Computational fluid dynamics

Computational fluid dynamics (også CFD fra engelsk computational fluid dynamics ) er en undersektion af kontinuummekanik , herunder et sæt fysiske, matematiske og numeriske metoder designet til at beregne egenskaberne ved flowprocesser. Denne disciplin er tæt forbundet med væskedynamik .

Grundlæggende principper

Grundlaget for enhver forskning inden for computational fluid dynamics er formuleringen af de grundlæggende ligninger for hydro- eller gasdynamik af strømme, nemlig:

kontinuitetsligninger ;
momentum bevarelse ligninger ;
energibesparelsesligning ; _
tilstandsligning (for gasser).

Momentumbevaringsligningen kan antage en anden form afhængigt af tilstedeværelsen eller fraværet af friktion. Navier-Stokes-ligningen gælder for strømninger med friktion, mens Euler -ligningen gælder for strømninger uden friktion. Afhængig af problemets betingelser kan mediet betragtes som komprimerbart eller ukomprimerbart. I sidstnævnte tilfælde er ligningerne meget forenklede.

Ovenstående ligninger beskriver mediumstrømsmodellen. Afhængig af karakteristikaene ved det problem, der skal løses, kan modellen suppleres med ligninger for at tage hensyn til turbulens , under hensyntagen til overførsel af stoffer, under hensyntagen til kemiske reaktioner, under hensyntagen til flerfasethed, under hensyntagen til elektromagnetiske vekselvirkninger mv.

Ud fra ovenstående ligninger kompileres et system af ikke-lineære differentialligninger af anden orden. Systemet har kun en analytisk løsning i meget simple tilfælde, når Reynolds-tallet for problemet er lille, og geometrien er enkel (f.eks. Poiseuille-strømmen ). For en lang række naturlige og teknologiske processer kan problemet løses numerisk, hvis de afledte ligninger erstattes af endelige forskelle skabt med små rumlige og tidsmæssige intervaller. Ved modellering af en virkelig proces udføres den såkaldte diskretisering af rum og tid på en sådan måde, at procesgeometrien opdeles i beregnede celler, udvalgt på en særlig måde, og procestiden opdeles i beregnede tidsintervaller . Der er forskellige metoder til at løse et ligningssystem, for eksempel:

finite difference metode ;
endeligt volumen metode ;
finite element metode ;
udglattede partikelmetode ;
metode ved hjælp af sandsynlighedsfordelingsfunktionen.

Beslutningsproces

For at løse problemerne med computational fluid dynamics udfører speciel software sekventielt handlinger opdelt i følgende trin:

forberedende fase. På dette stadium dannes modellens geometri, de nødvendige fysiske betingelser formuleres, geometrien diskretiseres, de indledende og grænsebetingelser for differentialligninger er indstillet;
beregning. På dette stadium løser maskinen, idet den adlyder den givne algoritme, numerisk de grundlæggende ligninger i form af grundlæggende fysiske parametre (hastighed, tryk, tæthed, temperatur, entalpi osv.), og skriver også løsningsresultaterne til hukommelsen;
analyse. Resultaterne af løsningen vises i form af grafer, tabeller og kontur- og/eller vektordiagrammer knyttet til den oprindelige geometri.

Metode

Alle disse tilgange bruger den samme grundlæggende metode.

Forbehandling (forbehandling);
- Et objekts geometri og fysiske grænser bestemmes ved hjælp af computerstøttet design (CAD, eng. CAD). Som følge heraf kan dataene behandles på en sådan måde, at det bliver teknisk muligt at isolere og udtrække væskevolumenet;
- Volumenet optaget af væsken er opdelt i separate celler (gitter, engelsk mesh ). Gitteret kan være homogent eller inhomogent, struktureret eller ustruktureret, bestående af en kombination af hexaedriske, tetraedriske, prismatiske, pyramideformede eller polyedriske elementer;
- Bestemmelse af modelleringskriterier - for eksempel, såsom: ligning af væskebevægelse + entalpi + stråling + artsbevarelse;
- Bestemmelse af grænsebetingelserne for væskens adfærd og egenskaber ved alle grænseoverflader af væskedomænet. For dynamiske problemer er startbetingelserne yderligere bestemt;
Kørsel af en simulering , hvor ligningerne løses iterativt som stationære eller transiente;
Efterbehandling påkrævet til analyse og visualisering af den resulterende løsning.

