Krystallografisk gruppe

Krystallografisk gruppe (Fedorov-gruppen) - en diskret gruppe af bevægelser - dimensionelt euklidisk rum med et begrænset grundlæggende område . $n$

Bieberbachs sætning

To krystallografiske grupper betragtes som ækvivalente, hvis de er konjugerede i gruppen af affine transformationer af det euklidiske rum.

Bieberbachs sætninger

Enhver dimensionel krystallografisk gruppe indeholder lineært uafhængige parallelle oversættelser ; gruppen af lineære dele af transformationerne (det vil sige billedet i ) er endelig. $n$ $\Gamma$ $n$ $G$ $\Gamma$ $GL_{n}$
To krystallografiske grupper er ækvivalente, hvis og kun hvis de er isomorfe som abstrakte grupper.
For enhver er der kun et begrænset antal dimensionelle krystallografiske grupper, der anses for op til ækvivalens (hvilket er en løsning på Hilberts 18. problem ). $n$ $n$

Sætningen giver os mulighed for at give følgende beskrivelse af strukturen af krystallografiske grupper som abstrakte grupper: Lad være mængden af alle parallelle oversættelser, der tilhører den krystallografiske gruppe . Så er en normal undergruppe af endeligt indeks, isomorf og faldende sammen med dens centralisator i . Tilstedeværelsen af en sådan normal undergruppe i en abstrakt gruppe er også en tilstrækkelig betingelse for, at gruppen er isomorf for en krystallografisk gruppe. $L$ $\Gamma$ $L$ $\mathbb{Z } ^{n}$ $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$

Gruppen af lineære dele af den krystallografiske gruppe bevarer gitteret ; med andre ord, i gittergrundlaget skrives transformationer fra af heltalsmatricer. $G$ $\Gamma$ $L$ $L$ $G$

Antal grupper

Antallet af krystallografiske grupper af dimensionelt rum med eller uden orienteringsbevarelse er givet af sekvenserne A004029 og A006227 . Op til ækvivalens er der $n$

17 flade krystallografiske grupper [1]
219 rumlige krystallografiske grupper;
- hvis vi betragter rumgrupper op til konjugation ved hjælp af affine transformationer, der bevarer orientering , så vil der være 230 af dem.
I dimension 4 er der 4894 orienteringsbevarende krystallografiske grupper, eller 4783 uden orienteringsbevarende [2] [3] .

Mulige symmetrier

Punktelementer

Elementer af symmetri af endelige figurer, der efterlader mindst et punkt fast.

Roterende symmetriakser, spejlsymmetriplan, inversionscenter (symmetricentrum) og ukorrekte rotationer - inversionsakser og spejlrotationsakser. Ukorrekte rotationer defineres som successive rotationer og inversioner (eller refleksioner i et vinkelret plan). Enhver spejl-drejeakse kan erstattes af en omvendt akse og omvendt. Når man beskriver rumgrupper, foretrækkes sædvanligvis inversionsakser (mens Schoenflies symbolik bruger spejlrotationsakser). I 2-dimensionelle og 3-dimensionelle krystallografiske grupper kan kun rotationer omkring symmetriakserne med vinkler på 180° (2. ordens symmetriakse), 120° (3. orden), 90° (4. orden) og 60° forekomme ( 6. orden). Symmetriakserne i Bravais symbolik er angivet med bogstavet L med et sænket n svarende til akserækkefølgen ( ), i international symbolik (Hermann-Mogen symbolisme), med arabiske tal, der angiver rækkefølgen af aksen (f.eks. = 2 , = 3 og = 4). Inversionsakser i Bravais symbolik er angivet med bogstavet Ł med et lavere numerisk indeks n svarende til rækkefølgen af den roterende akse ( Ł n ), i internationale symboler - med et digitalt indeks med en tankestreg over n (f.eks. Ł 3 = 3 , Ł 4 = 4 , Ł 6 = 6 ). Læs mere om ukorrekte rotationer og deres notation her . Symmetriakser L 3 , L 4 , L 6 kaldes symmetriakser af højere orden [4] . Symmetriens spejlplan betegnes P af Brava og m i international symbolik. Inversionscentret er betegnet C i Brava og 1 i internationale symboler. $L_{n}$ $L_{2}$ $L_{3}$ $L_{4}$

Alle mulige kombinationer af punktsymmetrielementer fører til 10 punktsymmetrigrupper i 2-dimensionelt rum og 32 punktgrupper i 3-dimensionelt rum.

