlige kartesiske koordinatsystem .

i 1. position - retningen af hovedaksen, det vil sige Z-aksen

i 2. position - en sideretning. Det vil sige retningen langs X-aksen og den tilsvarende Y-akse

i 3. position - en diagonal retning mellem symmetrisk ækvivalente sideretninger

Denne kategori omfatter grupperne 3, 4, 6, 3 , 4 , 6 , 32, 422, 622, 3m, 4mm, 6mm, 3 , 4 2m, 6 m2, , , og . $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {6}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

Da 3-aksen og planet vinkelret på den er ækvivalent med 6 -aksen , så = 6 og m2 = 6 m2, men det anbefales at bruge notationen med den omvendte akse 6 , da dens symmetri er højere end den for 3 akse Grupperne 4 2m og 6 m2 kan skrives som 4 m2 og 6 2m. Ovenfor var betegnelserne vedtaget i den russisksprogede litteratur. Rækkefølgen af symboler 2 og m i disse grupper bliver vigtig, når man beskriver rumgrupper afledt af dem, da elementet i den anden position er rettet langs Bravais-cellens akse, og elementet i den tredje position er rettet langs diagonalen af ansigtet. For eksempel repræsenterer symbolerne P 4 2m og P 4 m2 to forskellige rumgrupper. Gruppe 32 kan også skrives mere detaljeret som 321 eller 312 for forskellige orienteringer af aksen 2. Ligeledes resulterer forskellige orienteringer i to forskellige rumgrupper P321 og P312. Det samme gælder for gruppe 3m (alternative poster 3m1 og 31m) og 3 (alternative poster 3 1 og 3 1 ). $\color {Sort}{\tfrac {3}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {3}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$

Den højeste kategori er punktgrupper, hvor der er flere akser af højere orden.

på 1. position - tilsvarende retninger X, Y, Z

i 2. position - tilstede altid der fire akser 3 eller 3

i 3. position - diagonalretningen mellem koordinatakserne

Denne kategori omfatter fem grupper - 23, 432, 3 , 4 3m og 3 $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$

Internationale symboler forenkles normalt ved at erstatte med m , hvis n -aksen er genereret af andre symmetrielementer angivet i symbolet. Du kan ikke fjerne kun betegnelsen for hovedaksen i den midterste kategori. For eksempel skriver de som mmm, som mm og 3 som m 3 m. $\color {Sort}{\tfrac {n}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$

Shubnikovs symboler

Shubnikov-symbolerne indtager en mellemposition mellem Schoenflies-symbolerne og Hermann-Mogen-symbolerne. I udseende ligner de mere sidstnævnte, men i betydningen er de tættere på Schoenflies-symbolerne. Ligesom i Herman-Mogen symbolerne er akserne betegnet med arabertal, og planet med symbolet m . Men for at angive aksen for forkert rotation vælges spejlaksen, og ikke den omvendte, som i det internationale symbol. Spejlaksen er angivet med et arabisk tal med et tildetegn: en 2. ordens spejlakse (samme som centrum af inversion 1 ), en 4. ordens spejlakse (alias en 4. ordens inversionsakse 4 ) og en 6. ordens spejlakse ( svarende til inversionsakse af tredje orden 3 ). Ligesom i Schoenflies-symbolerne er kun genererende symmetrielementer angivet. For eksempel betyder Shubnikov-symbolet 4 : 2, samt Schoenflies' D 4 , at gruppen er dannet af en 4. ordens akse og en 2. ordens akse vinkelret på den, mens det internationale symbol 422 også angiver tilstedeværelsen i gruppen symmetrisk ikke-ækvivalente akser af anden orden. Retningen af sideakser og -planer er angivet gennem tegnet : hvis de er vinkelrette på hovedaksen, • - hvis de er parallelle med hovedaksen og / - hvis de hælder i forhold til hovedaksen. Vær opmærksom på betegnelserne for grupperne og . Ligesom i de tilsvarende internationale symboler 4 2m og 3 m betegner de akserne for ukorrekt rotation, mens der i Schoenflies symbolerne D 2d og D 3d kun er angivet rotationsakser, der er en del af akserne for ukorrekt rotation (akse 2 er inkluderet in og akse 3 er inkluderet i ). ${\tilde {2}}$ ${\tilde {4}}$ ${\tilde {6}}$ ${\tilde {4}}\cdot m$ ${\tilde {6}}\cdot m$ ${\tilde {4}}$ ${\tilde {6}}$