Diskretiseringsmetoder

Stabiliteten af den valgte diskretiseringsmetode etableres normalt numerisk og ikke analytisk, som ved simple lineære problemer. Der skal også udvises særlig omhu for at sikre, at de forskellige løsninger håndteres elegant for en given prøveudtagningsmetode. For eksempel tager Euler-ligningerne og Navier-Stokes-ligningerne højde for påvirkninger og kontaktflader.

Nogle af de anvendte diskretiseringsmetoder er:

Endelig volumen metode

Finite Volume Method (FVM) er en almindelig tilgang, der bruges i Computational Fluid Dynamics, fordi den har fordelen ved at bruge computerhukommelse og løsningshastighed, især til store problemer med høje Reynolds-tal, turbulente strømme og kilder med dominerende strømning (f.eks. forbrænding) [1] .

I finite volume-metoden rekonstrueres partielle differentialkontrolligninger (typisk Navier-Stokes-ligningerne, masse- og energibevarelsesligninger og turbulensligninger) i en konservativ form og løses derefter over diskrete kontrolvolumener. Denne diskretisering garanterer, at strømmene holdes gennem en vis kontrolvolumen.

Den endelige volumenligning er:

{\partial \over \partial t}\iiint QdV+\iint FdA=0

hvor Q er vektoren af bevarede variable, F er flowvektoren (se Euler-ligningerne eller Navier-Stokes-ligningerne ), V er volumenet af kontrolvolumenelementet, A er overfladearealet af kontrolvolumenelementet.

Finite element metode

Finite element-metoden bruges i strukturanalysen af faste stoffer, men er også anvendelig til væsker. Metodeformulering kræver dog særlig omhu for at sikre en konservativ løsning. Denne formel er blevet tilpasset til brug i hydrodynamik gennem partielle differentialligninger. Selvom metoden skal formuleres omhyggeligt for at holde løsningen konservativ, ender den med at være meget mere stabil end den endelige volumen metode [2] . Denne metode kan dog kræve mere hukommelse og har en længere løsningstid end den endelige volumen metode [3] .

R_{i}=\iiint W_{i}Q\,dV^{e}

hvor er resten af ligningen i det øverste element , er bevarelsesligningen udtrykt i forhold til elementet, er vægtningsfaktoren og er elementets volumen. $R_i$ $jeg$ $Q$ $W_i$ ${\displaystyle V^{e))$

Endelig forskelsmetode

Finite difference-metoden har historisk anerkendelse og skiller sig ud for dens lette programmering. I øjeblikket bruges metoden kun i nogle få specialiserede koder, der håndterer kompleks geometri med høj præcision ved hjælp af indlejrede grænser eller overlappende masker (med løsningsinterpolation over hvert net).

{\frac {\partial Q}{\partial t))+{\frac {\partial F}{\partial x))+{\frac {\partial G}{\partial y))+{\ frac {\partial H}{\partial z}}=0

hvor er vektoren af bevarede variable, og , og er strømme i henholdsvis , og retninger. $Q$ $F$ $G$ $H$ $x$ $y$ $z$

Spektral element metode

Metoden for spektrale elementer er metoden for gruppen af endelige elementer. Metoden kræver, at det matematiske problem (partiel differentialligning) præsenteres i en svag formulering. Dette gøres normalt ved at multiplicere differentialligningen med en vilkårlig testfunktion og integrere over hele domænet. Rent matematisk er testfunktioner fuldstændig vilkårlige – de tilhører et uendeligt dimensionelt funktionsrum. Det er klart, at et uendeligt dimensionelt funktionsrum ikke kan repræsenteres på et diskret gitter af spektrale elementer; her begynder diskretiseringen af spektrale elementer. Det vigtigste er valget af interpolations- og testfunktioner. I standard 2D-finite element-metoden for firesidede elementer er det mest typiske valg en bilineær test eller interpolationsfunktion af formen:

v(x,y)=ax+by+cxy+d

I spektralelementmetoden er interpolations- og testfunktionerne dog valgt som polynomier af meget høj orden (normalt f.eks. 10. orden i CFD-applikationer). Dette garanterer hurtig konvergens af metoden. Derudover skal der anvendes meget effektive integrationsprocedurer, fordi antallet af integrationer, der skal udføres i numeriske koder, er stort.

