Fermats retvinklede trekantsætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 27. oktober 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Fermats retvinklede trekantsætning er et ikke-eksistensbevis i talteori , det eneste fuldstændige bevis efterladt af Pierre Fermat [1] . Sætningen har flere ækvivalente formuleringer:

Hvis tre kvadrattal danner en aritmetisk progression , kan progressionstrinnet ikke være et kvadrat.
Der er ikke to pythagoræiske tripler , hvor to ben af den ene tripel er benet og hypotenusen af den anden tripel.
En retvinklet trekant , hvor længderne af alle tre sider er et rationelt tal , kan ikke have et areal svarende til kvadratet af et rationelt tal. Området defineret på denne måde kaldes et kongruent tal , så intet kongruent tal kan være et kvadrat.
En retvinklet trekant og en firkant med samme areal kan ikke have kommensurerbare sider (værdier er sammenlignelige, hvis kvotienten af disse størrelser er et rationelt tal).
De eneste rationelle punkter på en elliptisk kurve er de tre trivielle punkter (0,0), (1,0) og (−1,0). $y^{2}=x(x-1)(x+1)$
Den diofantiske ligning har ingen hele løsninger. $x^{4}-y^{4}=z^{2}$

En umiddelbar konsekvens af den sidste af disse udsagn er gyldigheden af Fermats sidste sætning for eksponenten . $n=4$

Ordlyd

Kvadrater af aritmetiske progressioner

I 1225 blev den italienske matematiker Fibonacci bedt om at finde en måde at konstruere tripler af kvadrater , der er i samme afstand fra hinanden, og danner en aritmetisk progression [2] . En måde at beskrive Fibonacci-løsningen på er at repræsentere disse tal som forskellen mellem benene, hypotenusen og summen af benene i den pythagoreiske tripel , og så vil progressionstrinnet være lig med det firdobbelte areal af denne trekant [3 ] . I et senere arbejde om dette problem, offentliggjort i Book of Squares , bemærkede Fibonacci, at trinnet i en aritmetisk progression af kvadrater ikke i sig selv kan være et kvadrat, men gav ikke et tilfredsstillende bevis for dette faktum [4] [5 ] .

Hvis tre kvadrater , og dannede en aritmetisk progression, hvor trinnet også er et kvadrat , så ville disse tal opfylde de diofantiske ligninger $a^2$ $b^{2}$ $c^{2}$ $d^{2}$

a^{2}+d^{2}=b^{2}

og .

b^{2}+d^{2}=c^{2}

I dette tilfælde ville de ved Pythagoras sætning danne to retvinklede trekanter med heltalsider, hvor parret ville være benet og hypotenusen i den mindre trekant, og det samme par ville være benene i den større trekant. Men hvis der (som Fibonacci viste) ikke er et kvadrattrin i den aritmetiske rækkefølge af kvadrater, så kan der ikke være to retvinklede trekanter med heltalssider, hvis to sammenfaldende sider er forbundet på denne måde [6] . $(d,b)$

Arealer af retvinklede trekanter

Da trinnet i en progression af kvadrater er lig med fire arealer af en pythagoras trekant, og multiplikation med fire ikke ændrer på, om et tal er et kvadrat, er eksistensen af et kvadrattrin i en aritmetisk række af kvadrater ækvivalent med eksistensen af en pythagoras trekant med et areal lig med kvadratet af et heltal. Dette er den variant, som Fermat overvejede i sit bevis, og hvor han viste, at sådanne trekanter ikke eksisterer [1] . Det var ikke Fibonacci, der fik Fermat til denne opgave, men at læse Diophantus ' bog , udgivet af Claude Gaspard Bachet [1] . Denne bog beskriver forskellige specielle retvinklede trekanter , hvis areal er relateret til kvadrater, men ikke formodes at være kvadrater [7] .

Ved at transformere ligningerne for de to Pythagoras trekanter ovenfor og derefter gange dem, kan vi få den diofantiske ligning

b^{4}-d^{4}=(b^{2}-d^{2})(b^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}

som kan forenkles til

b^{4}-d^{4}=e^{2}.

