Berry-Esseen ulighed

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. oktober 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Berry-Esseen-uligheden er en ulighed, der gør det muligt at estimere konvergenshastigheden af en sum af uafhængige stokastiske variable til en stokastisk variabel med en normalfordeling. Selve kendsgerningen af en sådan konvergens kaldes den centrale grænsesætning i sandsynlighedsteorien . Denne ulighed blev uafhængigt afledt af Andrew Berry i 1941 og Carl-Gustav Esseen i 1942.

Udtalelse af sætningen

Tilfældet med identisk fordelte mængder

Lad en uendelig rækkefølge af uafhængige identisk fordelte stokastiske variabler gives sådan, at . Betegn ved fordelingen af summen af formen . Så for alle og $X_n$ $M(X_{n})=0,M(X_{n}^{2})=\sigma ^{2}>0,M(|X_{n}^{3}|)=\rho <\infty$ $F_{n}$ $\sum _{i=1}^{n}X_{i}/\left(\sigma {\sqrt {n}}\right)$ $x$ $n$

\left|F_{n}(x)-{\mathcal {N))(x)\right|\leq {\frac {C\rho }{\sigma ^{3}{\sqrt {n} }}}

hvor angiver standard normalfordelingen og er en konstant, hvis værdi fortsætter med at blive forfinet. Ifølge de seneste data , [en] $\mathcal{N}$ $C$ $C<0,4784$

Forskelligt fordelte stokastiske variable

Et lignende resultat kan opnås i det tilfælde, hvor vilkårene er fordelt forskelligt. Lade være uafhængige stokastiske variable , . Lad os introducere notationen: . Betegn ved fordelingen af en tilfældig variabel af formen . Så for alle og $X_{k}$ $M(X_{k})=0,M(X_{k}^{2})=\sigma _{k}^{2},M(|X_{k}^{3}|)= \rho _{k}$ $s_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2},r_{n}=\sum _{i=1}^{ n}\rho _{i}$ $F_{n}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}/s_{n))$ $x$ $n$

\left|F_{n}(x)-{\mathcal {N}}(x)\right|\leq C{\frac {r_{n}}{s_{n}^{3}}}

Noter

↑ Korolev, Shevtsova, 2010 .

Litteratur

V. Feller. "Introduktion til sandsynlighedsteori og dens anvendelser". - 2. - Boghuset "Librokom", 2009. - T. 2.
Korolev, V. Yu.; Shevtsova, IG "På den øvre grænse for den absolutte konstant i Berry-Esseen uligheden" // Sandsynlighedsteori og dens anvendelser. – 2010.