Således bruges højordens kvadraturkvadrater , fordi de opnår den højeste nøjagtighed med den mindste mængde beregning, der skal udføres.

Der er i øjeblikket nogle akademiske versioner af CFD-koder baseret på spektralelementmetoden, og flere flere er under udvikling, efterhånden som nye tidstrinsskemaer udvikles i den akademiske verden.

Grænseelementmetode

I grænseelementmetoden er grænsen optaget af væsken divideret med et overfladenet.

Samplingskemaer med høj opløsning

Højopløsningskredsløb anvendes, hvor der er stød eller brud. Opfangning af pludselige ændringer i en løsning kræver brug af anden eller højere ordens numeriske skemaer, der ikke introducerer falske udsving. Dette kræver normalt brug af flowbegrænsere for at reducere den samlede løsningsafvigelse.

Turbulensmodeller

Ved beregningsmodellering af turbulente strømme er et fælles mål at opnå en model, der kan forudsige en mængde af interesse for forskeren, såsom væskehastighed, med det formål at modellere tekniske strukturer. For turbulente strømme gør rækkevidden af længdeskalaer og kompleksiteten af de fænomener, der er forbundet med turbulens, de fleste modelleringsmetoder uoverkommeligt dyre; den nødvendige opløsning for at løse alle skalaer forbundet med turbulens er ud over, hvad der kan beregnes. Den primære tilgang i sådanne tilfælde er at skabe numeriske modeller for at tilnærme fænomener, der ikke kan løses med høj nøjagtighed. Dette afsnit viser nogle almindeligt anvendte beregningsmodeller for turbulente strømme.

Turbulensmodeller kan klassificeres efter deres beregningsomkostninger, som svarer til rækken af skalaer, der er modelleret i forhold til de tilladte (jo større turbulensskalaer, der er tilladt, desto mere nøjagtig er opløsningen af simuleringen, og dermed desto højere er beregningsressourceomkostningerne ). Hvis de fleste eller alle turbulensskalaerne ikke er modelleret, er beregningsomkostningerne små, men afvejningen er så på bekostning af reduceret nøjagtighed.

Ud over det brede spektrum af længder og tidsskalaer og de tilhørende beregningsomkostninger indeholder de styrende ligninger for fluiddynamikmodellen et ikke-lineært konvektivt led og en ikke-lineær og ikke-lokal trykgradient. Disse ikke-lineære ligninger skal løses numerisk med passende grænse- og begyndelsesbetingelser.

Reynolds-ligninger, Navier-Stokes-ligninger

Reynolds Navier-Stokes ( RANS ) ligningerne er den ældste tilgang til turbulensmodellering. Modellernes styrende ligninger løses, hvor nye tilsyneladende spændinger, kendt som Reynolds spændinger, introduceres. En almindelig misforståelse er, at RANS-ligningerne ikke gælder for tidsvarierende gennemsnitsstrømme, fordi disse ligninger er "gennemsnittet over tid". Faktisk kan statistisk ikke-stationære (eller blot ikke-stationære) strømme behandles på samme måde. Dette omtales nogle gange som URANER. Der er intet i Reynolds-ligningerne, der komplicerer turbulensmodellerne, men de er kun gyldige, så længe den tid, hvor disse ændringer sker, i gennemsnit er lang sammenlignet med tidsskalaerne for turbulent bevægelse, hvor det meste af energien er koncentreret.

RANS-modeller kan opdeles i to tilgange:

Boussinesq-tilnærmelsen

Denne metode involverer brug af en algebraisk Reynolds-spændingsligning, der definerer turbulent viskositet afhængigt af niveauet af modelkompleksitet, løsning af transportligninger for at bestemme turbulent kinetisk energi og dissipation. Modeller omfatter k-ε-modellen [4] , blandingslængdemodellen [5] og nulligningsmodellen [5] . De tilgængelige modeller i denne tilgang er ofte forbundet med antallet af overførselsligninger forbundet med denne metode. For eksempel omtales blandingslængdemodellen ofte som "nulligningen", fordi den ikke anvender eller løser transportligninger; modellen kaldes en "to-niveaus ligning", fordi modellen løser to transportligninger for hhv . $k-\epsilon$ $k$ $\epsilon$

Reynolds belastningsmodel

Denne tilgang løser faktisk transportligningerne for Reynolds spændinger. Dette betyder, at der indføres flere overførselsligninger for alle Reynolds-spændinger, og derfor er denne fremgangsmåde meget dyrere at køre på CPU'en.

