Chebyshev filter

Chebyshev-filter [K 1] - en af typerne af lineære analoge eller digitale filtre , hvis karakteristiske træk er en stejlere hældning af amplitude-frekvenskarakteristikken (AFC) og betydelige krusninger af amplitude-frekvenskarakteristikken ved pasbåndsfrekvenser (Chebyshev filter af den første art) og undertrykkelse ( Chebyshev filter af den anden type) end filtre af andre typer. Filteret blev opkaldt efter den berømte russiske matematiker fra det 19. århundrede Pafnuty Lvovich Chebyshev , da dette filters karakteristika er baseret på Chebyshev polynomier .

Chebyshev-filtre bruges normalt, hvor det er påkrævet at give de nødvendige frekvensresponskarakteristika med et lavordensfilter, især god frekvensundertrykkelse fra undertrykkelsesbåndet, mens jævnheden af frekvensresponsen ved pasbånd og undertrykkelsesfrekvenser ikke er så vigtig .

Der er Chebyshev-filtre I og II slægter.

Chebyshev filter af den første slags

Dette er en mere almindelig ændring af Chebyshev-filtre. Frekvenssvaret for et sådant th-ordens filter er givet af følgende udtryk: $n$

G_n(\omega) = \venstre | H_n(j\omega)\right | = \frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2 T_n^2\venstre(\frac{\omega}{\omega_0}\right)))

hvor er krusningseksponenten, er afskæringsfrekvensen og er Chebyshev-polynomiet af th orden. $\varepsilon$ $\omega_0$ $T_{n}(x)$ $n$

I passbåndet af et sådant filter er krusninger synlige, hvis amplitude bestemmes af krusningsfaktoren . I pasbåndet tager Chebyshev-polynomier værdier fra 0 til 1, så filterforstærkningen tager værdier fra maksimum til minimum . Ved afskæringsfrekvensen har forstærkningen en værdi på , og ved frekvenser over den fortsætter den med at falde med stigende frekvens. ( Bemærk : den sædvanlige definition af cutoff-frekvensen som frekvensen, når LAFC er -3 dB i tilfælde af Chebyshev-filteret, virker ikke). $\varepsilon$ $G=1$ $G=1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$ $\omega_0$ $1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$

I tilfælde af et analogt elektronisk Chebyshev-filter er dets rækkefølge lig med antallet af reaktive komponenter (for eksempel induktorer ), der bruges i dets implementering.

Ripple i pasbåndet er ofte angivet i decibel :

Ripple i dB = . ${\displaystyle 20\log _{10}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2))))$

For eksempel svarer ripples med en amplitude på 3 dB til . $\varepsilon=1$

En stejlere rolloff kan opnås, hvis ripple tillades ikke kun i pasbåndet, men også i undertrykkelsesbåndet, ved at tilføje nuller til filterets overførselsfunktion på den imaginære akse i det komplekse plan. Dette vil dog resultere i mindre effektiv undertrykkelse i undertrykkelsesbåndet. Det resulterende filter er det elliptiske filter , også kendt som Cauer-filteret. $j\omega$

Poler og nuller

For nemheds skyld tager vi afskæringsfrekvensen lig med enhed. Polerne på Chebyshev-filteret er nullerne af dets nævner. Ved at bruge den komplekse frekvens får vi: $(\omega_{pm})$ $s$

1+\varepsilon^2T_n^2(-js)=0

Ved at præsentere og bruge den trigonometriske definition af Chebyshev polynomier får vi: $-js=\cos(\theta)$

1+\varepsilon^2T_n^2(\cos(\theta))=1+\varepsilon^2\cos^2(n\theta)=0

Lad os løse det sidste udtryk mhp $\theta$

\theta=\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}

Derefter bestemmes polerne af Chebyshev-filteret ud fra følgende udtryk:

s_{pm}=i\cos(\theta)=

=i\cos\left(\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}\right)

Ved at bruge egenskaberne for trigonometriske og hyperbolske funktioner skriver vi det sidste udtryk i kompleks form:

s_{pm}^\pm= \pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{ \varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+

