Levis kontinuitetssætning

Levis sætning i sandsynlighedsteori er et resultat, der forbinder den punktvise konvergens af karakteristiske funktioner af stokastiske variable med konvergensen af disse stokastiske variable i fordelingen .

Ordlyd

Lade være en sekvens af tilfældige variable, der ikke nødvendigvis er defineret på samme sandsynlighedsrum . Lad os betegne den tilfældige variabels karakteristiske funktion , hvor , ved symbolet . Så hvis ved fordeling ved , og er den karakteristiske funktion af , så $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ $X_n$ $n\in \mathbb {N}$ $\varphi _{n}(t)$ $X_{n}\to X$ $n\til\infty$ $\varphi (t)$ $x$

\varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R}

Omvendt, hvis , hvor er en funktion af et reelt argument kontinuerligt ved nul, så er en karakteristisk funktion af en tilfældig variabel , og $\varphi _{n}(t)\til \varphi (t)\;\forall t\in \mathbb {R}$ $\varphi \in C(0)$ $\varphi (t)$ $x$

X_{n}\to X

ved uddeling kl .

n\til\infty

Bemærk

Da den karakteristiske funktion af enhver tilfældig variabel er kontinuert ved nul, har den anden sætning følgende trivielle konsekvens. Hvis , hvor er den karakteristiske funktion af , og er den karakteristiske funktion af , så ifølge fordelingen ved . Brugen af denne kendsgerning til at bevise konvergens i distribution kaldes nogle gange metoden for karakteristiske funktioner . Metoden med karakteristiske funktioner er standardmetoden til at bevise den klassiske Central Limit Theorem . $\varphi _{n}(t)\til \varphi (t)\;\forall t\in \mathbb {R}$ $\varphi _{n}(t)$ $X_n$ $\varphi (t)$ $x$ $X_{n}\to X$ $n\til\infty$

Levis kontinuitetssætning

Ordlyd

Bemærk

Se også