Van der Waals ligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. april 2021; checks kræver 10 redigeringer .

Van der Waals-ligningen ( eller van der Waals-ligningen [K 1] ) er en ligning , der relaterer de vigtigste termodynamiske størrelser i van der Waals -gasmodellen .

Selvom den ideelle gasmodel godt beskriver opførselen af rigtige gasser ved lave tryk og høje temperaturer , er dens overensstemmelse med erfaringen meget værre under andre forhold. Dette er især manifesteret i det faktum, at rigtige gasser kan overføres til en væske og endda til en fast tilstand , mens ideelle gasser ikke kan.

For en mere præcis beskrivelse af adfærden af virkelige gasser ved lave temperaturer blev der skabt en van der Waals gasmodel, der tager højde for kræfterne fra intermolekylær interaktion. I denne model bliver intern energi ikke kun en funktion af temperatur , men også af volumen . $U$

Van der Waals ligning er en af de almindeligt kendte tilnærmede tilstandsligninger, der beskriver egenskaberne for en rigtig gas, har en kompakt form og tager højde for hovedegenskaberne for en gas med intermolekylær interaktion [7] .

Tilstandsligning

Den termiske tilstandsligning (eller ofte bare tilstandsligningen) er forholdet mellem tryk , volumen og temperatur .

For et mol van der Waals-gas har den formen:

\left(p+{\frac {a}{V_{m}^{2}}}\right)(V_{m}-b)=RT,

hvor

$s$ - tryk ,
$V_{m}$ - molært volumen ,
$T$ er den absolutte temperatur ,
$R$ er den universelle gaskonstant .

Det kan ses, at denne ligning faktisk er tilstandsligningen for en ideel gas med to korrektioner. Korrektionen tager højde for tiltrækningskræfterne mellem molekyler (trykket på væggen falder, da der er kræfter, der trækker grænselagets molekyler indad), korrektionen er det samlede volumen af gasmolekyler. $-en$ $b$

For mol van der Waals-gas ser tilstandsligningen sådan ud: $\nu$

\left(p+{\frac {a\nu ^{2}}{V^{2}}}\right)\left({V}-{b\nu}\right)=\nu RT,

hvor

$V$ - volumen .

Af figuren, som viser van der Waals gasisotermerne, kan det ses, at under en vis temperatur ophører afhængigheden med at være monoton: der dannes en van der Waals loop , hvor en stigning i tryk svarer til en stigning i volumen , som er i modstrid med termodynamikkens love . Udseendet af en sløjfe betyder, at van der Waals-ligningen i dette ændringsområde ophører med at beskrive den faktiske situation, når en gas-væske faseovergang finder sted, og den virkelige isoterm er et lige linjesegment - en konnode (knudepunkt), der forbinder to figurative punkter på binodalen. $p(V)$ $s$ $V$

Afledning af ligningen

To metoder til at opnå ligningen er bedst kendt: den traditionelle udledning af van der Waals selv og udledningen ved metoder i statistisk fysik .

Traditionel afledning

Overvej først en gas, hvor partiklerne ikke interagerer med hinanden, sådan en gas opfylder den ideelle gastilstandsligning :

p={\frac {RT}{V_{{\mathrm {m}}}}}.

Lad os yderligere antage, at partiklerne i en given gas er elastiske kugler med samme radius . Da gassen befinder sig i et kar med begrænset volumen, vil rummet, hvor partiklerne kan bevæge sig, være noget mindre. I den oprindelige formel skal en vis del af den trækkes fra det samlede volumen , som generelt set kun afhænger af det stof, som gassen består af. Således opnås følgende ligning: $r$ $b$

p={\frac {RT}{V_{{\mathrm {m}}}-b}}.

Det er værd at bemærke, at det subtraherede volumen ikke vil være nøjagtigt lig med det samlede volumen af alle partikler. Hvis partiklerne anses for at være faste og perfekt elastiske kugler, vil det subtraherede volumen være cirka fire gange større. Dette forklares let ved, at centrum af elastiske kugler ikke kan nærme sig en afstand tættere på end . $b$ $2r$

Dernæst overvejer van der Waals tiltrækningskræfterne mellem gaspartikler og gør følgende antagelser:

Partikler fordeles jævnt over hele volumen.
Tiltrækningskræfterne af fartøjets vægge tages ikke i betragtning, hvilket ikke er sandt i det generelle tilfælde.
Partikler placeret inde i karret og direkte ved væggene føler tiltrækning på forskellige måder: inde i karret kompenserer de virkende tiltrækningskræfter af andre partikler hinanden.

