Rum af elementære begivenheder

Rummet af elementære begivenheder er sættet af alle forskellige udfald af et tilfældigt eksperiment . $\Omega$

Et element i dette sæt kaldes en elementær begivenhed eller et resultat . Rummet af elementære begivenheder kaldes diskret , hvis antallet af dets elementer er begrænset eller tælleligt . Ethvert rum af elementære begivenheder, der ikke er diskrete, kaldes ikke- diskrete , og på samme tid, hvis de observerede resultater (ikke at forveksle med tilfældige begivenheder ) er punkter i et eller andet numerisk aritmetisk eller koordinatrum, så er rummet kaldes kontinuert ( kontinuum ). Elementære begivenheders rum sammen med begivenhedernes algebra og $\omega \i \Omega$ $\Omega$ ${\mathcal {F}}$ sandsynlighed danner en tripel , som kaldes et sandsynlighedsrum . ${\mathbf {P}}$ $(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$

Elementær begivenhed

I sandsynlighedsteori er elementære hændelser eller atom-begivenheder de (elementære) udfald af et tilfældigt eksperiment, hvoraf præcis én forekommer i eksperimentet. Sættet af alle elementære begivenheder er normalt betegnet med . $\Omega$

Enhver delmængde af sættet af elementære hændelser kaldes en tilfældig hændelse . Et eksperiment siges at have resulteret i en tilfældig hændelse, hvis det (elementære) resultat af eksperimentet er et element af . Forskellen mellem begreberne "elementær begivenhed" og "tilfældig begivenhed" er, at elementære begivenheder er elementer (derfor kaldes de atomhændelser), og tilfældige begivenheder er undermængder , dvs. en tilfældig begivenhed er en mængde, hvis elementer er elementære udviklinger . $\Omega$ $A\undersæt\Omega$ $EN$ $\Omega$ $\Omega$

I definitionen af et sandsynlighedsrum på et sæt af tilfældige hændelser introduceres et sigma-additivt endeligt mål , kaldet sandsynlighed.

Elementære begivenheder kan have sandsynligheder, der er strengt taget positive, nul, usikre eller en hvilken som helst kombination af disse muligheder. For eksempel er enhver diskret sandsynlighedsfordeling bestemt af sandsynligheden for, hvad der kan kaldes elementære begivenheder. I modsætning hertil har alle elementære begivenheder sandsynlighed nul for en kontinuerlig fordeling. Blandede fordelinger, der hverken er kontinuerte eller diskrete, kan indeholde atomer , som kan opfattes som elementære (det vil sige atomhændelser ) begivenheder med en sandsynlighed, der ikke er nul. I målteorien kunne sandsynligheden for en vilkårlig elementær begivenhed i definitionen af et sandsynlighedsrum ikke defineres, før matematikere så forskellen mellem udfaldsrummet S og begivenhederne af interesse, som er defineret som elementer i σ-algebraen for begivenheder fra S.

Formelt set er en elementær begivenhed en delmængde af udfaldsrummet af et tilfældigt eksperiment, som kun består af ét element; det vil sige, at en elementær begivenhed stadig er et sæt, men ikke selve elementet. Men elementære begivenheder er normalt skrevet som elementer snarere end som sæt for enkelhedens skyld, når dette ikke kan skabe forvirring.

Eksempler

Hvis der kastes en terning , kan den øverste flade være en af de seks flader med et antal prikker fra en til seks. Tabet af ethvert ansigt i dette tilfælde kaldes i sandsynlighedsteorien en elementær begivenhed [1] , dvs. $\omega_{k}$

$\omega_{1}$ - ansigt med et punkt;
$\omega _{2}$ - ansigt med to punkter;
…
$\omega _{6}$ - en seks-punkts kant.

Sættet af alle ansigter danner et rum af elementære begivenheder , hvoraf undergrupper kaldes tilfældige begivenheder [1] . I tilfælde af et enkelt kast med en terning er eksempler på begivenheder $\{\,\omega _{1},\ldots,\omega _{6}\,\}$ $\Omega$ $EN$

faldet af et ansigt med et ulige antal point, dvs. hændelsen er faldet af et ansigt med et punkt eller et ansigt med tre point, eller et ansigt med fem point). Matematisk er en begivenhed skrevet som et sæt, der indeholder elementære begivenheder: , og . Således, ; $EN$ $EN$ $\omega_{1}$ $\Omega 3}$ $\omega _{5}$ $A=\{\,\omega _{1},\omega _{3},\omega _{5}\,\}$
faldet af et ansigt med et lige antal punkter, dvs. hændelsen er faldet af et ansigt med to punkter eller et ansigt med fire punkter, eller et ansigt med seks punkter. Matematisk er en begivenhed skrevet som et sæt, der indeholder elementære begivenheder: , og . Således, ; $EN$ $EN$ $\omega _{2}$ $\omega _{4}$ $\omega _{6}$ $A=\{\,\omega _{2},\omega _{4},\omega _{6}\,\}$

Et par flere eksempler på eksperimenters udfaldsrum er : $\Omega$

Hvis antallet af mulige udfald kan tælles, så kan elementære begivenheder betragtes som naturlige tal, rummet af elementære begivenheder vil i dette tilfælde være sættet af naturlige tal . $\Omega = \{0, 1, 2, 3, ...\}$
Hvis en mønt kastes to gange, , for hoveder og for haler, så er de elementære begivenheder: , , og . $\Omega =\{ OO, OP, PO, PP\}$ $O$ $P$ $OO$ $OP$ $PO$ $PP$
Hvis er normalfordelte tilfældige variabler , så er et sæt af reelle tal , og elementære begivenheder er reelle tal. Dette eksempel viser, at den kontinuerlige sandsynlighedsfordeling ikke er bestemt af sandsynligheden for atomare begivenheder, da sandsynligheden for alle elementære begivenheder her er nul. $x$ $\Omega = \{ - \infty ; \infty \}$

Noter

↑ 1 2 Chernova N. I. Kapitel 1. § 2. Elementær sandsynlighedsteori // Sandsynlighedsteori . - Tutorial. - Novosibirsk: Novosibirsk State University. un-t, 2007. - 160 s.

Rum af elementære begivenheder

Elementær begivenhed

Eksempler

Noter

Se også