Kvantegas

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. august 2021; checks kræver 22 redigeringer .

En kvantegas er en gas af partikler eller kvasipartikler , der adlyder kvantestatistikker.

Egenskaberne af en kvantegas afhænger af dens grad af degeneration , som er karakteriseret ved degenerationstemperaturen. Degenerationstemperaturen afhænger af gasdensiteten, er partikelkoncentrationen , er partikelmassen, er Boltzmann-konstanten . Forudsat at gassen ikke er degenereret, og partikelenergifordelingen er beskrevet af Boltzmann-fordelingen . I tilfældet falder gassen ind i området for kvantedegeneration og er, afhængig af partikelstatistikken, enten en degenereret Fermi-gas ( Fermi–Dirac-statistik ) eller en Bose-gas ( Bose–Einstein-statistik ). $T_{0}$ $T_0 \sim \frac{N^{(2/3)}}{mk}$ $N$ $m$ $k$ $T \gg T_0$ $T \ll T_0$

Kvantegasmodellen er meget brugt til at løse problemer inden for faststoffysik (elektrongas i metaller), astrofysik (egenskaber af hvide dværge og neutronstjerner), fysik af kondenseret stof ( superfluiditet ).

Skelne mellem ideel og ægte kvantegas.

En ideel kvantegas

Betingelsen for en kvantegass idealitet er betingelsen om ikke-interaktion mellem de partikler, den består af. På grund af fraværet af interaktion kan vi antage, at fyldningen af en eller anden kvantetilstand i systemet ikke påvirker fyldningen af andre tilstande. I det generelle tilfælde, hvis der for eksempel er en Coulomb-vekselvirkning mellem partikler , så skal den anses for svag, for at den ideelle gastilnærmelse skal give gode resultater. Dette fører til sjældenhedstilstanden , hvor er partikelspredningslængden eller, som er den samme, . Derfor antages det, at ved , hvor er degenerationstemperaturen, er egenskaberne af en kvantegas stort set uafhængige af statistikken over dens bestanddele og kan beskrives ved Maxwell-Boltzmann-statistikken . Da der ikke er nogen måde at præcist kontrollere antallet af partikler i systemet, giver det mening at arbejde i forhold til det store kanoniske ensemble . $Na^3 \ll 1$ $-en$ $kT \ll \frac{\hbar^2}{ma^2}$ $T \gg T_0$ $T_{0}$

Derefter, på grund af staternes uafhængighed, er opdelingsfunktionen af en ideel Bose - Fermi gas givet af formlen $\Sigma =\prod _{\alpha} \Sigma _{\alpha},$ $\Sigma_{\alpha} =(1 \pm e^{-(\varepsilon _{\alpha }-\mu)/(kT)})^{\mp 1}$ $\varepsilon _{\alpha }$ $\mu$

Det store termodynamiske potentiale for en ideel kvantegas svarende til denne skillefunktion er:

$\Omega =-kT\ln(\Sigma)=-AV\int \frac{d\varepsilon \quad \varepsilon ^{3/2}}{e^{(\varepsilon -\mu)/(kT)}\ pm 1},\qquad A=\frac {2^{7/2}\pi m^{3/2}g}{3h^3}$ ,

hvor er systemets volumen, er Plancks konstant , og er spindegeneration . $V$ $h$ $g=2s+1$

Gennemsnitligt antal partikler pr. niveau: . $<N_{\alpha}>=\frac{1}{e^{(\varepsilon _{\alpha }-\mu)/(kT)}\pm 1}$

Man kan forene udtrykket for det termodynamiske potentiale endnu mere, hvis man bemærker, at integranden i tilfælde af Fermi- og Bose-gasser kun adskiller sig i fortegn. Dernæst skal alle dimensionelle parametre tages ud under integralet. Så skrives det termodynamiske potentiale som:

$\Omega =-\overline AV(kT)^{5/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)}),\qquad \overline A=A\Gamma (5/ 2).$ ,

hvor funktionen blev introduceret , ${G}_{k}(x) = \begin{cases} {F_{k}(x)}, Fermi-Dirac \\ \zeta _{k+1}(e^x), Bose-Einstein \end {cases}$

Med betegnelser:

For en Fermi-gas er Fermi-Dirac-funktionen: . $F_k(\eta )=\frac 1{\Gamma (k+1)}\int_0^{\infty }\frac {dx\quad x^k}{e^{x-\eta}+1}$
For en Bose-gas er den generaliserede Riemann - funktion : . $\zeta$ $\zeta _k(a)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a^n}{n^k}=\frac 1{\Gamma (k)}\int _0^{\infty }\frac {dx\quad x^{k-1}}{e^x/a-1}$

Så ved at bruge en simpel relation og Maxwells termodynamiske relationer kan man opnå forskellige termodynamiske egenskaber i en generel form: $\partial_{\eta}G_k(\eta)=G_{k-1}(\eta)$

Koncentration	$n=-\frac{1}{V}\Biggr (\frac {\partial \Omega }{\partial \mu}\Biggl)_{T,V}$	$\overline A(kT)^{3/2}{G}_{1/2}({\mu}/{(kT)})$	Entropi	$S(T,V,\mu )=-\Biggr (\frac {\partial \Omega}{\partial T}\Biggl )_{V,\mu }$	$\overline AVk^{5/2}\Bigg\{\frac 52T^{3/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})-\frac {\mu } kT^{1/2}{G}_{1/2}({\mu}/{(kT)})\Bigg\}.$
Tryk	$p=-\Biggr (\frac {\partial \Omega }{\partial V}\Biggl )_{T,\mu }$	$\overline A(kT)^{5/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})$	Varmekapacitet	$C_{V,N}=T\Biggr (\frac {\partial S }{\partial T}\Biggl )_{V,N}$	$\overline AVk^{5/2}T^{3/2}\Bigg\{\frac{15}4{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})-\frac 94\frac {{G}^{2}_{1/2}({\mu}/{(kT)})}{{G}_{-1/2}({\mu}/{(kT) )})}\Bigg\}.$

Disse formler fortsætter med at virke ved både lave og høje temperaturer. [ ryd op ]

Degenereret gas

En degenereret gas er en gas, hvis egenskaber er væsentligt påvirket af kvantemekaniske effekter, der opstår fra identiteten af dens partikler. Indflydelsen af partiklernes identitet bliver betydelig, når de gennemsnitlige afstande mellem dem falder til afstande svarende til de Broglie-bølgelængden , der er forbundet med partiklen, dvs. betingelsen er opfyldt:

N^{-1/3}\sim r\sim \lambda

hvor er volumenkoncentrationen af partikler ,

N

{\displaystyle \lambda =h/{\venstre(mv\højre)))

er de Broglie-bølgelængden af massepartikler, der bevæger sig med en hastighed på .

m

v

Degenerationsbetingelserne er opfyldt ved en tilstrækkelig lav temperatur (til en ideel gas ) og en høj partikelkoncentration . $T$ $v\sim {\sqrt {T}}$ $N$

Degeneration af Fermi- og Bose-gasser

Egenskaberne af Bose og Fermi gasser er fundamentalt forskellige: Et vilkårligt stort antal bosoner kan være i én kvantetilstand, mens ikke mere end én fermion kan være i én kvantetilstand.

Typen af degeneration afhænger af den statistik, som partiklerne adlyder. Hvis for en Fermi-gas, på grund af Pauli-princippets virkning, trykket af en degenereret gas er højere end trykket af en ideel gas under de samme forhold, så er trykket for en degenereret Bose-gas lavere end trykket på en ideel gas på grund af Bose-Einstein-kondensering .

I en Fermi-gas, med fuldstændig degeneration (ved ), er alle lavere energiniveauer fyldt op til et vist maksimum, kaldet Fermi-niveauet , og alle efterfølgende forbliver tomme. En stigning i temperaturen ændrer kun lidt denne fordeling af metalelektroner over niveauer: en lille brøkdel af elektroner placeret i niveauer tæt på Fermi-niveauet går til tomme niveauer med højere energi og frigør dermed niveauerne under Fermi-niveauet, hvorfra overgangen blev foretaget . $T=0K$

Når en gas af bosoner degenererer fra partikler med en anden masse end nul (sådanne bosoner kan være atomer og molekyler ), skal en vis brøkdel af systemets partikler gå i en tilstand med nul momentum; dette fænomen kaldes Bose-Einstein-kondensering . Jo tættere temperaturen er på det absolutte nulpunkt, jo flere partikler skal der være i denne tilstand. Imidlertid går systemer af sådanne partikler, når temperaturen falder til meget lave værdier, over i en fast eller flydende tilstand (for helium ), hvor den ideelle gastilnærmelse er uanvendelig.