Stor eddy metode

Large Eddy Simulation ( LES) metoden er en af metoderne til modellering af turbulente strømme.

Ideen med metoden er, at store turbulensskalaer beregnes eksplicit, mens virkningerne af mindre hvirvler modelleres ved hjælp af regler for lukning af undernet. Bevaringsligningerne til modellering af store hvirvler opnås ved at filtrere de øjeblikkelige bevaringsligninger. LES for reagerende strømme bestemmer den øjeblikkelige position af den "store skala", der tillader flammefronten, men subgrid-modellen kræver, at der tages hensyn til effekten af små turbulensskalaer på forbrændingen. For en jetflamme fanger LES lavfrekvente variationer i parametre, i modsætning til RANS, hvilket resulterer i konstante gennemsnitsværdier. I dette tilfælde bruges mere computerkraft, men stadig mindre end til direkte numerisk simulering (DNS).

Lokal vortex-modellering

Den lokale eddy-simulering (DES) er en modifikation af RANS-modellen, hvor modellen skifter til subnet-skalering på steder, der er tilladt for LES-beregninger. Hvor lokaliteter er placeret nær faste (hårde) grænser, og hvor den turbulente længdeskala er mindre end den maksimale netstørrelse, lanceres RANS-løsningstilstanden. Hvor den turbulente længdeskala overstiger gitterstørrelsen, løses modellen ved hjælp af LES-tilstanden. Derfor er mesh-opløsningen for DES-modellen ikke så krævende som for den rene LES-model, hvilket reducerer beregningsomkostningerne markant. Selvom DES-metoden oprindeligt blev formuleret til Spalart-Allmaras-modellen , kan den implementeres ved hjælp af andre RANS-modeller ved passende at modificere længdeskalaen, der er eksplicit eller implicit involveret i RANS-modellen. Mens DES baseret på Spalart-Allmaras fungerer som LES, opfører DES baseret på andre modeller (f.eks. to ligningsmodeller) sig som en hybrid RANS-LES-model. Generelt er mesh-generering mere kompliceret end for det simple RANS- eller LES-tilfælde på grund af RANS-LES-skift. DES er en ikke-zonal tilgang og giver et jævnt hastighedsfelt gennem RANS- og LES-modellokaliteter.

Direkte numerisk simulering

Direkte numerisk simulering (Direct Numerical Simulation, DNS) er en af metoderne til numerisk simulering af væske- eller gasstrømme.

Metoden er baseret på den numeriske løsning af Navier-Stokes ligningssystem og tillader i det generelle tilfælde at modellere bevægelsen af viskøse komprimerbare gasser under hensyntagen til kemiske reaktioner , både for laminære og, på trods af talrige tvister, turbulente tilfælde.

DNS er dog svær at anvende på reelle problemer, og bruges oftere i videnskabelige beregninger. Hovedårsagen til dette er de høje krav til computerressourcer. I anvendte problemstillinger anvendes hovedsageligt metoder som LES, DES og metoder baseret på løsning af RANS-systemer.

Kohærent vortex-modellering

Metoden til kohærent hvirvelsimulering (Coherent Vortex Simulation, CVS) opdeler det turbulente strømningsfelt i en sammenhængende del, bestående af en organiseret hvirvelbevægelse, og en usammenhængende del, som er en tilfældig baggrundsstrøm [6] . Denne adskillelse udføres ved hjælp af wavelet- filtreringsmetoden . Denne tilgang har meget til fælles med LES ved, at den bruger dekomponering og kun tillader den filtrerede del, men adskiller sig ved, at den ikke bruger et lineært lavpasfilter. I stedet er filtreringsoperationen burst-baseret, og filteret kan tilpasses efterhånden som flowfeltet udvikler sig. Farge og Schneider testede CVS-metoden med to flow-konfigurationer og viste, at den sammenhængende del af flowet udviser det energispektrum, som det fulde flow udviser og svarer til kohærente strukturer (hvirvelstrømme), mens de usammenhængende dele af flowet danner en homogen baggrund støj, der ikke har nogen organiserede strukturer. Goldstein og Vasiliev [7] anvendte FDV-modellen på metoden med stor hvirvel, men antog ikke, at wavelet-filteret fuldstændigt eliminerede alle sammenhængende bevægelser fra subfiltervægtene. Ved hjælp af LES- og CVS-filtrering viste de, at SFS-dissipationen dominerede den sammenhængende del af SFS-flowfeltet. $-{\frac {40}{39}}$