I det 4-dimensionelle rum opstår en ny type symmetrielement - dobbeltrotationer i to absolut vinkelrette planer . Dette øger antallet af symmetrielementer, der er kompatible med translationel symmetri. For rum med dimensionerne 4 og 5 i en krystal er punktsymmetrielementer med orden 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 og 12 mulige. Da rotationer i hvert af de absolut vinkelrette planer desuden kan være udføres i forskellige retninger, optræder der enantiomorfe par af punktsymmetrielementer (f.eks. en fjerdeordens dobbeltrotation, hvor rotationer på 90° i det første plan og 90° i det andet plan kombineres enantiomorfe til en dobbelt fjerdeordens rotation, hvor drejninger på 90° i det første plan og -90° i det andet plan kombineres som det andet). Alle mulige kombinationer af punktsymmetrier i 4-dimensionelt rum fører til 227 4-dimensionelle punktgrupper, hvoraf 44 er enantiomorfe (det vil sige, at der i alt opnås 271 punktsymmetrigrupper).

I 6-dimensionelle og 7-dimensionelle rum i en krystal, punktsymmetriske elementer med orden 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 og 30 er mulige [5] . Se også en:Crystallographic restriction theorem .

Udsendelser

I krystallografiske grupper er oversættelser altid til stede - parallelle overførsler , når de forskydes, hvorved krystalstrukturen kombineres med sig selv. Den translationelle symmetri af en krystal er karakteriseret ved Bravais-gitteret . I det 3-dimensionelle tilfælde er 14 typer Bravais-gitre mulige i alt. I dimensionerne 4, 5 og 6 er antallet af typer af Bravais-gitter henholdsvis 64, 189 og 841 [6] . Fra et gruppeteoretisk synspunkt er en oversættelsesgruppe en normal abeliaansk undergruppe af en rumgruppe, og en rumgruppe er en forlængelse af dens oversættelsesundergruppe. Rumgruppens faktorgruppe ved translationsundergruppen er en af punktgrupperne.

Komplekse symmetrioperationer

Rotationer omkring akserne med simultan translation af en eller anden vektor i retning af denne akse (skrueakse) og refleksion i forhold til planet med samtidig forskydning af en eller anden vektor parallelt med dette plan (glidende reflektionsplan). I internationale symboler er spiralakser betegnet med nummeret på den tilsvarende roterende akse med et indeks, der karakteriserer mængden af overførsel langs aksen under samtidig rotation. Mulige spiralakser i 3D-tilfældet: 2 1 (drej 180° og skift 1/2 translation), 3 1 (rotér 120° og skift 1/3 translation), 3 2 (rotér 120° og skift 2/3 translation), 4 1 (drej 90° og skift 1/4 oversættelse), 4 2 (drej 90° og skift 1/2 oversættelse), 4 3 (drej 90° og skift 3/4 oversættelser), 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 , 6 5 (drej med 60° og skift med henholdsvis 1/6, 2/6, 3/6, 4/6 og 5/6 oversættelser). Akserne 3 2 , 4 3 , 6 4 og 6 5 er enantiomorfe til henholdsvis akserne 3 1 , 4 1 , 6 2 og 6 1 . Det er på grund af disse akser, at der er 11 enantiomorfe par af rumgrupper - i hvert par er den ene gruppe et spejlbillede af den anden.

