Kvantitet er et matematisk begreb, der beskriver objekter, for hvilke ulighedsrelationen og betydningen af additionsoperationen kan defineres , og en række egenskaber er opfyldt, herunder Arkimedes' aksiomer og kontinuitet . Kvantitet er et af matematikkens grundbegreber .
Indledningsvis blev en positiv skalar defineret med en ulighedsrelation og en additionsoperation. Blandt dens generaliseringer er vektorer og tensorer , for hvilke ulighedsrelationen ikke kan defineres, "ikke-arkimediske" størrelser, for hvilke Arkimedes-aksiomet ikke gælder. Systemet af reelle tal kan også betragtes som et system af mængder.
For homogene skalære størrelser etableres ulighedsrelationen og meningen med additionsoperationen. De har følgende egenskaber [1] :
En mængde er et abstrakt begreb, der udtrykker kategorien kvantitet . En skalarværdi er karakteriseret ved ét tal [2] .
Med udviklingen af matematikken blev betydningen af størrelsesbegrebet udsat for generaliseringer. Konceptet er blevet udvidet til "ikke-skalære" mængder, for hvilke addition er defineret, men ingen ordrerelation er defineret . Disse omfatter vektorer og tensorer. Den næste udvidelse var afvisningen af Arkimedes' aksiom eller dets brug med nogle forbehold (for eksempel naturligheden af tallet n for positive skalære mængder). Sådanne mængder bruges i abstrakt matematisk forskning [1] .
Derudover bruges faste og variable værdier. Når man overvejer variabler, er det sædvanligt at sige, at de på forskellige tidspunkter antager forskellige numeriske værdier [1] .
Euklid (III århundrede f.Kr.) introducerede begrebet en positiv skalarværdi , som var en direkte generalisering af så specifikke begreber som længde , areal , volumen , masse [1] . I den femte bog af " Begyndelser " er hovedegenskaberne for en mængde formuleret (måske tilhører den Eudoxus pen ), i den syvende bog tages tallene i betragtning og definitionen af mængden er givet, i tiende bog kommensurable og uforenelige mængder tages i betragtning [3] . Gamle græske matematikere udviklede en teori om måling af mængder baseret på de første ni egenskaber af en størrelse (herunder Arkimedes' aksiom) [1] .
Slægten af en størrelse er relateret til den måde, hvorpå objekter sammenlignes. For eksempel følger begrebet længde af sammenligningen af segmenter ved brug af superposition: segmenter har samme længde, hvis de falder sammen, når de er overlejrede, og længden af det ene segment er mindre end længden af det andet, hvis det første segment, når det er overlejret, gør det ikke helt dække den anden. Sammenligning af flade figurer fører til begrebet areal, rumlige legemer - volumen [1] . Euklid illustrerede sine overvejelser med operationer med segmenter, men samtidig betragter han mængder som abstrakte begreber. Hans teori anvendes på vinkler og tid [3] .
Græske matematikere overvejede størrelser, der kunne måles med en lineal med længdeenhed og et kompas [3] . Systemet af alle længder i rationelt forhold til længdeenhed opfylder krav 1-9, men dækker ikke systemet af alle længder generelt. Opdagelsen af eksistensen af inkommensurable segmenter tilskrives Pythagoras (VI århundrede f.Kr.) [1] . Arabiske matematikere overvejede mere komplekse størrelser, især løste de kubiske ligninger ved hjælp af geometriske metoder [3] . For en fuldstændig definition af et system af positive skalære størrelser blev kontinuitetsaksiomet introduceret. Som et resultat er alle værdier af systemet entydigt repræsenteret som a = α l , hvor α er et positivt reelt tal, og l er en måleenhed [1] .
Det næste trin var overvejelserne om rettede segmenter på en lige linje og modsat rettede hastigheder. Hvis nul og negative værdier føjes til systemet med positive skalære mængder, så er den resulterende generalisering, kaldet skalær størrelse, den vigtigste inden for mekanik og fysik. I denne generalisering er det et hvilket som helst reelt tal (positivt, negativt eller lig med nul). Denne generalisering tyr til begrebet et tal, men det samme kan opnås ved at ændre formuleringen af egenskaber [1] .
Descartes introducerede begrebet en variabel [2] .
I det 17. århundrede var reelle tal tæt forbundet med størrelsesbegrebet, og matematik blev betragtet som videnskaben om størrelser [4] .