Nagel point

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. december 2021; checks kræver 4 redigeringer .

Nagel point
N er Nagel-punktet i trekant ABC
barycentriske koordinater	$-a+b+c:a-b+c:a+bc$
Trilineære koordinater	${\frac {-a+b+c}{a)):{\frac {a-b+c}{b)):{\frac {a+bc}{c))$
ECT kode	X(8)
Forbundne prikker
isotomisk konjugeret	Gergon punkt
Yderligere	indskrevet cirkelcenter
Mediefiler på Wikimedia Commons

Nagel -punkt - skæringspunktet for segmenterne, der forbinder trekantens toppunkter med kontaktpunkterne på modsatte sider med de tilsvarende excirkler .

Normalt betegnet . $N$

Egenskaber

Nagel-punktet ligger på den samme lige linje med incenter og tyngdepunkt , mens tyngdepunktet deler segmentet mellem Nagel-punktet og incenteret i forholdet 2: 1. Denne linje kaldes Nagel-linjen (se figur).
Hvis punkterne , , er sådan, at hver af segmenterne , og deler omkredsen af trekanten i halvdelen, så disse segmenter skærer hinanden på et punkt - Nagel-punktet . $T_{A}\in BC$ $T_{B}\i CA$ $T_{C}\in AB$ $AT_{A}$ $BT_{B}$ $CT_{C}$
Nagel-punktet er isotomisk konjugeret med Gergonne-punktet .
Nagel -punktet er isogonalt konjugeret til midten af den positive homoteti af incircle og circumcircle ( Verrier-punkt ).
Afstanden mellem ortocentret og Nagel-punktet er lig med diameteren af Furman-cirklen og er lig med $H$ $N$

NH=2R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{ 2}c-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}

Halvdelen af denne afstand er lig med afstanden mellem midten af den omskrevne cirkel og indersiden [1] .
Cevian af Nagel-punktet omtales nogle gange i engelsk litteratur som en splitter eller perimeter bisector . De refererer også til splittertrekantens udligger .
Midten af en given trekant er Nagel-punktet i trekanten dannet af dens 3 medianer ( trekant midtpunkt ). [2] [3]
Et svagt punkt i en trekant er et, der kan finde en tvilling ved sin ortogonale konjugation uden for trekanten. For eksempel er incenter , Nagel-punkt og andre svage punkter , fordi de tillader at opnå lignende punkter, når de er parret uden for trekanten. [4] .

Nagels trekant

* Nagel-trekanten (se figuren ovenfor) for en trekant er defineret af hjørnerne , og , som er kontaktpunkterne for trekantens cirkler og punktet modsat siden osv. $ABC$ $T_{A}$ $T_{B}$ $T_{C}$ $ABC$ $T_{A}$ $EN$

Egenskaber

Den omskrevne cirkel omkring trekanten kaldes Mandart-cirklen (et specialtilfælde af Mandart-ellipsen ). $T_{A}T_{B}T_{C}$
Tre linjer , og del omkredsen i to og skær hinanden ved et Nagel-punkt - X(8) . $AT_{A}$ $BT_{B}$ $CT_{C}$ $N$
Vinkler genoprettet ved tre spidser af Nagel-trekanten til siderne af hovedtrekanten (det vil sige i kontaktpunkterne for excirklerne med siderne af hovedtrekanten) skærer hinanden i et punkt. Dette punkt er symmetrisk med midten af den indskrevne cirkel i forhold til midten af den omskrevne cirkel [5] .
Animation af konstruktionen af Nagel-punktet er vist i fig.

Bemærk

Nagel-punktet er et svagt punkt. Derfor skal vi ikke tale om én, men om flere Nagel-punkter. Det vil sige, at forbinde andre berøringspunkter af excirklerne med trekantens spidser giver tre Nagel-punkter mere.

Historie

Opkaldt efter Christian Heinrich von Nagel , som først beskrev det i en artikel fra 1836 .

Se også

Noter

↑ Weisstein, Eric W. Fuhrmann Circle på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Honsberger, R. . Episoder i det nittende og tyvende århundredes euklidiske geometri. Washington, DC: Matematik. Assoc. amer. 1995. S. 51, punkt (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
↑ Johnson, RA Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, s. 247, 1929.
↑ Myakishev A. Gå i cirkler: fra Euler til Taylor // Matematik. Alt for læreren! nr. 6 (6). Juni. 2011. s. 11, højre kolonne, 2. afsnit fra toppen// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf
↑ Myakishev A. G. Elementer i en trekants geometri. — M. : MTsNMO, 2002. — S. 11, s. 5. — (Bibliotek "Matematisk uddannelse").

Nagel point

Egenskaber

Nagels trekant

Egenskaber

Bemærk

Historie

Se også

Noter

Links