Glidende refleksionsplaner er udpeget afhængigt af glideretningen i forhold til krystalcellens akser. Hvis der sker glidning langs en af akserne, så er planet angivet med det tilsvarende latinske bogstav a , b eller c . I dette tilfælde er mængden af slip altid lig med halvdelen af oversættelsen. Hvis slip er rettet langs diagonalen af fladen eller den rumlige diagonal af cellen, så er planet angivet med bogstavet n i tilfælde af en slip lig med halvdelen af diagonalen, eller d i tilfælde af en slip lig med en fjerdedel af diagonalen (dette er kun muligt, hvis diagonalen er centreret). n- og d -planerne kaldes også kileplaner. d -planer kaldes nogle gange diamantplaner, fordi de er til stede i diamantstrukturen (engelsk diamant - diamant).

I nogle rumgrupper er der planer, hvor glidning sker både langs den ene akse og langs den anden akse af cellen (det vil sige, at planet er både a og b eller a og c eller b og c ). Dette skyldes centreringen af fladen parallelt med glideplanet. I 1992 blev symbolet e introduceret for sådanne fly . [7] Nikolai Vasil'evich Belov foreslog også at indføre notationen r for planer med glidning langs den rumlige diagonal i en romboedrisk celle. r- planer falder dog altid sammen med almindelige spejlplaner, og udtrykket har ikke fanget.

Notation

Nummerering

Krystallografiske (rumlige) grupper med alle deres iboende symmetrielementer er opsummeret i den internationale opslagsbog International Tables for Crystallography , udgivet af International Union of Crystallography . Det accepteres at bruge nummereringen i denne håndbog. Grupper er nummereret fra 1 til 230 i rækkefølge efter stigende symmetri.

Herman-Mogens symbolik

Mellemrumsgruppesymbolet indeholder Bravais-gittersymbolet (det store bogstav P, A, B, C, I, R eller F) og det internationale punktgruppesymbol. Bravais-gittersymbolet angiver tilstedeværelsen af yderligere translationsknuder inde i den elementære celle: P (primitiv) — primitiv celle; A, B, C (A-centreret, B-centreret, C-centreret) - en ekstra knude i midten af henholdsvis ansigt A, B eller C; I (I-centreret) - kropscentreret (yderligere knude i midten af cellen), R (R-centreret) - kropscentreret to gange (to yderligere knuder på hoveddiagonalen af den elementære celle), F (F- centreret) - ansigtscentreret (yderligere noder i midten af alle ansigter).

Punktgruppens internationale symbol er generelt dannet af tre symboler, der angiver de symmetrielementer, der svarer til de tre hovedretninger i krystalcellen. Et symmetrielement svarende til en retning forstås som enten en symmetriakse, der går langs denne retning, eller et symmetriplan vinkelret på den, eller begge dele (i dette tilfælde skrives de gennem en brøk, f.eks. 2/c er symmetriaksen af 2. orden og afgræsningsplanet vinkelret på denne med et skift i retningen c ). De vigtigste retninger er:

retninger for basisvektorer af en celle i tilfælde af triklinisk, monoklinisk og rombisk syngoni;
retningen af aksen af 4. orden, retningen af en af basisvektorerne ved bunden af enhedscellen og retningen langs diagonalen af cellens basis i tilfælde af en tetragonal syngoni;
retningen af aksen af 3. orden eller 6. orden, retningen af en af basisvektorerne i bunden af den elementære celle og retningen af vektoren langs diagonalen af den elementære celle i en vinkel på 60° i forhold til den foregående en i tilfælde af et sekskantet system (dette inkluderer også det trigonale system, som i dette tilfælde er givet til den sekskantede orientering af enhedscellen);
retningen af en af basisvektorerne, retningen langs elementærcellens rumlige diagonal og retningen langs halveringslinjen af vinklen mellem basisvektorerne.

Hermann-Mogen symbolerne forkortes normalt ved at slette betegnelserne på de manglende symmetrielementer i individuelle retninger, når dette ikke skaber uklarhed, skriver de fx P4 i stedet for P411. Også i mangel af tvetydighed udelades betegnelserne for andenordens akser, som er vinkelrette på symmetriplanet, for eksempel erstatter C med . ${\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $Cmmm$

Skoenfluers symbol

Schoenflies-symbolet definerer symmetriklassen (hovedsymbol og underskrift) og det betingede nummer for gruppen inden for denne klasse (superscript).

