Central grænsesætning

Centrale grænsesætninger (CLT) er en klasse af sætninger i sandsynlighedsteori , der angiver, at summen af et tilstrækkeligt stort antal svagt afhængige stokastiske variable med omtrent samme skala (ingen af termerne dominerer, ikke giver et definerende bidrag til summen ), har en fordeling tæt på normalen .

Da mange tilfældige variable i applikationer dannes under indflydelse af flere svagt afhængige tilfældige faktorer, anses deres fordeling for normal. I dette tilfælde skal betingelsen overholdes, at ingen af faktorerne er dominerende. Centrale grænsesætninger i disse tilfælde retfærdiggør anvendelsen af normalfordelingen.

Klassisk CLT

Lad der være en uendelig sekvens af uafhængige identisk fordelte stokastiske variable med en endelig matematisk forventning og varians . Lad også $X_{1},\ldots,X_{n},\ldots$ $\mu$ $\sigma ^{2}$

S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}

Derefter

{\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt n))}\til N(0,1)

ved uddeling kl .

n\til\infty

hvor er en normalfordeling med nul middelværdi og standardafvigelse lig med én. Definer prøvegennemsnittet af de første værdier som $N(0,1)$ $n$

{\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}

vi kan omskrive resultatet af den centrale grænsesætning i følgende form:

{\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu }{\sigma }}\to N(0,1)

ved uddeling kl .

n\til\infty

Konvergenshastigheden kan estimeres ved hjælp af Berry-Esseen-uligheden .

Noter

Uformelt set siger den klassiske centrale grænsesætning, at summen af uafhængige identisk fordelte stokastiske variable har en fordeling tæt på . Har tilsvarende en fordeling tæt på . $n$ $N(n\mu ,n\sigma ^{2})$ ${\bar {X}}_{n}$ $N(\mu ,\sigma ^{2}/n)$
Da fordelingsfunktionen af standardnormalfordelingen er kontinuert , svarer konvergens til denne fordeling til punktvis konvergens af fordelingsfunktionerne til fordelingsfunktionen af standardnormalfordelingen. Indstilling , vi opnår , hvor er fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen. $Z_{n}={\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n))))$ $F_{{Z_{n}}}(x)\til \Phi (x),\;\forall x\in {\mathbb {R}}$ $\Phi (x)$
Den centrale grænsesætning i den klassiske formulering bevises ved metoden med karakteristiske funktioner ( Levy's kontinuitetssætning ).
Generelt følger konvergensen af tæthederne ikke af konvergensen af fordelingsfunktioner . Ikke desto mindre er dette tilfældet i dette klassiske tilfælde.

Lokal CLT

Under antagelserne i den klassiske formulering, lad os desuden antage, at fordelingen af tilfældige variable er absolut kontinuerlig, det vil sige, at den har en tæthed. Så er fordelingen også absolut kontinuerlig, og desuden $\{X_{i}\}_{{i=1}}^{{\infty }}$ $Z_{n}$

f_{{Z_{n}}}(x)\til {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{{-{\frac {x^{2}}{ 2}}}}

kl ,

n\til\infty

hvor er tætheden af den stokastiske variabel , og på højre side er tætheden af standardnormalfordelingen. $f_{{Z_{n}}}(x)$ $Z_{n}$

Generaliseringer

Resultatet af den klassiske centrale grænsesætning er gyldig for situationer, der er meget mere generelle end fuldstændig uafhængighed og lige fordeling.

CPT Lindeberg

Lad uafhængige stokastiske variable defineres på det samme sandsynlighedsrum og have endelige matematiske forventninger og varianser : . $X_{1},\ldots,X_{n},\ldots$ ${\mathbb {E}}[X_{i}]=\mu _{i},\;{\mathrm {D}}[X_{i}]=\sigma _{i}^{2}$

Lad . $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

Så . ${\mathbb {E}}[S_{n}]=m_{n}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\mu _{i},\;{\mathrm {D} [S_{n}]=s_{n}^{2}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\sigma _{i}^{2}$

Og lad Lindeberg-betingelsen være opfyldt :

\forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{{n\to \infty }}\sum \limits _{{i=1}}^{n}{\mathbb {E}}\left[{ \frac {(X_{i}-\mu _{i})^{2}}{s_{n}^{2}}}\,{\mathbf {1}}_{{\{|X_{i }-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}}\right]=0,

hvor funktion er en indikator. ${\mathbf {1}}_{{\{|X_{i}-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}}$

Derefter

{\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}\til N(0,1)

ved uddeling kl .

n\til\infty

TsPT Lyapunov

Lad de grundlæggende antagelser i Lindebergs CLT være opfyldt. Lad de stokastiske variable have et endeligt tredje moment . Derefter rækkefølgen $\{X_{i}\}$

r_{n}^{3}=\sum _{{i=1}}^{n}{\mathbb {E}}\left[|X_{i}-\mu _{i}|^{3} \ret]

Hvis grænse

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {r_{n}}{s_{n}}}=0

( Lyapunov tilstand ),

derefter

{\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}\til N(0,1)

ved uddeling kl .

n\til\infty

CLT for martingaler

Lad processen være en martingal med afgrænsede trin. Lad os især antage det $(X_{n})_{{n\i {\mathbb {N))))$

{\mathbb {E}}\venstre[X_{{n+1}}-X_{n}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}\right]=0,\;n\i {\ mathbb {N}},\;X_{0}\equiv 0,

og stigningerne er ensartet afgrænset, dvs

\eksisterer C>0\,\forall n\i {\mathbb {N}}\;|X_{{n+1}}-X_{n}|\leq C

b.s.

Vi introducerer tilfældige processer og som følger: $\sigma _{n}^{2}$ $\tau_n$

\sigma _{n}^{2}={\mathbb {E}}\left[(X_{{n+1}}-X_{n})^{2}\mid X_{1},\ldots, X_{n}\right]

\tau _{n}=\min \left\{k\left\vert \;\sum _{{i=1}}^{k}\sigma _{i}^{2}\geq n\right. \ret\}

Derefter

{\frac {X_{{\tau _{n}}}}{{\sqrt {n}}}}\to N(0,1)

ved uddeling kl .

n\til\infty

CLT for tilfældige vektorer

Lade være en sekvens af uafhængige og ligeligt fordelte tilfældige vektorer, som hver har en middelværdi og en ikke-singular kovariansmatrix . Betegn med vektoren af partielle summer. Så er der en svag konvergens af vektorernes fordelinger ${\vec {X_{1}}},\ldots ,{\vec {X_{n}}},\ldots$ $E{\vec {X_{1}}}={\vec {a}}$ $\Sigma$ ${\displaystyle S_{n}={\vec {X_{1))}+\ldots +{\vec {X_{n))))$ $n\til\infty$

${\vec {\eta _{n))}={\frac {S_{n}-na}{\sqrt {n))}\xhøjrepil {svag} {\vec {\eta ))$ , hvor har distribution . ${\vec {\eta ))$ $N({{\vec {0)),\Sigma })$

Se også

Noter

↑ Rouaud, Mathieu. Sandsynlighed, statistik og skøn (ubestemt) . - 2013. - S. 10.

Links

Sandsynlighedsteoriens grænsesætninger. Eksempler på brug

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Stor russer Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	BNF : 122653738 GND : 4067618-3 J9U : 987007284968305171 LCCN : sh85021905