Butterworth filter

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 17. august 2022; checks kræver 9 redigeringer .

Butterworth-filtret er en af de typer elektroniske filtre . Filtre i denne klasse adskiller sig fra andre ved designmetoden. Butterworth-filteret er designet således, at dets frekvensrespons er så glat som muligt ved pasbåndsfrekvenser .

Sådanne filtre blev først beskrevet af den britiske ingeniør Stephen Butterworth.i artiklen " On the Theory of Filter Amplifiers " , i Wireless Engineer magazine i 1930 .

Oversigt

Frekvensresponsen af Butterworth-filteret er så jævn som muligt ved pasbåndsfrekvenserne og falder til næsten nul ved undertrykkelsesfrekvenserne. Når frekvensresponsen for et Butterworth-filter vises på en logaritmisk faserespons , falder amplituden mod minus uendeligt ved afskæringsfrekvenserne. I tilfælde af et førsteordens filter falder frekvensresponsen med en hældning på -6 decibel pr. oktav (-20 decibel pr. årti ) (faktisk er alle førsteordens filtre, uanset type, identiske og har samme frekvensgang ). For et andenordens Butterworth-filter er frekvensresponsen dæmpet med -12 dB pr. oktav, for et tredjeordens filter med -18 dB, og så videre. Frekvensresponsen af Butterworth-filteret er en monotont aftagende funktion af frekvensen.

Butterworth-filteret er det eneste filter, der bevarer formen af frekvensresponsen for højere ordener (med undtagelse af en stejlere afrulning i afvisningsbåndet), mens mange andre filtervarianter ( Bessel- filter , Chebyshev-filter , elliptisk filter ) har en anden form af frekvensresponsen i forskellige rækkefølger.

Sammenlignet med Chebyshev Type I og II filtre eller et elliptisk filter, har Butterworth filteret en fladere rolloff og skal derfor være af højere orden (hvilket er sværere at implementere) for at give den ønskede respons ved cutoff frekvenserne. Butterworth-filteret har dog en mere lineær faserespons ved pasbåndsfrekvenser.

Som med alle filtre, når man overvejer frekvenskarakteristika, bruges et lavpasfilter , hvorfra et højpasfilter , et båndpasfilter eller et notch-filter nemt kan opnås .

Frekvensresponsen for et th- orders Butterworth-filter kan fås fra overførselsfunktionen : $G(\omega)$ $n$ $H(s)$

G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {G_{0}^{2}}{1+\left({\frac { \omega }{\omega _{c}}}\right)^{{2n}}}}

hvor

$n$ - filterrækkefølge
$\omega_{c}$ - afskæringsfrekvens (frekvens, hvor amplituden er -3 dB)
$G_{0}$ - DC-forstærkning (forstærkning ved nul frekvens)

Det er let at se, at for uendelige værdier bliver frekvensresponsen en rektangulær funktion, og frekvenser under afskæringsfrekvensen vil blive passeret igennem med en forstærkning , mens frekvenser over afskæringsfrekvensen vil blive fuldstændig undertrykt. For endelige værdier vil henfaldet af karakteristikken være blidt. $n$ $G_{0}$ $n$

Ved hjælp af en formel substitution repræsenterer vi udtrykket i formen : $s=+j\omega$ $H(s)H(-s)$ ${\displaystyle |H(\omega )|^{2))$

H(s)H(-s)={\frac {G_{0}^{2}}{1+\venstre({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2 }}}\right)^{n}}}}

Overførselsfunktionens poler er placeret på en cirkel med radius lige langt fra hinanden i venstre halvplan. Det vil sige, at overføringsfunktionen af et Butterworth-filter kun kan bestemmes ved at bestemme polerne af dets overføringsfunktion i venstre halvplan af s-planet . -th pol bestemmes ud fra følgende udtryk: $\omega _{c}$ $k$

-{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {2k-1}{n}}=e ^{\frac {j(2k-1)\pi }{n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n

hvor

s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n))\qquad k=1,2,3,\ldots ,n

Overførselsfunktionen kan skrives som:

{\displaystyle H(s)={\frac {G_{0}}{\prod _{k=1}^{n}(s-s_{k})/\omega _{c))))

Lignende overvejelser gælder for digitale Butterworth-filtre, med den eneste forskel, at forholdene ikke er skrevet for s -planet, men for z -planet .