For en gas med nulmassebosoner , som inkluderer fotoner , er degenerationstemperaturen uendelig; derfor er fotongassen altid degenereret, og klassisk statistik kan ikke anvendes på den. Fotongassen er den eneste degenererede ideelle Bose-gas af stabile partikler. Bose-Einstein-kondensation forekommer dog ikke i det, da der ikke er nogen fotoner med nul momentum (fotoner bevæger sig altid med lysets hastighed ).

Et vigtigt eksempel på en Fermi-gas ved tilstrækkeligt lave temperaturer er elektrongassen i metaller . For denne gas viser degenerationstemperaturen sig at være i størrelsesordenen 10.000 K; derfor fungerer den degenererede elektrongastilnærmelse godt i metaller ved stuetemperatur. Det skal bemærkes, at i tilfælde af halvledere går denne model ind i Maxwell-Boltzmann-modellen på grund af placeringen af Fermi-niveauet inde i båndgabet.

Fænomenet degeneration af Fermi-gasser spiller en vigtig rolle i udviklingen af stjerner : for eksempel balancerer trykket fra elektrondegenereret gas tyngdekraften i hvide dværge , og trykket fra neutrondegenereret gas balancerer tyngdekraften i neutronstjerner .

Nedenfor er hovedformlerne for begge tilfælde af degeneration.

Degenereret Fermi-gas

For , integranden i formlen for funktionen mister kontinuitet. Funktionens spring sker ved en energi svarende til - Fermi-energien . Når temperaturen er tæt på, men forskellig fra nul, kan integranden udvides til en serie (i forhold til parameteren ), og integralet har formen: $T=0$ ${G}_{k}$ $\mu(T)|_{T=0}$ $kT$

\int _{0}^{\infty}\frac {d\varepsilon \phi (\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu)/(kT)}+1}=\int _{0} ^{\mu }d\varepsilon \phi (\varepsilon)+ (kT)^{2}\frac{\pi^2}{6}\phi '(\mu)+ O((kT)^{4} ).

Ved at erstatte dette udtryk med tilstandsligningerne og udtryk for termodynamiske egenskaber får vi ( ): $\alpha={\pi^2 \over 6}$

Koncentration	$n\approx A\Bigg(\mu ^{3/2}+\frac 34\alpha \frac{(kT)^{2}}{\sqrt{\mu }}\Bigg)$	Entropi	$S(T,V,\mu)\ca. 3\alpha \frac {AV}T\varepsilon_{F}^{1/2}(kT)^{2}$
Tryk	$p\approx \varepsilon_{F}^{5/2}\Bigg(\frac25+2\alpha \frac{(kT)^{2}}{\varepsilon_{F}^{2}}\Bigg)$	Varmekapacitet	$C_{V,N}\ca. 3\alpha AV\varepsilon _{F}^{1/2}k^{2}T.$

Ved at løse den første ligning ved iterationsmetoden finder vi udtrykket for det kemiske potentiale og Fermi-energien:

\mu=\varepsilon _{F}\Bigg[1-\frac 12\alpha \frac{(kT)^{2}}{\varepsilon_{F}^{2}}+O\Bigg(\frac{k ^{4}T^{4}}{\varepsilon_{F}^{4}}\Bigg)\Bigg],\qquad \varepsilon _{F}=\Bigg({3n \over 2A}\Bigg)^ {2/3}.

Ved en temperatur tæt på nul er den ideelle Fermi-gas således i grundtilstanden, dens partikler optager alle energiniveauer op til , og alle niveauer ovenfor er frie. $\varepsilon _{F}$ $\varepsilon _{F}$

Det skal bemærkes, at den ideelle gastilnærmelse ikke beskriver mange vigtige effekter, såsom fænomenet superledning, superfluiditet osv.

