Cauchy integral formel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. september 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Cauchys integralformel er en relation for holomorfe funktioner af en kompleks variabel, der relaterer værdien af en funktion i et punkt til dens værdier på konturen omkring punktet.

Denne formel udtrykker et af de vigtigste træk ved kompleks analyse : værdien på ethvert punkt i regionen kan bestemmes ved at kende værdierne ved dens grænse.

Ordlyd

Lad være et domæne på det komplekse plan med stykkevis glat grænse , lad funktionen være holomorf i , og være et punkt inde i domænet . Så er følgende Cauchy-formel gyldig: $D$ $\Gamma=\delvis D$ $f(z)$ $\overline {D}$ $z_{0}$ $D$

f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}} }\,dz.

Formlen er også gyldig, hvis vi antager, at den er holomorf indvendig og kontinuerlig på lukningen, og også hvis grænsen ikke er stykkevis glat, men kun retificerbar . $f(z)$ $D$ $D$

Bevis

Betragt en cirkel med tilstrækkelig lille radius centreret i punktet . $S_{\rho }$ $\rho$ $z_{0}$

I det område, der er afgrænset af konturerne og (det vil sige, der består af punkterne i området , bortset fra punkterne indeni ), har integranden ingen singulariteter, og af Cauchy-integralsætningen integralet af det over grænsen af dette område er lig nul. Det betyder, at uanset at vi har ligestillingen $\Gamma$ $S_{\rho }$ $D$ $S_{\rho }$ $\rho$

\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz=\int \limits _{S_{\rho }}{\frac { f(z)}{z-z_{0}}}\,dz.

For at beregne integralerne over anvender vi parametriseringen . $S_{\rho }$ $z=z_{0}+\rho e^{i\varphi },\ \varphi \in [0;\;2\pi ]$

Først beviser vi Cauchy-formlen separat for sagen : $f(z)=1$

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {1}{z-z_{0}}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\rho e^{i\varphi }}}i\rho e^{i\ varphi }\,d\varphi =1.

Lad os bruge det til at bevise den generelle sag:

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz- f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}} }\,dz-{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z_{0})}{z-z_{0}} }\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z- z_{0}}}\,dz.

Da funktionen er kompleks differentierbar på punktet , så $f(z)$ $z_{0}$

{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}=f'(z_{0})+o(1).

Integralet af er lig med nul: $f'(z_{0})$

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}f'(z_{0})\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }f'(z_{0})i\rho e^{i\varphi }\,d\varphi =0.

Udtrykkets integral kan gøres vilkårligt lille for . Men da det slet ikke afhænger af, betyder det, at det er lig nul. Som et resultat får vi det $o(1)$ $\rho \to 0$ $\rho$

{\frac {1}{2\pi i))\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0))}\,dz-f(z_ {0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z- z_{0}}}\,dz=0.

Konsekvenser

Cauchy-formlen har en masse forskellige konsekvenser. Dette er nøglesætningen i al kompleks analyse. Her er nogle af dets implikationer:

Analyticitet af holomorfe funktioner

I nærheden af ethvert punkt fra regionen, hvor funktionen er holomorf, falder den sammen med summen af en potensrække : $z_{0}$ $f(z)$

f(z)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}c_{n}(z-z_{0})^{n}

desuden er dens konvergensradius ikke mindre end radius af cirklen centreret ved det punkt , hvor funktionen er holomorf, og koefficienterne kan beregnes ved hjælp af integralformler: $z_{0}$ $f(z)$ $c_n$

c_{n}={1 \over 2\pi i}\int \limits _{{\Gamma }}{f(z) \over (z-z_{0})^{{n+1}}}\ ,dz

Disse formler antyder Cauchys uligheder for koefficienterne for holomorfe funktioner i disken : $c_n$ ${|z-z_{0}|<r}$

c_{n}\leqslant r^{-n}M(r)

hvor er det maksimale modul af funktionen på cirklen , og af dem er Liouvilles sætning om afgrænsede hele analytiske funktioner : hvis en funktion er holomorf i hele det komplekse plan og afgrænset, er det en konstant. $Hr)$ $f(z)$ ${|z-z_{0}|=r}$

Desuden ved at kombinere formlerne for koefficienterne med sætningen om holomorfien af summen af en potensrække med en konvergensradius, der ikke er nul, og formlen, der udtrykker koefficienterne for potensrækken i form af afledte af dens sum

c_{n}={{f^{{(n)}}(z_{0})} \over n!}

en integral repræsentation af de afledte af funktionen opnås : $f(z)$

f^{{(n)}}(z_{0})={n! \over 2\pi i}\int \limits _{{\Gamma }}{f(z) \over (z-z_{0})^{{n+1}}}\,dz.

