Laplaces sætning

Laplaces sætning er en af lineær algebras sætninger . Det er opkaldt efter den franske matematiker Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827), som tilskrives æren for at formulere denne sætning i 1772 [1] , selvom et særligt tilfælde af denne sætning om udvidelsen af determinanten i en række (søjle) var kendt selv af Leibniz .

Ordlyd

Lad os først introducere nogle definitioner.

Lad være en matrix af størrelse , og lad enhver række af matrixen med tal og eventuelle kolonner med tal vælges . $A=(a_{{ij}})$ $n\ gange n$ $k$ $EN$ ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k))$ $k$ ${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k))$

Determinanten for matricen opnået ved at slette alle rækker og kolonner, undtagen de valgte, kaldes minor af -. orden, placeret i rækker med tal og kolonner med tal . Det er angivet som følger: $EN$ $k$ ${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k))$ ${\displaystyle j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k))$

M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{1}j_{ 1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\ldots &a_{i_{1}j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}j_ {1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\ldots &a_{i_{k}j_{k}}\end{pmatrix}}.

Og determinanten for matricen opnået ved kun at slette de valgte rækker og kolonner fra kvadratmatricen kaldes den ekstra minor til den mindre : $M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$

{\overline {M}}_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin {pmatrix}a_{i_{k+1}j_{k+1}}&a_{i_{k+1}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{k+1}j_{n}}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{n}j_{k+1}}&a_{i_{n}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{n}j_ {n}}\end{pmatrix}},

hvor og er antallet af umarkerede rækker og kolonner. ${\displaystyle i_{k+1}<\ldots <i_{n))$ ${\displaystyle j_{k+1}<\ldots <j_{n))$

Det algebraiske komplement af et bifag er defineret som følger: $M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$

A_{j_{1},\ldots,j_{k}}^{i_{1},\ldots,i_{k}}=(-1)^{p+q}{\overline {M} }_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}

hvor ,. _ ${\displaystyle p=i_{1}+\ldots +i_{k))$ ${\displaystyle q=j_{1}+\ldots +j_{k))$

Følgende påstand er sand.

Laplaces sætning

Lad alle rækker i matrixen vælges . Så er determinanten af matricen lig med summen af alle mulige produkter af th orden mindreårige placeret i disse rækker og deres algebraiske komplementer.

k

EN

EN

k

\det A=\sum _{j_{1}<\ldots <j_{k}}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_ {k}}A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}},

hvor summeringen udføres over alle mulige kolonnenumre

j_{1},\ldots ,j_{k}.

Antallet af mindreårige, som summen er taget over i Laplaces sætning, er lig med antallet af måder at vælge kolonner fra , altså den binomiale koefficient . $k$ $n$ ${\displaystyle \textstyle {n \vælg k))$

Da rækkerne og søjlerne i en matrix er ækvivalente med hensyn til determinantens egenskaber, kan Laplaces sætning også formuleres for søjlerne i en matrix.

Eksempler

Overvej en kvadratisk matrix

A={\begin{bmatrix}5&9&1&3\\3&5&0&0\\67&932&1&2\\1&7&0&0\end{bmatrix)).

Vi vælger anden og fjerde række og udvider determinanten af denne matrix ved hjælp af Laplaces sætning. Bemærk, at i disse rækker indeholder alle andenordens mindreårige, undtagen , nul kolonner, dvs. er kendt for at være nul og påvirker ikke summen i sætningen. Så determinanten vil være: ${\begin{vmatrix}3&5\\1&7\end{vmatrix}}$

|A|=(-1)^{2+4+1+2}\cdot {\begin{vmatrix}3&5\\1&7\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\ 1&2\end{vmatrix}}=(-1)\cdot 16\cdot (-1)=16

Fra ovenstående eksempel kan det ses, at Laplaces sætning forenkler beregningen af determinanterne for ikke alle matricer, men kun matricer af en speciel form. Derfor anvendes i praksis oftere andre metoder, for eksempel den Gaussiske metode . Sætningen er mere anvendt på teoretiske studier.