Orbifold notation

Orbifold-notationen blev foreslået af William Thurston og populariseret af John Conway . [2] [3] I princippet blev det indført for at beskrive symmetrigrupper på todimensionelle overflader med konstant krumning (f.eks. 17 todimensionale krystallografiske grupper på et plan, symmetrigrupper på et hyperbolsk plan, symmetrigrupper på en kugle) , men da symmetrigrupper på en kugle er ækvivalente tredimensionelle punktgrupper, kan disse notationer også bruges til sidstnævnte. Her er betydningen af orbifold notation forklaret i beskrivelsen af tredimensionelle punktgrupper.

Som i det internationale system er tilstedeværelsen af symmetriakser angivet med arabiske tal, og begge betegnelser indikerer ikke kun genererende elementer, men også symmetrisk ikke-ækvivalente. Her er der dog en lille forskel - i orbifoldsystemet er der ikke kun angivet ikke-ækvivalente symmetriakser, men ikke-ækvivalente retninger. Hver akse har to retninger ("op og ned" for lodret eller "venstre og højre" for vandret). For eksempel, i grupper med en enkelt akse ( C n ifølge Schoenflies), er disse retninger ikke ækvivalente, så sådanne grupper er betegnet som nn. Krystallografiske grupper omfatter grupperne 11, 22, 33, 44 og 66. I grupper med 2. ordens akser vinkelret på hovedaksen ( D n ifølge Schoenflies) "vender" 2. ordens akserne hovedaksen 180 grader, hvilket gør begge retninger er ækvivalente. Der er dog to typer af 2. ordens retninger i sådanne grupper, så grupperne er betegnet som n22. Tallenes rækkefølge er ikke vigtig, kun deres position i forhold til symbolet på symmetriplanet (hvis det er til stede i gruppen) er vigtigt, hvilket vil blive diskuteret nedenfor. Grupperne 222, 322, 422 og 622 vil være krystallografiske (du kan også skrive 222, 223, 224 og 226). Det er interessant at sammenligne disse symboler med de tilsvarende internationale symboler 222, 32, 422 og 622. I grupper med en lige ordens hovedakse er der to klasser af symmetrisk ikke-ækvivalente vandrette akser af 2. orden (derfor to 2'ere) i det internationale symbol), men for hver af akserne er begge retninger ækvivalente . I grupper med en ulige ordens hovedakse er alle akser af 2. orden ækvivalente (derfor er det internationale symbol 32, ikke 322), men "venstre" og "højre" retningerne af disse vandrette akser er forskellige, så vi får stadig to klasser af symmetrisk ikke-ækvivalente retninger 2. orden, og i orbifoldnotationen får vi 322 (522, 722 osv.).

Tilstedeværelsen af et eller flere symmetriplan i en gruppe er angivet med en enkelt stjerne *. Desuden, hvis aksesymbolet er placeret til højre for stjernen, så passerer symmetriplanerne gennem aksen (n planer gennem aksen i den n. orden), hvis tallet er placeret til venstre for stjernen, så fly passerer ikke gennem aksen. For eksempel, i *332-gruppen ( T d ifølge Schoenflies) passerer fly gennem alle akserne, og i gruppen 3 * 2 ( T h ifølge Schoenflies) passerer flyene kun gennem 2. ordens akser, men ikke igennem 3. ordens akser.

Et par flere eksempler:

I grupper med et symmetriplan vinkelret på hovedsymmetriaksen ( C nh ifølge Schoenflies), bliver begge retninger af aksen ækvivalente, og grupperne er betegnet med symbolet n*. De krystallografiske grupper vil være 2*, 3*, 4* og 6*. Hvis symmetriplanet går gennem aksen ( C nv ifølge Schoenflies), så placeres stjernen som nævnt ovenfor til venstre for tallet, og vi får grupperne *22, *33, *44, *66 . Tallene fordobles igen, da retningerne af hovedaksen ("op og ned") igen er ikke-ækvivalente.