For partikler inde i karret tages der således ikke højde for tiltrækningskræfterne. Partikler placeret direkte ved kanten af beholderen trækkes indad af en kraft, der er proportional med koncentrationen:

n=N_{{\mathrm {A}}}/V_{{\mathrm {m}}}

Antallet af partikler, der er placeret direkte ved væggene, antages til gengæld også at være proportionalt med koncentrationen . Vi kan antage, at trykket på karrets vægge er mindre med en vis mængde, omvendt proportional med kvadratet af rumfanget: $n$

p={\frac {RT}{V_{\mathrm {m} }-b}}-{\frac {a}{V_{\mathrm {m} }^{2}}}.

Endelig ligning:

\left(p+{\frac {a}{V_{{\mathrm {m}}}^{2}}}\right)(V_{{\mathrm {m}}}-b)=RT.

Hvis vi går fra molarvolumenet til det sædvanlige, får vi:

\left(p+{\frac {\nu ^{2}a}{V^{2))}\right)(V-\nu b)=\nu RT.

Adiabatisk ligning for van der Waals gas:

$T\cdot (Vb)^{n-1}=const$ ,

hvor $n=1-{\frac {R}{C-C_{V}}}.$

Intern energi af van der Waals gas

Den potentielle energi af intermolekylære kræfter af vekselvirkning beregnes som det arbejde, disse kræfter udfører, når molekylerne adskilles til det uendelige:

U_{p}=\int \limits _{V}^{\mathcal {\infty ))\left(-{\frac {\nu ^{2}a}{V^{2))}\ højre)\,dV={\frac {\nu ^{2}a}{V}}{\Bigr |}_{V}^{\mathcal {\infty }}=-{\frac {\nu ^{ 2}a}{V}}.

Den indre energi af en van der Waals-gas er summen af dens kinetiske energi (energien fra molekylernes termiske bevægelse) og den potentielle energi, vi lige har beregnet. Så for et mol gas:

U=C_{V}T-{\frac {\nu ^{2}a}{V)),

hvor er den molære varmekapacitet ved konstant volumen, som antages at være uafhængig af temperatur. $C_V$

Kritiske parametre

De kritiske parametre for en gas er værdierne af dens makroparametre (tryk, volumen og temperatur) på det kritiske punkt , det vil sige i en tilstand, hvor de flydende og gasformige faser af et stof ikke kan skelnes. Vi finder disse parametre for van der Waals-gassen, for hvilken vi transformerer tilstandsligningen:

\left(p+{\frac {a}{V^{2}}}\right)(Vb)=RT,

\left(V^{2}+{\frac {a}{p}}\right)(Vb)={\frac {V^{2}RT}{p)).

Vi har fået en tredjegradsligning for $V$

V^{3}-\left({\frac {RT}{p}}+b\right)V^{2}+{\frac {a}{p}}V-{\frac {ab }{p}}=0.

På det kritiske punkt smelter alle tre rødder af ligningen sammen til én, så den foregående ligning svarer til følgende:

\left(V-V_{crit}\right)^{3}=0,

V^{3}-3V_{crit}V^{2}+3{V_{crit}}^{2}V-{V_{crit}}^{3}=0.

Ved at sidestille koefficienterne ved de tilsvarende potenser får vi lighederne: $V$

{\frac {RT_{crit}}{p_{crit}}}+b=3V_{crit},

{\frac {a}{p_{crit}}}=3{V_{crit}}^{2},

{\frac {ab}{p_{crit}}}={V_{crit}}^{3}.

Ud fra dem beregner vi værdierne af kritiske parametre...

V_{crit}=3b,

p_{crit}={\frac {a}{27b^{2))},

T_{crit}={\frac {8a}{27bR))

…og den kritiske koefficient:

k_{crit}={\frac {RT_{crit}}{p_{crit}V_{crit}}}={\frac {8}{3}}.

Angivne parametre

De givne parametre er defineret som forhold

\varphi ={\frac {V}{V_{crit}}},\qquad \pi ={\frac {p}{p_{crit}}},\qquad \tau ={\frac {T} {T_{crit}}}.