Sandsynlighedstæthedsmetoder

Probability Density Function (PDF) metoderne til turbulente forhold, først introduceret af Thomas Lundgren [8] , er baseret på sporing af hastigheden af et punkt i en sandsynlighedsdensitetsfunktion , som giver sandsynligheden for en hastighed i et punkt mellem og . Denne tilgang ligner den kinetiske teori om gasser, hvor en gass makroskopiske egenskaber er beskrevet af et stort antal partikler. PDF-metoderne er unikke ved, at de kan anvendes på en række forskellige turbulensmodeller; de vigtigste forskelle opstår i form af PDF-transportligningen. For eksempel bliver PDF i forbindelse med metoden med store hvirvler filtreret. PDF-metoder kan også bruges til at beskrive kemiske reaktioner [9] [10] og er især nyttige til modellering af kemisk reagerende strømme, fordi kilderne til kemiske reaktioner ikke kræver modeller. PDF spores normalt ved hjælp af lagrangiske partikelmetoder; kombineret med stor hvirvelmetoden fører dette til Langevin-ligningen . $f_{V}({\boldsymbol {v));{\boldsymbol {x)),t)d{\boldsymbol {v}}$ ${\fed symbol {x}}$ ${\fed symbol {v))$ ${\boldsymbol {v}}+d{\boldsymbol {v}}$

Vortex-metode

Vortexmetoden er en ikke-gridmetode til modellering af turbulente strømme. Den bruger hvirvler som beregningselementer, der efterligner fysiske strukturer i turbulens. Vortex-metoder blev udviklet som en ikke-mesh-metodologi, der ikke ville være begrænset af de grundlæggende udjævningseffekter forbundet med nettet. Men for praktisk anvendelse kræver vortex-metoder et middel til hurtigt at beregne hastighederne af hvirvelelementer - med andre ord kræver de en løsning på N-legemets tyngdekraftsproblem , hvor bevægelsen af N objekter er forbundet med deres gensidige påvirkninger. Et gennembrud skete i slutningen af 1980'erne med udviklingen af Fast Multipole Method (FMM), algoritmen fra V. Rokhlin (Yale) og L. Gringar ( Courant Institute ). Dette gennembrud banede vejen for den praktiske beregning af hvirvelelementhastigheder og er grundlaget for vellykkede beregningsalgoritmer. De er særligt velegnede til at simulere filamentøs bevægelse (f.eks. røgpust) i realtidssimuleringer såsom videospil, opnået ved brug af minimal beregning [11] .

Softwaren baseret på vortex-metoden tilbyder nye værktøjer til at løse væskedynamikproblemer med minimal brugerindblanding. Det eneste, der kræves, er specifikation af problemets geometri og etablering af grænse- og begyndelsesbetingelser. Blandt de væsentlige fordele ved denne moderne teknologi:

Stort set ingen mesh, hvilket eliminerer flere iterationer forbundet med RANS og LES
alle problemer behandles ens, ingen simuleringsinput eller kalibrering påkrævet;
tidsseriesimuleringer er mulige, som er kritiske for korrekt akustisk analyse;
både små og store skalaer simuleres nøjagtigt på samme tid.

Den hvirvelbegrænsende metode

Vorticity Confinement Method (VC) er en Euler-metode, der bruges til at modellere turbulente bølger. En solitær bølgelignende tilgang bruges til at generere en stabil løsning uden numerisk udvidelse. VC kan fange finskalafunktioner med en nøjagtighed på 2 gitterceller. Inden for rammerne af disse funktioner løses en ikke-lineær differensligning i modsætning til den endelige differensligning . VC ligner chokfangstmetoder, hvor der tages hensyn til bevarelseslovene, så væsentlige integrale værdier beregnes med høj nøjagtighed.

