Ellipsoide af inerti

Inertioellipsoide (for punkt O) er en geometrisk figur i form af en andenordens overflade , der karakteriserer inertietensoren af et stivt legeme i forhold til punkt O.

Inerti-tensoren og inerti-ellipsoiden

Hovedartikel: Inerti Tensor

Et legemes inertimoment er givet ved den generelle formel:

I=\int {\mathbf r}_{{\bot }}^{2}\,dm

Inertietensoren for et stivt legeme er repræsenteret som en symmetrisk matrix

{\begin{pmatrix}I_{{xx}}&I_{{xy}}&I_{{xz}}\\I_{{yx}}&I_{{yy}}&I_{{yz}}\\I_{{zx }}&I_{{zy}}&I_{{zz}}\end{pmatrix}}

hvor elementerne er inertimomenterne om forskellige akser:

$I_{{xx}}=\int (y^{2}+z^{2})\,dm$
$I_{{åå}}=\int (x^{2}+z^{2})\,dm$
$I_{{zz}}=\int (x^{2}+y^{2})\,dm$

$I_{{xy}}=I_{{yx}}=-\int xy\,dm$
$I_{{xz}}=I_{{zx}}=-\int xz\,dm$
$I_{{yz}}=I_{{zy}}=-\int yz\,dm$

Inerti-tensormatrixen kan repræsenteres i en diagonal form , og så vil de diagonale elementer , , være kroppens vigtigste inertimomenter. Ligningen for inertiellipsoiden skrives derefter som: ${\displaystyle I_{x))$ ${\displaystyle I_{y))$ ${\displaystyle I_{z))$

$I_{x}x^{2}+I_{y}y^{2}+I_{z}z^{2}=1$

I dette tilfælde skal ellipsoidens koordinatakser falde sammen med kroppens hovedakser.

At kende inerti-ellipsoiden giver dig mulighed for at finde kroppens inertimoment omkring enhver akse, så længe den passerer gennem midten af ellipsoiden. For at gøre dette tegnes en radiusvektor langs den valgte akse, indtil den skærer inerti-ellipsoiden. Kroppens inertimoment omkring denne akse er givet ved formlen:

$I={\frac {1}{r^{2}}}$ , hvor er længden af radiusvektoren. $r$

Hvis momentet af eksterne kræfter i forhold til et fast punkt er lig med nul, så siger de, at Euler-tilfældet med bevægelsen af et stift legeme er realiseret. For et sådant tilfælde lykkedes det Poinsot at opnå en klar geometrisk fortolkning: inertiens ellipsoide for et fikspunkt ruller uden at glide langs et plan fast i rummet; dette plan er ortogonalt i forhold til kroppens vinkelmomentvektor ; kroppens vinkelhastighed er proportional med længden af radiusvektoren for kontaktpunktet og falder sammen med den i retning.

Eksempler på inerti-ellipsoider

Rektangulær parallelepipedum

Lad parallelepipedet have dimensioner . Vigtigste inertimomenter: $a,b,c$

I_{x}={\frac {m}{12}}(b^{2}+c^{2}),\quad I_{y}={\frac {m}{12}}(a^{ 2}+c^{2}),\quad I_{z}={\frac {m}{12}}(a^{2}+b^{2})

Et omtrentligt billede af inertioellipsoiden er vist på illustrationen.

For at beregne inertiellipsoiden af en uendelig lang tynd stang anses en af dimensionerne for at være meget større end de andre, og ellipsoiden degenererer til en cylindrisk overflade .

Litteratur

Sivukhin D.V. Almen kursus i fysik. - 4. udg. — M. : FIZMATLIT; MIPT Publishing House, 2005. - Vol. 1. Mechanics. - S. 311. - 560 s. — ISBN 5-9221-0225-7 .
Laboratorieværksted om generel fysik / A.D. Gladun. - M. : MIPT, 2004. - T. 1. Mekanik. - S. 133. - 316 s. — ISBN 5-7417-0202-3 .
Landau L.D., Lifshitz E.M. Teoretisk fysik. - 5. udg. - M. : FIZMATLIT, 2007. - T. 1. Mekanik. - S. 131. - 224 s. - ISBN 978-5-9221-0819-5 .