Schwartz Lemma

Schwartz-lemmaet er et klassisk resultat af kompleks analyse af harmoniske kortlægninger fra en cirkel ind i sig selv.

Ordlyd

Lad være enhedscirklen på det komplekse plan . Lad endvidere funktionen være analytisk i og opfylde to betingelser: $\Delta =\{z:|z|<1\}$ $\mathbb {C}$ $f$ $\Delta$

$f(0)=0$ ;
$f(\Delta )\subset {\overline {\Delta ))$ eller tilsvarende . $|f(z)|\leqslant 1$

Derefter:

$|f(z)|\leqslant |z|$ i ; $\Delta$
$|f'(0)|\leqslant 1$ .

Desuden bliver begge disse uligheder til ligheder, hvis og kun hvis funktionen har formen , det vil sige, at den reduceres til en rotation. Ideen med beviset er, at funktionen vil være analytisk og anvende det maksimale princip for harmoniske funktioner på den. $f(z)=e^{{i\varphi }}z$ $f(z)/z$ $|z|<1$

Variationer og generaliseringer

Schwartz-lemmaet, anvendt på den oprindelige cirkel af en lineær-brøkkortlægning , fører automatisk til et mere generelt udsagn - Schwartz-Peak-sætningen .

Litteratur

Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. — M .: Nauka , 1969 . - S. 192. - 577 s.
Titchmarsh E. Funktionsteori: Pr. fra engelsk. - 2. udg., revideret. — M .: Nauka , 1980 . — 464 s.
Privalov II Introduktion til teorien om funktioner af en kompleks variabel: En manual for videregående uddannelse. - M. - L .: Statens Forlag, 1927 . — 316 s.
Evgrafov M. A. Analytiske funktioner. - 2. udg., revideret. og yderligere — M .: Nauka , 1968 . — 472 s.