Ikke kun symmetriplan kan oversætte dele af en figur (fragmenter af et motiv) til spejlsymmetriske. For eksempel omfatter sådanne elementer spejl- og inversionsakser. For todimensionelle krystallografiske grupper på et plan er et sådant element en græsningsrefleksion (det vil sige en refleksion med et samtidig skift langs reflektionslinjen). Tilstedeværelsen af et sådant element i en gruppe er angivet med ikonet x ("mirakel" ifølge Conway). Dette ikon bruges kun, hvis elementets handling ikke på nogen måde kan repræsenteres som en kombination af andre elementer fra gruppesymbolet. I tilfælde af 3-dimensionelle punktgrupper refererer dette til grupper bestående af en enkelt spejlakse af lige orden, S 2 = C i , S 4 og S 6 . De vil blive mærket henholdsvis 1x, 2x og 3x.

Coxeters notation

Til at begynde med brugte Coxeter disse notationer til grupper dannet af et sæt symmetriplaner. Når to symmetriplaner skærer hinanden i en vinkel på grader, dannes en symmetriakse af n . orden, og der opnås en punktgruppe C nv , som vil blive betegnet som [n]. Hvis en gruppe er genereret af tre planer, så består gruppesymbolet af to cifre [n, m], hvor hvert ciffer igen angiver rækkefølgen af rotationsaksen dannet i skæringspunktet mellem planerne. Disse grupper inkluderer Dnh- grupperne , som vil blive betegnet som [n,2], såvel som symmetrigrupperne af regulære polyedre Th ( tetrahedron ), Oh ( terning ) og Ih ( icosahedron ) , som vil være betegnet som [3,3], [4,3] og [5,3]. De resterende symmetrigrupper kan betragtes som undergrupper af de ovenfor beskrevne, og for at beskrive dem blev Coxeter-notationen suppleret med et +-tegn. Hvis + står bag firkantede parenteser, fjernes symmetriplaner fra hele gruppen, og kun gruppens aksiale kompleks er tilbage. For eksempel angiver [3,3] + , [4,3] + og [5,3] + grupperne T , O og I . Hvis + er inden for parenteserne over et af tallene, fjernes de to tilsvarende genererende symmetriplan (men aksen, der genereres af dem, forbliver), og nogle andre elementer i gruppen forsvinder med dem. I begge tilfælde er rækkefølgen af gruppen halveret. Grupper af typen [n + ,m + ] er skæringspunktet mellem grupper [n + ,m] og [n, m + ], det vil sige, de består af symmetrielementer, der er til stede i begge oprindelige grupper. Rækkefølgen af gruppen [n + ,m + ] er fire gange mindre end rækkefølgen af gruppen [n, m]. Punktgrupper af denne type har altid formen [2n + ,2 + ] og svarer til S 2n Schoenflies-symboler. $\color {Sort}{\tfrac {180}{n}}$

Lad os forklare notationen ved at bruge eksemplet med grupper med en fjerdeordens akse. Når to planer skærer hinanden i en vinkel på 45°, dannes en 4. ordens akse, og den resulterende gruppe er C 4v (internationalt symbol 4mm), som vil blive betegnet som [4]. Når der tilføjes et symmetriplan mere, som er vinkelret på begge symmetriplaner, dannes gruppen D 4h ( ), som betegnes som [4,2]. Hvis vi fjerner symmetriplanerne fra gruppen [4] (men lader symmetriaksen, der genereres af dem), så får vi gruppen C 4 (internationalt symbol 4), betegnet som [4] + . Hvis vi fjerner alle symmetriplaner fra gruppen [4,2], så får vi gruppen D 4 (422), betegnet som [4,2] + . $\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

Gruppen [4 + ,2] betegner gruppen [4,2], hvor de lodrette symmetriplaner, som gav anledning til 4. ordens akse, blev fjernet, mens selve 4. ordens akse forblev, og det vandrette plan også forblev. Men de vandrette akser af anden orden forsvandt. Den resulterende gruppe er C4h ( ) . Fra dette eksempel kan du se, at + over et af cifrene "dræber" den symmetriakse, der svarer til det tilstødende ciffer. $\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}$

Gruppen [4,2 + ] betegner gruppen [4,2], hvori det vandrette plan og en af de vertikale generatorer er blevet fjernet. Således forblev de vandrette akser af 2. orden delvist, men aksen af 4. orden forsvandt. Den resulterende gruppe består af to vandrette akser af 2. orden og to lodrette planer, der løber mellem dem. Dette er gruppen D 2d ( 4 2m).