Omvendt kan enhver løsning til denne ligning udvides på en sådan måde, at vi får kvadrattrinnet i den aritmetiske sekvens af kvadrater. Opløseligheden af denne ligning svarer således til eksistensen af et kvadrattrin i en aritmetisk sekvens af kvadrater. Men hvis Fermats sidste sætning ikke var sand for eksponenten , så ville ethvert modeksempel være netop de tre kvadrater, der opfylder ligningen. Af Fermats bevis for, at der ikke findes en pythagoras trekant med et areal lig kvadratet af et heltal, følger det således, at ligningen ikke har nogen løsninger, og derfor (for dette tilfælde) er Fermats sidste sætning sand [7] . $n=4$

En anden formulering af det samme problem bruger kongruente tal , tal, der er arealer af retvinklede trekanter med rationelle sider. Ved at gange begge sider med en fællesnævner kan ethvert kongruent tal konverteres til arealet af en pythagoras trekant, hvilket indebærer, at kongruente tal er nøjagtigt de tal, der opnås ved at gange trinnet i en aritmetisk sekvens af kvadrater med kvadratet af en rationelt tal. Der er således ikke noget kvadrattrin i den aritmetiske rækkefølge af kvadrater, hvis og kun hvis tallet 1 ikke er kongruent [8] [9] . Ækvivalent formulering: det er umuligt, at en firkant ( geometrisk figur ) og en retvinklet trekant har samme areal, og alle sider er parvis kommensurerbare (værdier er sammenlignelige, hvis kvotienten af disse størrelser er et rationelt tal) [5] .

Elliptisk kurve

En anden tilsvarende formulering af Fermats sætning bruger en elliptisk kurve bestående af punkter, hvis kartesiske koordinater opfylder ligningen $(x,y)$

y^{2}=x(x+1)(x-1).

Denne ligning har indlysende løsninger (0,0), (1,0) og (−1,0). Fermats sætning svarer til udsagnet om, at kun disse punkter på kurven har begge rationelle koordinater [9] [10] .

Fermats bevis

I løbet af sin levetid foreslog Fermat nogle andre matematikere, at en pythagoras trekant med et areal, der er en firkant, ikke eksisterer, men han offentliggjorde ikke beviset selv. Imidlertid skrev han beviset ned i margenen af Diophantus' Aritmetik , udgivet af Claude Bachet , som hurtigt blev opdaget og udgivet posthumt af hans søn [1] [5] .

Fermats bevis bruger den uendelige nedstigningsmetode . Han viste, at fra enhver forekomst af en Pythagoras trekant med et kvadratisk areal, kan man opnå den samme forekomst med et mindre område. Da pythagoræiske trekanter har et positivt heltalsareal, og der ikke er nogen uendelig faldende sekvens af positive heltal, kan der ikke være pythagorastrekanter med et areal, der er kvadratet af et heltal [1] [5] .

Antag, at , og er heltal sider af en retvinklet trekant med arealet er kvadratet af et heltal. Efter at have divideret med fælles faktorer kan vi betragte trekanten som simpel [5] , og ud fra de kendte formler for simple Pythagoras trekanter kan vi antage , og , som et resultat af hvilket problemet bliver til at finde coprime heltal og (hvoraf den ene er endda), sådan der er en firkant. De fire lineære faktorer , , og er coprime, og skal derfor selv være kvadrater. Lad og . Det er vigtigt at bemærke, at og , og skal være ulige, da kun et af tallene er enten lige, og det andet er ulige. Således, og , og er lige, og en af dem er delelig med 4. Fra disse to tal får Fermat to andre tal, og , hvoraf det ene er lige. Da det er en firkant og er benene i en anden simpel pythagoras trekant, er arealet af det lig med . Da det i sig selv er et kvadrat, og da det er jævnt, er det et kvadrat. Enhver pythagoras trekant med areal lig med kvadratet af et heltal fører således til en mindre pythagoras trekant med kvadratisk areal, hvilket fuldender beviset [1] [7] [5] . $x$ $y$ $z$ $x=2pq$ $y=p^{2}-q^{2}$ $z=p^{2}+q^{2}$ $s$ $q$ $pq(p^{2}-q^{2})$ $s$ $q$ $p+q$ $pq$ $p+q=r^{2}$ $pq=s^{2}$ $r$ $s$ $s$ $q$ $(rs)$ $(r+s)$ $u=(rs)/2$ $v=(r+s)/2$ $u^{2}+v^{2}=p$ $u$ $v$ $(uv)/2=q/4$ $q$ $UV$ $q/4$