Udvidelse af række (kolonne) af determinant (konsekvens 1)

Et særligt tilfælde af Laplaces sætning er almindeligt kendt - udvidelsen af determinanten i en række eller kolonne. Det giver dig mulighed for at repræsentere determinanten af en kvadratisk matrix som summen af produkterne af elementerne i en hvilken som helst af dens rækker eller kolonner og deres algebraiske komplementer .

Lade være en kvadratisk matrix af størrelse . Lad også et rækkenummer eller kolonnenummer i matrixen angives . Derefter kan determinanten beregnes ved hjælp af følgende formler: $A=(a_{ij})$ $n\ gange n$ $jeg$ $j$ $EN$ $EN$

Dekomponering på den -te linje $jeg$ :

\det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}

Dekomponering efter kolonne $j$ :

{\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij))

hvor er det algebraiske komplement til minor placeret i rækken med tallet og kolonnen med tallet . også kaldet algebraisk elementkomplement . $A_{{ij}}$ $jeg$ $j$ $A_{{ij}}$ $a_{{ij}}$

Udsagnet er et specialtilfælde af Laplaces sætning. Det er nok at sætte det lig med 1 og vælge den -th række, så vil de mindreårige placeret i denne række være selve elementerne. $k$ $jeg$

Eksempler

Overvej en kvadratisk matrix

A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}.

Lad os udvide determinanten med elementerne i den første række af matricen:

|A|=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0.

(Bemærk, at det algebraiske komplement til det andet element i den første række har et negativt fortegn.)

Determinanten kan også udvides, for eksempel med elementerne i den anden kolonne:

|A|=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\ cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0.

Følge 2 (falsk udvidelse af determinanten)

Summen af produkterne af alle elementer i en række (kolonne) i matrixen og de algebraiske komplementer af de tilsvarende elementer i enhver anden række (kolonne) er lig med nul. $EN$

Bevis

Overvej summen af produkterne af alle elementer i en vilkårlig -th række af matricen og de algebraiske komplementer af de tilsvarende elementer af enhver anden, f.eks. -th række af matricen . Lade være en matrix, hvor alle rækker, bortset fra den -th række, er de samme som dem i matrixen , og elementerne i den -th række af matricen er de tilsvarende elementer i den -th række af matricen . Så har matricen to identiske rækker, og derfor har vi ved egenskaben af matricen omkring identiske rækker, at . På den anden side, ifølge konsekvens 1, er determinanten lig med summen af produkterne af alle elementer i den i-te række af matricen og deres algebraiske komplementer. Bemærk, at de algebraiske komplementer af elementerne i den -. række af matricen falder sammen med de algebraiske komplementer af de tilsvarende elementer i den - . række af matricen . Men elementerne i den -th række af matricen er de tilsvarende elementer i den -th række af matricen . Således er summen af produkterne af alle elementer i den -. række af matricen og deres algebraiske komplementer på den ene side lig med nul, og på den anden side er den lig med summen af produkterne af alle elementer i den -. række af matricen og de algebraiske komplementer af de tilsvarende elementer i den - . række af matricen . $k$ $EN$ $jeg$ $EN$ $EN'$ $jeg$ $EN$ $jeg$ $EN'$ $k$ $EN$ $EN'$ $\det A'=0$ $\det A'$ $jeg$ $EN'$ $jeg$ $EN'$ $jeg$ $EN$ $jeg$ $EN'$ $k$ $EN$ $jeg$ $EN'$ $k$ $EN$ $jeg$ $EN$

Noter

↑ Smith, DE Projekt Gutenbergs historie om moderne matematik . — S. 18. Arkiveret 16. september 2009 på Wayback Machine

Litteratur

Ilyin, V. A. , Poznyak, E. G. Linear Algebra . - 6. udg. - M . : Fizmatlit, 2005. - S. 25 -27. - ISBN 5-9221-0481-0 .
Prasolov, VV Problemer og sætninger af lineær algebra . - 2. udg. - M. , 2008. - S. 42-45.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. — M .: Fizmatlit , 2009. — S. 374-376.