Endelig er gruppen [4 + ,2 + ] skæringspunktet mellem grupperne [4 + ,2] og [4,2 + ] og er simpelthen den 4. ordens spejlakse S 4 ( 4 ), der er til stede i begge grupper og 4 2m. $\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}$

Sammenligning af forskellige notationer for punktgrupper

Kategori	Syngony	Krystal system	Herman-Mogen (fuldt symbol)	Herman Mogen (forkortet)	Shubnikov symboler	Skoenfluer symboler	Modige symboler	Orbifold	Coxeter	Gruppebestilling _
Underlegen	Triclinic		en	en	$en\$	C1 _	L1 _	elleve	[ ] +	en
	Triclinic		en	en	${\tilde {2}}$	C i \u003d S 2	C = 1 1	x	[2 + ,2 + ]	2
	Monoklinisk		2	2	$2\$	C2 _	L2 _	22	[2] +	2
			m	m	$m\$	Cs = C1h _	P = 2 £	*	[ ]	2
			$\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$	2/m	$2:m\$	C 2h	L 2 P ⊥ C	2*	[ 2,2+ ]	fire
	Rhombic		222	222	$2:2\$	D2 = V	3L2 _ _	222	[2,2] +	fire
			mm2	mm2	$2\cdot m\$	C 2v	L22P _ _ _	*22	[2]	fire
			$\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	hmmm	$m\cdot 2:m\$	D2h _	3 L 2 3 PC	*222	[2,2]	otte
Medium	tetragonal		fire	fire	$fire\$	C4 _	L 4	44	[4] +	fire
			fire	fire	${\tilde {4}}$	S4 _	L 4	2x	[2 + ,4 + ]	fire
			$\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}$	4/m	$4:m\$	C4h _	L 4 P ⊥ C	fire*	[ 2,4+ ]	otte
			422	422	$4:2\$	D4 _	L 4 4 L 2	422	[4,2] +	otte
			4 mm	4 mm	$4\cdot m\$	C4v _	L44P _ _ _	*44	[fire]	otte
			42m _	42m _	${\tilde {4}}\cdot m$	D2d _	L 4 2 L 2 2 P	2*2	[2 + ,4]	otte
			$\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	4/mmm	$m\cdot 4:m\$	D4h _	L 4 4 L 2 4 P \|\| P ⊥ C	*422	[4,2]	16
	Sekskantet	Trigonal	3	3	$3\$	C3 _	L 3	33	[3] +	3
			3	3	${\tilde {6}}$	S6 = C3i _	Ł 3 = L 3 C	3x	[2 + ,6 + ]	6
			32	32	$3:2\$	D3 _	L 3 3 L 2	322	[3,2] +	6
			3m	3m	$3\cdot m\$	C 3v	L 3 3 P	*33	[3]	6
			3 $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$	3 m	${\tilde {6}}\cdot m$	D3d _	£ 3 3 L 2 3 P = L 3 3 L 2 3 PC	2*3	[2 + ,6]	12
		Sekskantet	6	6	$6\$	C6 _	L 6	66	[6] +	6
			6	6	$3:m\$	C 3h	L 3 P ⊥ = 6 £	3*	[ 2,3+ ]	6
			$\color {Sort}{\tfrac {6}{m}}$	6/m	$6:m\$	C6h _	L 6 P ⊥ C	6*	[ 2,6+ ]	12
			622	622	$6:2\$	D6 _	L 6 6 L 2	622	[6,2] +	12
			6 mm	6 mm	$6\cdot m\$	C6v _	L66P _ _ _	*66	[6]	12
			6 m2	6 m2	$m\cdot 3:m\$	D3h _	L 3 3 L 2 3 P \|\| P ⊥ = £ 6 3 L 2 3 P	*322	[3,2]	12
			$\color {Sort}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	6/mmmm	$m\cdot 6:m\$	D6h _	L 6 6 L 2 6 P \|\| P ⊥ C	*622	[6,2]	24
Højere	kubik		23	23	$3/2\$	T	3 L 2 4 L 3	332	[3,3] +	12
			$\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$ 3	m 3	${\tilde {6}}/2$	T h	3 L 2 4 L 3 3 PC _	3*2	[3 + ,4]	24
			43m _	43m _	$3/{\tilde {4}}$	T d	3 £ 4 4 L 3 6 P	*332	[3,3]	24
			432	432	$3/4\$	O	3 L 4 4 L 3 6 L 2	432	[4,3] +	24
			$\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}$ 3 $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$	m 3 m	${\tilde {6}}/4$	Åh h	3 L 4 4 L 3 6 L 2 9 PC	*432	[4,3]	48