C n - cykliske grupper - grupper med en enkelt speciel retning repræsenteret af en rotationssymmetriakse - er angivet med bogstavet C , med et underskrift n svarende til rækkefølgen af denne akse.

Med ni -grupper med en enkelt inversionssymmetriakse efterfølges af en underskrift i .
C nv (fra tysk vertikal - vertikal) - har også et symmetriplan placeret langs den eneste symmetriakse eller hovedakse, som altid er tænkt som lodret.
C nh (fra tysk vandret - vandret) - har også et symmetriplan vinkelret på symmetriens hovedakse.

S 2 , S 4 , S 6 (fra tysk spejl - spejl) - grupper med en enkelt spejlsymmetriakse.

C s - for et plan med ubestemt orientering, det vil sige ikke fast på grund af fraværet af andre symmetrielementer i gruppen.

D n - er en C n gruppe med yderligere n symmetriakser af anden orden, vinkelret på den oprindelige akse.

D nh - har også et vandret symmetriplan.
D nd (fra tysk diagonal - diagonal) - har også lodrette diagonale symmetriplaner, der går mellem symmetriakserne af anden orden.

O, T - symmetrigrupper med flere akser af højere orden - grupper af kubisk syngoni. De er angivet med bogstavet O, hvis de indeholder det fulde sæt af symmetriakser i oktaederet, eller med bogstavet T, hvis de indeholder det fulde sæt af symmetriakser i tetraederet.

O h og T h - indeholder også et vandret symmetriplan
T d - indeholder også et diagonalt symmetriplan

n kan være 1, 2, 3, 4, 6.

Historie

Oprindelsen af teorien om krystallografiske grupper er forbundet med studiet af symmetrien af ornamenter ( ) og krystalstrukturer ( ). Klassificeringen af alle plane (todimensionelle) og rumlige (tredimensionelle) krystallografiske grupper blev opnået uafhængigt af Fedorov (1885), Schoenflies (1891) og Barlow (1894). De vigtigste resultater for multidimensionelle krystallografiske grupper blev opnået af Bieberbach [8] . $n=2$ $n=3$

Se også

Noter

↑ Wallpaper Groups - fra Wolfram MathWorld . Hentet 8. maj 2013. Arkiveret fra originalen 2. juni 2013. (ubestemt)
↑ H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek og H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978, s. 52.
↑ J. Neubüser, B. Souvignier og H. Wondratschek, Corrections to Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space af Brown et al. (1978) [New York: Wiley and Sons], Acta Cryst (2002) A58, 301. http://journals.iucr.org/a/issues/2002/03/00/au0290/index.html Arkiveret 18. januar 2012 på Wayback Machine
↑ Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya, Crystallography, red. Moscow State University, 1992, side 22.
↑ T. Janssen, JL Birman, V. A. Koptsik, M. Senechal, D. Weigel, A. Yamamoto, S. C. Abrahams og T. Hahn, Acta Cryst. (1999). A55, 761-782
↑ Opgenorth, J; Plesken, W; Schulz, T (1998), "Crystallographic Algorithms and Tables", Acta Cryst. A 54(5): 517-531
↑ PM de Wolff, Y. Billiet, J. D. H. Donnay, W. Fischer, R. B. Galiulin, A. M. Glazer, Th. Hahn, M. Senechal, D.P. Shoemaker, H. Wondratschek, A.J.C. Wilson og S.C. Abrahams, 1992, Acta Cryst., A48, 727-732.
↑ Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297-336; 1912, 72, S. 400-412.

Litteratur

J. Wolf, Rum med konstant krumning. Oversættelse fra engelsk. Moskva: "Nauka", Hovedudgave af fysisk og matematisk litteratur, 1982.
Yu.K. Egorov-Tismenko, G.P. Litvinskaya, Theory of crystal symmetry, M. GEOS, 2000 (tilgængelig online http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
Krystallografisk gruppe // Matematisk encyklopædi : [i 5 bind] / Kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - S. 106-108. - 1184 stb. : syg. — 150.000 eksemplarer.
Kovalev O.V. Irreducible og inducerede repræsentationer og præsentationer af Fedorov-grupper. - M. : Nauka, 1986. - 368 s.