Fermi gas

Fermi-gas (eller Fermi - Dirac idealgas ) er en gas bestående af partikler, der opfylder Fermi-Dirac-statistikker , med lav masse og høj koncentration . For eksempel elektroner i et metal . I den første tilnærmelse kan vi antage, at potentialet, der virker på elektronerne i metallet, er en konstant værdi, og på grund af den stærke screening med positivt ladede ioner kan den elektrostatiske frastødning mellem elektronerne negligeres . Så kan metallets elektroner betragtes som en ideel Fermi-Dirac-gas - en elektrongas .

Fermi-Dirac gas ved nul temperatur

Den laveste energi af en klassisk gas (eller Bose-Einstein-gas ) ved er lig med . Det vil sige, at ved nul temperatur falder alle partikler til deres laveste tilstand og mister al deres kinetiske energi . Dette er dog ikke muligt for Fermi-gassen. Pauli udelukkelsesprincippet tillader kun én Fermi-partikel med et halvt heltals spin at være i én tilstand .

Den laveste partikelgasenergi kan opnås ved at placere en partikel i hver af de laveste energikvantetilstande . Derfor vil energien af ​​en sådan gas være forskellig fra nul.

Værdien er let at beregne. Lad os betegne med energien af ​​en elektron i højeste kvantetilstand, som stadig er fyldt ved . Ved nultemperatur er alle kvantetilstande med energi under optaget, og alle kvantetilstande med energi over er frie.

Derfor skal der være nøjagtige tilstande med energier mindre end eller lig med . Denne betingelse er tilstrækkelig til at finde . Da volumenet er mikroskopisk, er translationstilstande tæt på hinanden i momentumrum, og vi kan erstatte summering over translationelle kvantetilstande ved integration over klassisk faserum , efter at have divideret med :

hvor er antallet af interne kvantetilstande, der svarer til den indre energi . Tal , for elektroner med spin 1/2. Ved at integrere det sidste udtryk fra til , momentum af den højeste fyldte tilstand med energi , og sidestille resultatet med , opnår vi under hensyntagen til det faktum , at :

eller for elektroner med :

Mængden , den højeste energi af fyldte niveauer, kaldes Fermi-energien .

Fermi-Dirac-gas ved endelig temperatur

For ikke-nul værdier af parameteren findes tætheden af ​​antallet af elektroner i energirummet ved at multiplicere kvantetæthederne af tilstande

med faktoren , som giver antallet af elektroner pr. kvantetilstand:

hvor kvantitet er det kemiske potentiale ved , og er det kemiske potentiale ved en given temperatur.

Hvis vi integrerer denne funktion over alle værdier af , så kan vi definere den som en funktion af temperaturen.

Sammenligning af resultatet, som er inkluderet i det samlede antal partikler . Dette viser, at for er en funktion af parametrene og .

Energi kan findes ud fra forholdet:

hvorfra det kan ses, at vi her står over for problemet med at finde et integral af typen:

hvor funktionen er en simpel og kontinuerlig funktion af f.eks. eller , og

Det skal bemærkes, at værdien har en størrelsesorden fra til K for de fleste metaller.

Hvis vi springer over ret besværlige matematiske beregninger, får vi som et resultat den omtrentlige værdi af det kemiske potentiale:

som udtrykker det kemiske potentiale i form af parametrene og .

Her skal det bemærkes, at denne afhængighed ikke er særlig stærk, for eksempel ved stuetemperaturer er det første tilsætningsstof en ret lille værdi - . Derfor falder det kemiske potentiale i praksis praktisk talt sammen med Fermi-potentialet ved stuetemperatur.

Se også

Litteratur

Links