Hvis vi erstatter den reducerede tilstandsligning (for mol) med van der Waals -ligningen. $V=\varphi V_{crit},$ $p=\pi p_{crit},$ $T=\tau T_{crit},$ $\nu=1$

\left(\pi +{\frac {3}({\varphi }^{2}}}\right)\left(\varphi -{\frac {1}{3}}\right)={ \frac {8}{3}}\tau .

Det er værd at bemærke, at hvis stoffer har to identiske reducerede parametre ud af tre, så er de tredje reducerede parametre de samme for dem.

Ulemper ved van der Waals-ligningen [8]

1. For rigtige stoffer

k_{crit}>2{,}67.

2. For rigtige stoffer (snarere, ).

V_{crit}\not =3b

2b

3. Van der Waals-ligningen stemmer ikke overens med eksperimentet i området af tofasetilstande.

Se også

Noter

Kommentarer

↑ I de fleste moderne ordbøger, manualer og encyklopædier er navnet på ligningen angivet i formen " van der Waals ligning " [1] [2] [3] [4] [5] . Samtidig kaldes ligningen i Great Russian Encyclopedia for " van der Waals-ligningen " [6] .

Kilder

↑ Russisk staveordbog: omkring 200.000 ord / Russian Academy of Sciences . Institut for det russiske sprog. V. V. Vinogradova / Under. udg. V.V. Lopatina , O.E. Ivanova. - 4. udg., Rev. og yderligere - M . : AST-Press Book , 2013. - S. 68. - 896 s. - (Grundlæggende ordbøger for det russiske sprog). - ISBN 978-5-462-01272-3 .
↑ Milchin A. E. , Cheltsova L. K. Artikler, præpositioner, partikler van, yes, das, de, del, der, di, dos, du, la, le, baggrund osv. i vesteuropæiske efternavne og fornavne // Directory of the publisher og forfatter. Redaktionelt og udgivelsesdesign af publikationen. — 2. udg., rettet. og yderligere .. - M . : Olma-Press , 2003. - 800 s. - 3000 eksemplarer. — ISBN 5-224-04565-7 .
↑ Lubitov Yu. N. Van der Waals ligning // Physical Encyclopedia / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M .: Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1. - S. 240. - 704 s. — 100.000 eksemplarer.
↑ Anisimov M.A. Van der Waals ligning // Chemical Encyclopedia / Ch. udg. I. L. Knunyants . - M . : " Sovjetisk Encyklopædi ", 1988. - T. 1. - S. 352.
↑ Lopatkin A. A. Van der Waals ligning // Great Soviet Encyclopedia / Ch. udg. A. M. Prokhorov. - M . : "Sovjetisk Encyklopædi", 1971. - T. 4.
↑ Bashkirov A. G. Van der Waals ligning // Great Russian Encyclopedia / Ch. udg. Yu. S. Osipov . - M. , 2006. - T. 4. - S. 579. - 750 s. — 65.000 eksemplarer. — ISBN 5-85270-333-8 .
↑ Matveev, 1981 .
↑ Matveev, 1981 , s. 245.

Litteratur

Sivukhin DV Almen kursus i fysik. - M . : Nauka , 1975. - T. II. Termodynamik og molekylær fysik. — 519 s.
Matveev A. N. Molekylær fysik. - M . : Højere skole, 1981. - S. 237-253. - 400 sek.
Atkins, PW og De Paula, J. Physical Chemistry. - WH Freeman, 2010. - Vol. 1. - ISBN 9780199593361 .
Ivanov V.K. Kursus i generel fysik. Molekylær fysik (utilgængeligt link) . Dato for adgang: 6. november 2012. Arkiveret fra originalen 24. januar 2010. (ubestemt) (4.1. Interaktion mellem gasmolekyler. Van der Waals ligning)

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Brockhaus og Efron jorden rundt Britannica (online)

Tilstandsligning
Ligninger	ideel gas Van der Waals Berthelot Diterichi Beatty - Bridgman Redlich - Kwong Peng-Robinson Barner-Adler Sugi - Liu Benedikt - Webb - Rubina Lee - Erbar - Edmister Mi-Gruneisen
Afsnit af termodynamik	Termodynamikkens principper Tilstandsligning Termodynamiske størrelser Termodynamiske potentialer Termodynamiske cyklusser Faseovergange