Nævneren af denne overførselsfunktion kaldes Butterworth-polynomiet.

Normaliserede Butterworth-polynomier

Butterworth-polynomier kan skrives i kompleks form som vist ovenfor, men de skrives normalt som forhold med reelle koefficienter (komplekse konjugerede par kombineres ved hjælp af multiplikation). Polynomier normaliseres ved cutoff-frekvensen :. De normaliserede Butterworth-polynomier har således følgende kanoniske form: $\omega _{c}=1$

B_{n}(s)=\prod _{{k=1}}^{({\frac {n}{2}}}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\ frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]

, - endda

n

B_{n}(s)=(s+1)\prod _{{k=1}}^{{{\frac {n-1}{2}}}}\left[s^{2}-2s \cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]

, - mærkeligt

n

Nedenfor er koefficienterne for Butterworth-polynomierne for de første otte ordener:

$n$	Polynomiske koefficienter $B_{n}(s)$
en	$(s+1)$
2	$s^{2}+1{,}41421s+1$
3	$(s+1)(s^{2}+s+1)$
fire	$(s^{2}+0{,}76537s+1)(s^{2}+1{,}84776s+1)$
5	$(s+1)(s^{2}+0{,}61803s+1)(s^{2}+1{,}61803s+1)$
6	$(s^{2}+0{,}51764s+1)(s^{2}+1{,}41421s+1)(s^{2}+1{,}93185s+1)$
7	$(s+1)(s^{2}+0{,}44504s+1)(s^{2}+1{,}24698s+1)(s^{2}+1{,}80194s +1)$
otte	$(s^{2}+0{,}39018s+1)(s^{2}+1{,}11114s+1)(s^{2}+1{,}66294s+1)(s) ^{2}+1{,}96157s+1)$

Maksimal glathed

At tage og , vil den afledede af amplitudekarakteristikken med hensyn til frekvens se sådan ud: $\omega _{c}=1$ $G_{0}=1$

{\frac {dG}{d\omega }}=-nG^{3}\omega ^{2n-1}

Den falder monotont for alle, da forstærkningen altid er positiv. Således har Butterworth-filterets frekvensgang ingen bølgelængde. Når amplitudekarakteristikken udvides til en serie , får vi: $\omega$

G(\omega )=1-{\frac {1}{2}}\omega ^{{2n}}+{\frac {3}{8}}\omega ^{{4n}}+\ldots

Med andre ord er alle afledte af amplitude-frekvenskarakteristikken med hensyn til frekvens op til -th lig med nul, hvilket indebærer "maksimal glathed". $2n$

Rolloff ved høje frekvenser

Efter at have accepteret finder vi hældningen af logaritmen af frekvensresponsen ved høje frekvenser: $\omega _{c}=1$

\lim _{{\omega \rightarrow \infty }}{\frac {d\log(G)}{d\log(\omega )))=-n

I decibel har den højfrekvente asymptote en dB/årti-hældning. $-20n$

Filterdesign

Der er en række forskellige filtertopologier , som lineære analoge filtre implementeres med. Disse ordninger adskiller sig kun i værdierne af elementerne, strukturen forbliver uændret.

Cauer-topologi

Cauers topologi bruger passive elementer ( kapacitanser og induktanser ) [1] . Et Butteworth-filter med en given overførselsfunktion kan konstrueres i form af en Type 1 Cauer. -th element af filteret er givet af relationen: $k$

C_{k}=2\sin \venstre[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]

; k mærkeligt

L_{k}=2\sin \venstre[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]

; k er lige

Sallen-Ki topologien

Sallen-Key topologien bruger aktive elementer ( operationsforstærkere ) foruden passive. Hvert trin i Sallen-Key-kredsløbet er en del af filteret, matematisk beskrevet af et par komplekse konjugerede poler. Hele filteret opnås ved at seriekoble alle trin. Hvis en rigtig stang støder på, skal den implementeres separat, normalt i form af en RC - kæde , og inkluderes i det samlede kredsløb.