Degenereret Bose-gas

Med et fald i temperatur eller en stigning i tætheden af Bose-gassen vil parameteren , deraf det kemiske potentiale og blive til nul ved endelige værdier relateret af relationen . I dette tilfælde er populationen af nulniveauet formelt lig med uendelig, så punktet kaldes Bose-kondensationspunktet. Fænomenet Bose-kondensering kan ikke beskrives ud fra den ideelle Bose-gastilnærmelse, så vi begrænser os til at beskrive Bose-gassens adfærd i nærheden af Bose-kondensationspunktet. $a=e^{\mu/(kT)} \højrepil 1$ $\mu \højrepil 0$ $n_0, T_0$ $n_{0}(kT_{0})^{-3/2}/\overline A=\zeta _{3/2}(1)\ca. 2,6$ $(n_0, T_0)$

Asymptotikken for funktionen ved er $\zeta_{3/2}(e^{\mu/(kT)})=\frac 1{\Gamma(3/2)}\int _{0}^{\infty }\frac {dx x^{ 1/2}}{e^{x-\mu/(kT)}-1}$ $\mu\to0, T\to T_0$

\zeta _{3/2}(e^{\mu /(kT)})\ca. \frac {n_{0}}{\overline A(kT_{0})^{3/2}}+\frac {\pi}{\Gamma(3/2)}\sqrt {\frac{|\mu |}{kT))+O(\frac {\mu}{kT}),

hvorfra følger udtrykket for det kemiske potentiale: hvor er afvigelserne fra Bose kondensationspunktet. $T=T_0$ $\mu \approx {\frac {\Gamma ^{{2}}(3/2)}{\pi ^{{2}}{\overline A}^{2}(kT_{{0}})^{ {2)))){\Bigg (}\delta n-3n_{{0)){\frac {\delta T}{2T_{{0)))){\Bigg )}^{{2)),$ $\delta n, \quad \delta T$

For at beregne entropien og varmekapaciteten har vi også brug for asymptotik for funktionerne og , som kan opnås på samme måde som den foregående og har formen: $\zeta_{1/2}(e^{\mu/(kT)})$ $\zeta_{5/2}(e^{\mu/(kT)})$

\zeta _{5/2}(e^{\mu /(kT)})\approx \mbox{const} + O(\frac{\mu}{kT}),\quad \zeta _{1/2 }(e^{\mu /(kT)})\approx \mbox{const} \sqrt {\frac {kT}{|\mu |}} +O(1)

Se også

Litteratur

Landau L. D., Lifshitz E. M. Statistisk fysik.
Cooney F. M. Statistisk fysik.
M. Komarova, M. Nalimov. kvantegasser. - St. Petersburg State University, 2005.
Jean Letessier, Johann Rafelski, T. Ericson, PY Landshoff. Hadroner og Quark-Gluon Plasma. - Cambridge University Press , 2002. - 415 s. — ISBN 9780511037276 .

Materiens termodynamiske tilstande

Fasetilstande

Aggregeringstilstand Fasebalance Faseregel fasediagram Tilstandsligning
Solid	krystaller Monokrystal polykrystal Krystallit
mesofase	Amorfe kroppe glasagtig tilstand flydende krystal Nematisk Smektisk kolesterisk Søjlefase Mesogen Membran
Væske	Ideel væske Metastabil tilstand overophedet væske superkølet væske strakt væske Nedsmeltning superkritisk væske
Gas	Ideel gas rigtig gas Damp Mættet damp overophedet damp overmættet damp
Plasma	elektromagnetisk Quark-gluon plasma Glazma
Lav temperatur	bose kondensat Fermionisk kondensat kvantegas bose gas Fermi gas degenereret gas kvantevæske bose væske Fermi væske superflydende fast stof Fænomener Superfluiditet Superledningsevne
Andet	mærkelig sag fotonisk molekyle farve glas kondensat

Faseovergange

Første slags

Anden slags

i elektriske fænomener	ferroelektrisk Antiferroelektrisk
i magnetiske fænomener	ferromagneter Paramagneter Antiferromagneter

kvante

lambda punkt

Spred systemer

Geler
- Aerogel
Løsninger
kolloide systemer
- grov
- Frit spredt kolloid
Sol
Spraydåse
- Røg
- Støv
- Tåge
- tåge
Affjedring
Emulsion

se også