Afledte estimater svarende til Cauchy-ulighederne giver et teorem om ækvikontinuiteten af en familie af holomorfe funktioner i et afgrænset domæne, hvis denne familie er ensartet afgrænset i . I kombination med Arzela-Ascoli-sætningen får vi Montels kompakte familie af funktioner-sætning : fra enhver ensartet afgrænset familie af funktioner, der er holomorfe i et afgrænset domæne , kan man vælge en sekvens af funktioner, der konvergerer ensartet til en holomorf funktion. $D$ $D$ $D$ $D$

Repræsentativitet af holomorfe funktioner af Laurent-serien i ringformede domæner

Hvis en funktion er holomorf i et domæne af formen , så kan den repræsenteres i den ved summen af en Laurent-række : $f(z)$ $D$ $\{r<|z-z_{0}|<R\}$

f(z)=\sum \limits _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},

desuden kan koefficienterne beregnes ved hjælp af integralformler: $c_n$

c_{n}={1 \over 2\pi i}\int \limits _{\Gamma }{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\, dz,

og selve Laurent-serien konvergerer til en funktion ensartet på hvert kompakt sæt fra . $D$ $f(z)$ $D$

Formlen for koefficienten anvendes ofte til at beregne integraler af en funktion over forskellige konturer ved hjælp af algebraiske metoder og restteori . $c_{{-1}}$ $f(z)$

Klassificeringen af isolerede entalspunkter af holomorfe funktioner udføres også i form af Laurent-serien .

Middelværdisætninger for holomorfe funktioner

Hvis funktionen er holomorf i cirklen , så for hver $f(z)$ $\{|z-z_{0}|<R\}$ $r\,(0<r<R)$

f(z_{0})={1 \over 2\pi }\int \limits _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{i\varphi })\, d\varphi ,

og også hvis er en cirkel med radius centreret ved , så $B_{r}$ $r$ $z_{0}$

f(z_{0})={1 \over \pi r^{2}}\int \limits _{B_{r}}f(z)\,dx\,dy.

Fra middelværdisætningerne følger det maksimale modulprincip for holomorfe funktioner: hvis en funktion er holomorf i et domæne og inden for dens modul har et lokalt maksimum , så er denne funktion en konstant. $f(z)$ $D$ $D$

Modulets maksimumprincip indebærer det maksimale princip for de reelle og imaginære dele af en holomorf funktion: hvis en funktion er holomorf i et domæne og inden for dens reelle eller imaginære del har et lokalt maksimum eller minimum, så er denne funktion en konstant. $f(z)$ $D$ $D$

Unikitetsteoremer

Tre vigtigere resultater følger af maksimalmodulprincippet og repræsentativiteten af holomorfe funktioner ved potensrækker:

Schwarz' lemma : hvis en funktion er holomorf i en cirkel , og for alle punkter fra denne cirkel , så overalt i denne cirkel ; $f(z)$ ${|z|<1}$ $f(0)=0$ $z$ $|f(z)|\leqslant 1$ $|f(z)|\leqslant |z|$
unikhedsteorem for potensrækker : holomorfe funktioner, der har den samme Taylor-række på et punkt, falder sammen i et eller andet område af det punkt; $z_{0}$
nulsætning for en holomorf funktion : hvis nulpunkterne for en funktion , der er holomorf i et domæne , har et grænsepunkt indeni , så forsvinder funktionen overalt i . $f(z)$ $D$ $D$ $f(z)$ $D$

Litteratur

Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. — M .: Nauka , 1969 . — 577 s.
Titchmarsh E. Funktionsteori: Pr. fra engelsk. - 2. udg., revideret. — M .: Nauka , 1980 . — 464 s.
Privalov II Introduktion til teorien om funktioner af en kompleks variabel: En manual for videregående uddannelse. - M. - L .: Statens Forlag, 1927 . — 316 s.
Evgrafov M. A. Analytiske funktioner. - 2. udg., revideret. og yderligere — M .: Nauka , 1968 . — 472 s.