Femelementformel (sfærisk geometri)

Formlen med fem elementer i sfærisk trigonometri udtrykker forholdet mellem de fem elementer i en sfærisk trekant [1] .

Beskrivelse

Hele det grundlæggende sæt af formler for de fem elementer for forskellige vinkler og sider af en trekant kan opdeles i to grupper:

• Formler, der relaterer tre sider og to vinkler, ellers kendt som formler for sinus af en side og cosinus af en vinkel . Her er en af ​​dem [2] :

• Formler, der relaterer tre vinkler og to sider, ellers kendt som formler for sinus af en vinkel til cosinus af en side . En af dem ser sådan ud:

I formlen for sinus af en side til cosinus af en vinkel, er siden og vinklen ved siden af ​​den udtrykt i form af de to andre sider og vinklen mellem dem. For hver side kan en af ​​de to tilstødende vinkler tages, så der er seks sådanne formler i alt.

I formlen for sinus af en vinkel til cosinus af en side, er siden og vinklen, der støder op til den, udtrykt i form af de to andre vinkler og den side, der støder op til dem. Der er også seks sådanne formler.

Hver formel for sinus af en vinkel med cosinus af en side er dobbelt til en af ​​formlerne for sinus af en side med cosinus af en vinkel, da vinklerne og siderne af enhver sfærisk trekant er komplementeret til en udviklet vinkel af siderne og vinklerne af den tilsvarende polære trekant . Derfor er det tilstrækkeligt kun at bevise formlerne for en sides sinus og en vinkels cosinus. Desuden opnås de to formler for sinus af en side til cosinus af en inkluderet vinkel og sinus af samme side til cosinus af en anden inkluderet vinkel på nøjagtig samme måde. Og fra disse to formler opnås de resterende fire formler for sidens sinus til vinklens cosinus ved hjælp af en cirkulær permutation af bogstaverne:

Det er således tilstrækkeligt at bevise en af ​​formlerne for sinus af en side til cosinus af en vinkel.

Bevis

Beviset vil blive udført ved hjælp af projektioner [1] . Figuren viser en sfærisk trekant ABC på en kugle med radius R centreret ved O. BP er vinkelret på planet for den store cirkel, der går gennem side b , BM er vinkelret på OC , BN er vinkelret på OA . Ved det modsatte af de tre perpendikulære sætning er PM vinkelret på OC , PN er vinkelret på OA . Bemærk at vinklen MPN er b, desuden er BM = R sin a, BN = R sin c og OM = R cos a. Dernæst projicerer vi den stiplede linje NOMP på linjen, der indeholder NP .

Vi erstatter de sidste fire udtryk med det første og får:

Ansøgning

Ved at anvende formlen for fem elementer sammen med nogle andre formler for sfærisk trigonometri, kan man f.eks. få formler til omregning mellem himmelske koordinatsystemer : vandret , ækvatorial, ekliptisk og galaktisk [3] .

Historie

Formlen med fem grundstoffer blev afledt af Leonhard Euler i det 18. århundrede [4] .

Noter

1. ↑ 1 2 Stepanov N.N. Formler for fem elementer // Sfærisk trigonometri . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S.  32 -35. — 154 s.
2. ↑ Spherical Trigonometry Arkiveret 28. februar 2021 på Wayback Machine på MathWorld- webstedet
3. ↑ Tsesevich V.P. Hvad og hvordan man observerer på himlen. - 6. udg. - M . : Nauka , 1984. - S. 68-74. — 304 s.
4. ↑ Sfærisk trigonometri // Great Soviet Encyclopedia  : [i 30 bind]  / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M .  : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.