Kæde kompleks

Kædekomplekset og det dobbelte koncept for cochain-komplekset er de grundlæggende begreber i homologisk algebra .

Disse begreber blev oprindeligt brugt i algebraisk topologi til at studere topologiske rum. I homologisk algebra behandles de som abstrakte algebraiske strukturer uden hensyn til noget topologisk rum .

For kædekomplekser er deres homologigrupper defineret (kohomologigrupper for cochainkomplekser). Kædekomplekser kan også defineres i en vilkårlig Abelsk kategori .

Definitioner

Et kædekompleks er en sekvens af moduler og homomorfier , kaldet grænseoperatorer eller differentialer : $(K_\bullet, \partial_\bullet)$ $\partial_{n}:K_{n}\to K_{n-1}$

\ldots \xleftarrow{}K_{n-1}\xleftarrow{\partial_{n}}K_{n}\xleftarrow{\partial_{n+1}}K_{n+1}\xleftarrow{}\ldots

sådan at . Elementerne kaldes dimensionelle kæder , elementerne i de kerne - dimensionelle cyklusser , elementerne i billedet - dimensionelle grænser . Det følger heraf ( halvpræcision ). Hvis derudover , så kaldes et sådant kompleks eksakt . $\partial_{n}\partial_{n+1}=0$ $K_n$ $n$ $Z_{n}K=\operatørnavn {Ker} \partial _{n}$ $n$ $B_{n}K=\operatørnavn {Im} \partial _{n+1}$ $n$ $\partial_{n}\partial_{n+1}=0$ $B_n K \subset Z_n K$ $B_n K = Z_n K$

Kædekomplekser af moduler over en fast ring danner en kategori med morfismer , hvor er en sekvens af morfismer sådan, at pendler med differentialet, dvs. $\varphi _{\bullet }\colon (K_{\bullet},\partial _{\bullet}^{K})\to (L_{\bullet},\partial _{\bullet}^{L })$ $\varphi_{\bullet}$ $\varphi_{n}\colon K_n \to L_n$ $\varphi_{n}$ $\partial^{L}_{n}\varphi_{n}=\varphi_{n-1}\partial^{K}_{n}$

Et kædekompleks kan også defineres som et gradueret modul udstyret med en differential på graden −1. $M_{*}$ $\partial :M_{*}\to M_{*}$

Det er også muligt at definere komplekser, der består af objekter af en vilkårlig Abelsk kategori , såsom kategorien af skiver af Abelske grupper. [en]

Cochain kompleks

Et cochain-kompleks er et begreb, der er dobbelt til et kædekompleks. Det er defineret som en sekvens af moduler og homomorfismer sådan $(\Omega^{\bullet}, d^{\bullet})$ $d^n\colon \Omega^n \to \Omega^{n+1}$

d^{n+1} d^n = 0

Et cochain-kompleks er ligesom et kædekompleks en semi-nøjagtig sekvens.

\ldots \xrightarrow{} \Omega^{n-1} \xrightarrow{d^{n-1}} \Omega^{n} \xrightarrow{d^n} \Omega^{n+1} \xrightarrow{d ^{n+1}}

Egenskaber og begreber forbundet med cochain-komplekser er dobbelte til analoge begreber og egenskaber ved kædekomplekser.

Homologi og kohomologi

Den n-dimensionelle homologigruppe af et kædekompleks er dets nøjagtighedsmål i det n-te led og er defineret som $H_n$ $(K_\bullet, \partial_\bullet)$

H_n(K_\bullet, \partial_\bullet) = B_n(K)/Z_n(K)= \mathrm{Ker}\, \partial_n / \mathrm{Im}\, \partial_{n+1}

. For det nøjagtige kompleks

H_n=0

Den n-dimensionelle kohomologigruppe af et cochain kompleks er defineret på samme måde:

H^{n}(\Omega^\bullet, d^\bullet) = B^n/Z^n = \mathrm{Ker}\, d^n / \mathrm{Im}\, d^{n-1 }

Homomorfismer af kædekomplekser

En homomorfi af kædekomplekser er en kortlægning, således at følgende diagram viser sig at være kommutativt: $(A^\bullet , \delta^\bullet)$ $(B^\bullet, \gamma^\bullet)$ $f\kolon A_n \til B_n, \foralt n\i \N,$

En homomorfi af kædekomplekser inducerer en homomorfi af deres homologigrupper.

Tensor produkt af komplekser og intern Hom

Hvis V = V og W = W er kædekomplekser, så er deres tensorprodukt et kædekompleks, hvis elementer af grad i har formen ${}_{*}$ ${}_{*}$ $V\otimes W$

(V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\{j,k|j+k=i\}}V_{j}\otimes W_{k},

og differentialet er givet af formlen

\partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \partial b,

hvor a og b er vilkårlige homogene elementer af henholdsvis V og W , og angiver graden af elementet a . $\left|a\right|$

Dette tensorprodukt gør det muligt at give kategorien af kædekomplekser af K - moduler (for en vilkårlig kommutativ ring K ) strukturen af en symmetrisk monoidal kategori . Knytteoperationen er givet på nedbrydelige tensorer af formlen ${\text{Ch}}_{K}$

a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a

Tegnet er nødvendigt for, at knudeoperationen er en homomorfi af kædekomplekser. Desuden er der i kategorien af kædekomplekser af K -moduler en indre Hom : for kædekomplekserne V og W er den indre Hom for V og W , betegnet med hom( V , W ), et kædekompleks, hvis elementer af grad n har formen og differentialet givet af formlen $\Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})$

(\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f\right|}f(\partial (v))

Der er en naturlig isomorfisme

{\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))

Kædehomotopi

En kædehomotopi mellem homomorfismer af komplekser og er sådan en homomorfi af kædekomplekser og af graden +1 (dvs. ) for hvilken $D\kolon X \til Y$ $f$ $g$ $(X^\bullet, \partial^\bullet)$ $(Y^\bullet, \delta^\bullet)$ $D_k \colon X_k \to Y_{k+1}$

\delta D + D \partial = g - f

\delta_{k+1} D_k + D_{k-1} \partial_k = g_k - f_k

For cochain-komplekser har det tilsvarende kommutative diagram formen

Noter

↑ Kompleks // Matematisk encyklopædi .

Litteratur

Grothendieck A. Om nogle spørgsmål om homologisk algebra, - M .: 1961. (B-ka af samlingen "Matematik").
Dold A. Forelæsninger om algebraisk topologi, - M. : Mir, 1976.
Cartan A. , Eilenberg S. Homologisk algebra, - M . : Foreign Literature Publishing House, 1960.
McLane S. Homology, - M . : Mir, 1966.