Overførselsfunktionen for hvert trin i Sallen-Key-ordningen er:

H(s)={\frac {1}{1+C_{2}(R_{1}+R_{2})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}s^{ 2}}}

Nævneren skal være en af faktorerne i Butterworth-polynomiet. Ved at tage , får vi: $\omega _{c}=1$

C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}=1

C_{2}(R_{1}+R_{2})=2\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\right)

Den sidste relation giver to ubekendte, som kan vælges vilkårligt.

Sammenligning med andre lineære filtre

Figuren nedenfor viser Butterworth-filterets frekvensrespons sammenlignet med andre populære lineære filtre af samme (femte) orden:

Det kan ses på figuren, at Butterworth-filteret har den langsomste roll-off af de fire, men det har også den glatteste frekvensgang ved pasbåndsfrekvenser.

Eksempel

Overvej et tredje-ordens analogt lavpas Butterworth-filter med farad, ohm og henry. Ved at betegne impedansen af kapacitanserne som impedansen af induktanserne som , hvor er en kompleks variabel, og ved at bruge ligningerne til beregning af elektriske kredsløb , får vi følgende overførselsfunktion for et sådant filter: $C_{2}=4/3$ $R_{4}=1$ $L_{1}=1/2$ $L_{3}=3/2$ $C$ $1/(sC)$ $L$ $sL$ $s=\sigma+j\omega$

H(s)={\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {1}{1+2s+2s^{2}+s^{3} }}

Frekvensresponsen er givet ved ligningen: $G(\omega)$

{\displaystyle G^{2}(\omega )=|H(j\omega )|^{2}={\frac {1}{1+\omega ^{6))))

og PFC er givet ved ligningen:

\Phi (\omega )=\arg[H(j\omega )]

Gruppeforsinkelse er defineret som minus den afledede af fasen i forhold til den cirkulære frekvens og er et mål for faseforvrængning af et signal ved forskellige frekvenser. Et sådant filters logaritmiske frekvensrespons har ingen rippel hverken i pasbåndet eller i undertrykkelsesbåndet. $\lg G$

Plottet af modulet for overføringsfunktionen i det komplekse plan angiver tydeligt tre poler i venstre halvplan. Overførselsfunktionen er fuldstændig bestemt af placeringen af disse poler på enhedscirklen symmetrisk om den reelle akse.

Ved at erstatte hver induktans med en kapacitans, og kapacitanserne med induktanser, får vi et Butterworth højpasfilter .

Se også

Noter

↑ http://www.falstad.com/circuit/ Arkiveret 21. januar 2013 på Wayback Machine Circuit. Passive filtre. Butterworth Low-Pass (10 polet)

Litteratur

V.A. Lucas. Teori om automatisk kontrol. — M.: Nedra, 1990.
B.H. Krivitsky. Opslagsbog om det teoretiske grundlag for radioelektronik. - M . : Energi, 1977.
Miroslav D. Lutovac. Filterdesign til signalbehandling ved hjælp af MATLAB© og Mathematica©. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2 .
Richard W. Daniels. Approksimationsmetoder til elektronisk filterdesign. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6 .
Steven W. Smith. Forsker- og ingeniørens guide til digital signalbehandling . - Anden version. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1 .
Britton C. Rorabaugh. Approksimationsmetoder til elektronisk filterdesign. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7 .
B. Widrow, SD Stearns. Adaptiv signalbehandling. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0 .
S. Haykin. Adaptiv filterteori. - 4. udgave. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1 .
Michael L. Honig, David G. Messerschmitt. Adaptive filtre - strukturer, algoritmer og applikationer . - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0 .
J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Lineær forudsigelse af tale. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1 .
L.R. Rabiner , R.W. Schafer. Digital behandling af talesignaler. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1 .
Richard J. Higgins. Digital signalbehandling i VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X .
A.V. Oppenheim, R.W. Schafer. Digital signalbehandling . - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5 .
L. R. Rabiner , B. Gold. Teori og anvendelse af digital signalbehandling. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4 .
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis. Introduktion til digital signalbehandling. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X .