Lineær hvirvelmodel

Dette er den metode, der bruges til at simulere den konvektive blanding, der opstår i en turbulent strømning [12] . Det giver især en matematisk måde at beskrive vekselvirkningerne mellem en skalarvariabel i et vektorflowfelt. Det bruges hovedsageligt i endimensionelle repræsentationer af turbulent flow, fordi det kan anvendes over en bred vifte af længdeskalaer og Reynolds-tal. Denne model bruges almindeligvis som en af byggestenene til mere komplekse flowvisualiseringer, fordi den giver forudsigelser i høj opløsning, der varer ved over en bred vifte af flowforhold.

To-faset flow

Den tofasede flowsimuleringsmetode er stadig under udvikling. Forskellige metoder er blevet foreslået, herunder væskevolumenmetoden, niveaudetektionsmetoden og kantsporing. [13] [14] Disse metoder er ofte baseret på en afvejning mellem at opretholde en skarp grænseflade eller at spare masse. Dette er kritisk, fordi densitet, viskositet og overfladespændingsestimering er baseret på grænsefladegennemsnitsværdier. Multifase Lagrange-modeller, som bruges til spredte medier, er baseret på løsning af Lagrange-bevægelsesligningen for en dispergeret fase.

Løsningsalgoritmer

Diskretisering i rummet genererer et system af almindelige differentialligninger for ikke-stationære problemer og algebraiske ligninger for stationære problemer. Implicitte eller semi-implicitte metoder bruges almindeligvis til at integrere almindelige differentialligninger, hvilket skaber et system af ikke-lineære algebraiske ligninger. Anvendelse af Newton- eller Picard -iteration giver et system af lineære ligninger, der er ikke-symmetrisk i nærvær af advektion og ubestemt i nærvær af inkompressibilitet. Sådanne systemer, især i 3D, er ofte for store til direkte løsere, så der bruges iterative metoder, enten stationære metoder som afslapningsmetoden eller Krylov subspace metoder . Krylov-metoder såsom GMRES, der almindeligvis bruges med prækonditionering , virker ved at minimere resten i successive underrum genereret af prækonditioneringsoperatøren.

Multigrid-metoden har fordelen af asymptotisk optimal ydeevne til mange problemer. Traditionelle løsere og prækonvertere er effektive til at reducere de højfrekvente restkomponenter, men lavfrekvente komponenter kræver typisk mange iterationer. Ved at arbejde på flere skalaer reducerer multigrid-metoden alle resterende komponenter med lignende faktorer, hvilket resulterer i et gitter-uafhængigt antal iterationer.

For usikre systemer, såsom prækonditioneringsmidler til ufuldstændig LU-nedbrydning, fungerer additiv Schwartz-metoden og multigrid-metoden dårligt eller ufuldstændigt, så problemstrukturen har brug for en effektiv foreløbig forberedelse.

Software

Der er mange matematiske programmer designet til at udføre beregninger af bevægelsen af væsker og gasser, for eksempel:

Acu Solve ;
ADINA ;
Advanced Simulation Library [15] (gratis ( AGPLv 3) hardwareaccelereret software ; C++ API; intern motor baseret på OpenCL);
ANSYS CFX ;
ANSYS Flydende ;
Autodesk Simulation CFD (tidligere kaldet "CFdesign");
Comsol Multiphysics ( engelsk ; tidligere kaldet "FEMlab");
FloEFD (et produkt af Mentor Graphics , også kendt som SolidWorks Flow Simulation)
FlowVision [16] (russisk softwarepakke af TESIS, distribueret uden for CIS af Capvidia)
OpenFOAM (gratis software);
Phoenix ;
Star-CD (udvikler er CD-adapco , ejet af Siemens);
Star-CCM+ (udvikler er CD-adapco , ejet af Siemens);
Hingste 3D ;
XFlow ;
Logos (Udvikling af Institut for Teoretisk og Matematisk Fysik RFNC-VNIIEF )

Der er også specialiserede softwaresystemer designet til at løse en bestemt type problemer. For at simulere de processer, der forekommer i en forbrændingsmotor, blev Fire ( AVL ), KIVA ( LANL ), Vectis ( Ricardo ) software oprettet .

