Martingale

For spilsystemet, se Martingale ; for elementet hestesele, se Martingale

Martingale i teorien om tilfældige processer er en sådan tilfældig proces , at den bedste (i betydningen root-mean-square) forudsigelse af processens adfærd i fremtiden er dens nuværende tilstand.

Diskrete tidsmartingaler

En sekvens af tilfældige variable kaldes en martingal med diskret tid if $\{X_{n}\}_{n\i \mathbb {N} }$

${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N}$ ;
${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N}$ .

Lad en anden sekvens af stokastiske variable blive givet . Så kaldes en sekvens af tilfældige variable en relativ martingale eller -martingale if $\{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ $\{X_{n}\}_{n\i \mathbb {N} }$ $\{Y_{n}\}$ $\{Y_{n}\}$

${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N}$ ;
${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N}$ .

Martingales med kontinuerlig tid

Lad der være et sandsynlighedsrum med en filtrering defineret på det , hvor . Så kaldes en tilfældig proces en martingale med hensyn til , hvis $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$ $T\subset \mathbb {R}$ $\{X_{t}\}_{t\in T}$ $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$

$X_{t}$ er målbar med hensyn til evt . ${\mathcal {F}}_{t}$ $i T$
${\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T$ .
${\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]=X_{s}$ næsten sikkert . [en] $\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t$

Hvis naturlig filtrering tages som , så kaldes det simpelthen en martingal. $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$ ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}$ $\{X_{t}\}$

Under- og supermartingaler

Lad en sekvens af stokastiske variable være givet . Så kaldes sekvensen af tilfældige variable en sub(super)martingale med hensyn til if $\{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ $\{X_{n}\}_{n\i \mathbb {N} }$ $\{Y_{n}\}$

${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} ;$
${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\geq (\leq )X_{n},\quad n\in \mathbb {N} .$

En tilfældig proces kaldes en sub(super)martingale med hensyn til if $\{X_{t}\}_{t\in T},\;T\subset \mathbb {R}$ $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$

$X_{t}$ er målbar med hensyn til evt . ${\mathcal {F}}_{t}$ $i T$
${\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T$ .
${\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]\geq (\leq )X_{s},\quad \forall s,t\in T,\; s\leq t$ .

Hvis naturlig filtrering tages som , så kaldes det blot sub(super)martingale. $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$ ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}$ $\{X_{t}\}$

Egenskaber

En tilfældig proces er en martingale, hvis og kun hvis den er både en submartingale og en supermartingale.
Hvis er en martingale, så . $\{X_{t}\}$ ${\mathsf {E}}X_{t}=\mathrm {konst}$
Hvis er en submartingale, så er en supermartingale. $\{X_{t}\}$ $\{-X_{t}\}$
Hvis er en martingal og er en konveks funktion , så er en submartingale. Hvis er en konkav funktion , så er en supermartingale. $\{X_{t}\}$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\{f(X_{t})\}$ $f$ $\{f(X_{t})\}$
Generelt er en martingale ikke en Markov-proces .
- Det modsatte er også sandt: En Markov-proces behøver ikke være en martingale.

Eksempler

Overvej et spil, hvor en mønt bliver kastet, og hvis hoveder kommer op, vinder spilleren 1 rubel. , og i tilfælde af en "haler" taber den 1 gnidning. Derefter:
- hvis mønten er balanceret, så er spillerens tilstand som funktion af antallet af spil en martingale;
- hvis hoveder er mere sandsynlige, så er spillerens tilstand submartingale;
- hvis det er mere tilbøjeligt til at få hoveder, så er spillerens tilstand en supermartingale.

Wiener-processen (dette er en matematisk model af Brownsk bevægelse ) er en martingal.

Noter

↑ A.V. Bulinsky, A.N. Shiryaev. Theory of Stokastical Processes Arkiveret 15. februar 2017 på Wayback Machine . Fizmatlit, 2005, s. 9.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Stor russer Britannica (online) Universalis
I bibliografiske kataloger	BNF : 11932329h J9U : 987007553375505171 LCCN : sh85081645 NDL : 00567500