Heltal algebraisk tal

Heltals algebraiske tal kaldes komplekse (og især reelle ) rødder af polynomier med heltalskoefficienter og med en ledende koefficient lig med én.

Med hensyn til addition og multiplikation af komplekse tal danner algebraiske heltal en ring . Det er klart, er en subring af feltet af algebraiske tal og indeholder alle almindelige heltal. $\Omega$ $\Omega$

Lad være et komplekst tal. Overvej en ring genereret ved at tilføje almindelige heltal til ringen . Det er dannet af alle mulige værdier , hvor er et polynomium med heltalskoefficienter. Så gælder følgende kriterium: et tal er et algebraisk heltal, hvis og kun hvis er en endeligt genereret Abelsk gruppe . $u$ ${\mathbb {Z}}[u]$ $u$ $\mathbb {Z}$ $f(u)$ $f(z)$ $u$ ${\mathbb {Z}}[u]$

Eksempler på algebraiske heltal

Gaussiske heltal .
Enhedens rødder er rødderne af et polynomium over feltet af komplekse tal. $x^n-1$

Egenskaber

Alle rationelle tal, der optræder i , er heltal . Med andre ord kan ingen irreducerbar brøk med en nævner større end én være et algebraisk heltal. $\Omega$ $m/n$
For hvert algebraisk tal eksisterer der et naturligt tal , som er et algebraisk heltal. $u$ $n$ $nu$
Roden af enhver grad af et heltal algebraisk tal er også et heltal algebraisk tal.

Historie

Teorien om algebraiske heltal blev skabt i det 19. århundrede af Gauss , Jacobi , Dedekind , Kummer og andre. Interessen for det skyldtes især, at denne struktur historisk set var den første i matematik, hvor man opdagede en tvetydig faktorisering til primfaktorer. Klassiske eksempler blev bygget af Kummer; sige, i en underring af algebraiske heltal af formen finder 2 udvidelser sted: $a+b{\sqrt {-5}}$

6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5)))\cdot (1-{\sqrt {-5)))

desuden er alle faktorer i begge tilfælde simple , det vil sige, at de er uopløselige i denne underring.

Studiet af dette problem førte til opdagelsen af de vigtige begreber ideal og prime ideal , i hvis struktur det blev muligt at bestemme nedbrydningen i prime faktorer entydigt.

Litteratur

C. Irland, M. Rosen. En klassisk introduktion til moderne talteori. Oversættelse fra engelsk af S. P. Demushkin, redigeret af A. N. Parshin. M.: Mir, 1987, kapitel 6.
Borevich Z. I., Shafarevich I. P. Talteori . Moskva: Nauka, 3. udgave, 1985.— 504 s.
Van der Waerden B. L. Algebra. Moskva: Mir, 1975, kapitel 17: Heltals algebraiske elementer.
Gekke E. Forelæsninger om algebraiske talteori, trans. fra tysk., M. - L., 1940.
Gelfond A. O. Transcendentale og algebraiske tal, M., 1952.
Postnikov M. M. Introduktion til teorien om algebraiske tal

Algebraiske tal
Sorter	Algebraiske heltal Chebyshev noder Konstruktive tal Eisensteins helhed Gaussiske heltal Kummer ring Perron tal Piso-Vijayaraghavan numre Kvadratisk irrationalitet ℚ Rødder fra enhed Salem numre
Bestemt	Conway konstant 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2