+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\ cos(\theta_m)

hvor og $m=1,\;2,\;\ldprikker,\;n$

\theta_m=\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}

Dette udtryk kan betragtes som en parametrisk ligning med parameteren . Den viser, at polerne ligger på en ellipse i -planet, med centrum af ellipsen i punktet , halvaksen af den reelle akse har længde , og halvaksen af den imaginære akse har længde . $\theta_n$ $s$ $s=0$ $\mathop{\mathrm{sh}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)$ $\mathop{\mathrm{ch}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)$

Overførselsfunktion

Ovenstående ligning indeholder poler relateret til den komplekse filterforstærkning . For hver pol er der et komplekst konjugat, og for hvert komplekst konjugatpar er der to poler, der kun adskiller sig fra dem i tegnet for den reelle del af polen. Overførselsfunktionen skal være stabil, hvilket betyder, at dens poler skal have en negativ reel del, det vil sige ligge i venstre halvplan af det komplekse plan. Overførselsfunktionen i dette tilfælde er givet af følgende udtryk: $G$

H(s)=\prod_{m=0}^{n-1}\frac{1}{(s-s_{pm}^-)}

hvor er kun de poler, der har en negativ reel del. $s_{pm}^-$

Gruppeforsinkelse

Gruppeforsinkelse er defineret som minus afledet af filterfasen med hensyn til frekvens og er et mål for faseforvrængning af et signal ved forskellige frekvenser.

\tau_g=-\frac{d}{d\omega}\arg(H(j\omega))

Fasekarakteristika

Fasekarakteristikaene for Chebyshev-filteret af den første slags - fase-frekvensrespons (PFC) og faseforsinkelse - er vist i figuren. Faseresponsen viser frekvensfordelingen af faseforskydningen af udgangssignalet i forhold til indgangen. Faseforsinkelsen er defineret som kvotienten for at dividere faseresponsen med frekvensen og karakteriserer frekvensfordelingen af udgangssignalets tidsforskydning i forhold til inputtet.

\tau_{\varphi}=\frac{\arg H(j\omega)}{\omega}

Tidskarakteristika

De tidsmæssige karakteristika for Chebyshev-filteret af den første slags - impulsovergangsfunktionen og overgangsfunktionen - er vist i figuren. Impulstransientfunktionen er filterets respons på inputsignalet i form af Dirac deltafunktionen , og transientfunktionen er responsen på inputhandlingen i form af Heaviside enhedsfunktionen .

Chebyshev-filter af anden art

Type II Chebyshev-filteret ( omvendt Chebyshev-filter ) bruges sjældnere end Type I Chebyshev-filteret på grund af den mindre stejle afrulning af amplituderesponsen, hvilket fører til en stigning i antallet af komponenter. Den har ingen krusning i pasbåndet, men er til stede i undertrykkelsesbåndet. Amplitudekarakteristikken for et sådant filter er givet ved følgende udtryk:

G_n(\omega,\;\omega_0) = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1} {\varepsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )))}

I undertrykkelsesbåndet tager Chebyshev-polynomierne værdier fra 0 til 1, på grund af hvilken amplitudekarakteristikken for et sådant filter tager værdier fra nul til

\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{\varepsilon^2))}

minimumsfrekvensen, ved hvilken dette maksimum nås, er afskæringsfrekvensen . Parameteren er relateret til stopbåndsdæmpningen i decibel ved følgende udtryk: $\omega_0$ $\varepsilon$ $\gamma$

\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0,\!1\gamma}-1}}

Til dæmpning ved 5 dB afskæringsfrekvenser: ; for dæmpning på 10 dB: . Frekvensen er afskæringsfrekvensen. 3 dB dæmpningsfrekvensen er relateret til følgende udtryk: $\varepsilon=0,\!6801$ $\varepsilon=0,\!3333$ $f_C=\omega_C/(2\pi)$ $f_H$ $f_C$

f_H = f_C\,\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{ch}}^{-1}\frac{1}{\varepsilon}\right )