Litteratur

JD Anderson, Jr. Computational Fluid Dynamics. Det grundlæggende med applikationer. McGraw-Hill Science/Engineering/Matematik; 1 udgave (1. februar 1995). ISBN 0070016852
C.T. Crowe, J.D. Swarzkopf, M. Sommerfeld, Y. Tsuji . Flerfasestrømme med dråber og partikler. C.R.C. Presse; 1 udgave (13. november 1997). ISBN 0849394694
Statistisk modellering i computational aerodynamik / Yu. I. Khlopkov . - Moskva: Azbuka-2000, 2006. - 157 s. : ill., tab.; 22 cm - (Sapere aude / MIPT).; ISBN 5-7417-0131-0
Renormaliseringsgruppemetoder til beskrivelse af turbulente bevægelser af en inkompressibel væske / Yu. I. Khlopkov, V. A. Zharov, S. L. Gorelov. - Moskva: MIPT (Statsuniversitet), 2006. - 491 s. : ill.; 22 cm; ISBN 5-7417-0154-X
Monte Carlo-metoder i væske- og gasmekanik / O.M. Belotserkovsky , Yu. I. Khlopkov. - Moskva: Azbuka-2000, 2008. - 329 s. : ill., tab.; 21 cm; ISBN 978-5-7417-0226-0

Noter

↑ Patankar, Suhas V. Numerisk varmeoverførsel og væskestrøm. — Hemisphere Publishing Corporation. - 1980. - ISBN 0891165223 .
↑ Surana, K.A.; Allu, S.; Tenpas, PW; Reddy, JN k-version af finite element-metoden i gasdynamik: numeriske løsninger med højere ordens globale differentiabilitet // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2007. - Februar ( bind 6 , nr. 69 ). — S. 1109–1157 . - doi : 10.1002/nme.1801 . - .
↑ Huebner, KH; Thornton, EA; og Byron, TD The Finite Element Method for Engineers (tredje udgave). - Wiley Interscience.. - 1995.
↑ Launder, B.E.; D.B. Spalding. Den numeriske beregning af turbulente strømme // Computermetoder i anvendt mekanik og teknik. - 1974. - Nr. 3 (2) . — S. 269–289 . - doi : 10.1016/0045-7825(74)90029-2 .
↑ 1 2 Wilcox, David C. Turbulence Modeling for CFD. - DCW Industries, Inc.. - 2006. - ISBN 978-1-928729-08-2 ..
↑ Farge, Marie; Schneider, Kai. Coherent Vortex Simulation (CVS), en semi-deterministisk turbulensmodel, der bruger bølger // Flow, turbulens og forbrænding. - 2001. - T. 66 (4) . — S. 393–426 . - doi : 10.1023/A:1013512726409 .
↑ Goldstein, Daniel; Vasilyev, Oleg. Stokastisk kohærent adaptiv simuleringsmetode for stor hvirvel // Physics of Fluids. - 1995. - T. 24 , nr. 7 . - S. 2497 . - doi : 10.1063/1.1736671. . - .
↑ Lundgren, TS Modelligning for ikke-homogen turbulens // Physics of Fluids. - 1969. - V. 12 (3) , nr. 485-497 . - doi : 10.1063/1.1692511. .
↑ Fox, Rodney. Beregningsmodeller for turbulente reagerende strømme // Cambridge University Press. - ISBN 978-0-521-65049-6 .
↑ Pope, SB PDF-metoder til turbulente reaktive strømme // Progress in Energy and Combustion Science. - 1985. - T. 11 (2) . — S. 119–192 . - doi : 10.1016/0360-1285(85)90002-4 .
↑ Gourlay, Michael J. Fluid Simulation for Video Games . - Intel Software Network.. - 2009. Arkiveret 15. november 2018 på Wayback Machine
↑ Krueger, Steven K. Linear Eddy Simulations Of Mixing In A Homogeneous Turbulent Flow // Physics of Fluids. - 1993. - V. 5 (4): 1023 . - doi : 10.1063/1.858667 . - .
↑ Hirt, CW; Nichols, BD Volume of fluid (VOF)-metode til frie grænsers dynamik // Journal of Computational Physics.. - 1981.
↑ Unverdi, SO; Tryggvason, G. En frontsporingsmetode til tyktflydende, inkompressible, multi-væskestrømme. — J. Comput. Phys.. - 1992.
↑ Avanceret simuleringsbibliotek . Hentet 30. oktober 2015. Arkiveret fra originalen 1. marts 2017. (ubestemt)
↑ TESIS Company. FlowVision CFD Complex . www.flowvision.ru Dato for adgang: 19. oktober 2016. Arkiveret fra originalen 23. oktober 2016. (ubestemt)