Billede af punktgrupper. Stereografiske projektioner af punktgrupper

Symmetriplanerne er angivet med dobbelte linjer, rotationsakserne er angivet med den tilsvarende polygon (akserne af anden orden er angivet med en oval), og inversionscentret er angivet med en åben cirkel. Inversionsakserne af fjerde og sjette orden er angivet med en uudfyldt firkant og en sekskant; samtidig er akserne for den anden og tredje orden inkluderet i dem (akse 2 tilhører 4 , akse 3 tilhører 6 ).

Krystal system	Stereografiske projektioner [4]
Triclinic	1 , Cl	1 , Ci _
Monoklinisk	2 , C2	m , Cs _	$\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$ , C2h _
Rhombic				222 , D2	mm2 , C2v _		$\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 2h
tetragonal	4 , C4	4 , S4 _	$\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}$ , C4h _	422 , D4	4 mm , C 4v	4 2 m , D 2d	$\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 4h
Trigonal	3 , C3	3 , S6 _		32 , D3	3m , C 3v _	3 , D 3d $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$
Sekskantet	6 , C6	6 , C 3h	$\color {Sort}{\tfrac {6}{m}}$ , C 6h	622 , D6	6mm , C 6v _	6m2 , D3h _ _	$\color {Sort}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 6h
kubik	23, T		$\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$ 3 , th _	432, O		4 3 m , T d	$\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}$ 3 , åh _ $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$

Skema for forbindelse mellem punktgrupper

I dette diagram er grupperne arrangeret fra mindre symmetrisk (nederst) til grupper med højere symmetri (øverst). Grupper af samme orden ligger i samme højde. Hver underliggende gruppe er en undergruppe af den overordnede gruppe, der er knyttet til den med en linje. For at lette opfattelsen er linjerne givet i forskellige farver.

Historie

Den første konklusion af alle 32 krystallografiske punktgrupper blev givet i 1830 af Johann Hessel i hans afhandling "Krystallometri eller krystallonomi og krystallografi, udviklet på en original måde på grundlag af en ny generel lære om egentlige figurer, med en fuldstændig gennemgang af de mest vigtige værker og metoder fra andre krystallografer." Denne udledning af punktgrupper gik dog ubemærket hen. Den følgende konklusion blev givet af Auguste Bravais i 1849 i hans memoirer An Inquiry into Polyhedra of Symmetrical Shape. Men Bravais tog ikke højde for akserne for ukorrekt rotation (spejlrotation eller inversion), og som et resultat udelod han S 4 -gruppen . Alle de andre 31 krystallografiske grupper kan udledes som en kombination af kun symmetriakserne, reflektionsplanerne og inversionscentret. Endelig i 1867 udgav Axel Gadolin i "Notes of the Petersburg Mineralogical Society" "Afledning af alle krystallografiske systemer og deres underafdelinger fra én fælles begyndelse." Det var i Gadolins arbejde, at det for første gang eksplicit blev rapporteret, at antallet af symmetrityper for krystallinske polyedre (det vil sige krystallografiske punktsymmetrigrupper) er 32. I dette arbejde introducerede Gadolin begrebet en inversionsakse i videnskab. Det er også i denne artikel, at stereografiske projektioner af 32 punktgrupper først optræder.

Se også

Noter

↑ Se lov om vinklers konstantitet ( Stensen, Niels )
↑ Conway J., Smith D. Om kvaternioner og oktaver, om deres geometri, aritmetik og symmetri. M.: MTSNMO, 2009.
↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008
↑ Stereografisk projektion , se for eksempel Symmetry of crystals - en artikel fra Physical Encyclopedia

Litteratur

Hexagonal system // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya, Geometric Crystallography, Moscow State University, 1973
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya, Crystallography, Moscow State University, 1992
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Theory of crystal symmetry, GEOS, 2000 (tilgængelig online )
P. M. Zorkiy. Symmetri af molekyler og krystalstrukturer , Moscow State University, 1986 (tilgængelig online )
A.V. Shubnikov. Symmetri og antisymmetri af endelige figurer, Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1951
I. I. Shafranovsky. Krystallografiens historie. XIX århundrede, L., "Nauka", 1980