Kotelnikovs teorem

Kotelnikovs teorem (i engelsk litteratur - Nyquist -  Shannon- sætningen , sampling -sætning ) - et grundlæggende udsagn inden for digital signalbehandling , der forbinder kontinuerlige og diskrete signaler og siger, at "enhver funktion bestående af frekvenser fra 0 til , kan være kontinuerligt transmitteret med enhver nøjagtighed med tal, der følger hinanden på mindre end sekunder » [1] .

Ved at bevise sætningen tog vi restriktioner på frekvensspektret , hvor [2] .

Forklaring

Denne fortolkning betragter det ideelle tilfælde, når signalet startede uendeligt længe siden og aldrig slutter, og heller ikke har brudpunkter i tidskarakteristikken . Hvis et signal har diskontinuiteter af nogen art som funktion af dets tid, så forsvinder dets spektrale kraft ingen steder. Det er præcis, hvad begrebet "et spektrum afgrænset ovenfra af en endelig frekvens " betyder.

Naturligvis har rigtige signaler (for eksempel lyd på et digitalt medie) ikke sådanne egenskaber, da de er begrænsede i tid og normalt har diskontinuiteter i den tidsmæssige karakteristik. Derfor er bredden af ​​deres spektrum uendelig. I dette tilfælde er den fuldstændige genoprettelse af signalet umulig, og følgende følger af Kotelnikov-sætningen [3] [4] :

• ethvert analogt signal kan gendannes med enhver nøjagtighed fra dets diskrete prøver, taget med en frekvens , hvor  er den maksimale frekvens, som er begrænset af spektret af det reelle signal;
• hvis den maksimale frekvens i signalet er lig med eller større end halvdelen af ​​samplingsfrekvensen ( aliasing ), så er der ingen måde at gendanne signalet fra diskret til analogt uden forvrængning [5] .

Mere generelt siger Kotelnikovs teorem, at et kontinuerligt signal kan repræsenteres som en interpolationsrække:

hvor  er sinc-funktionen . Prøvetagningsintervallet opfylder begrænsningerne . De øjeblikkelige værdier af denne serie er diskrete samples af signalet .

Historie

Selvom teoremet i vestlig litteratur ofte kaldes Nyquist-sætningen med henvisning til værket " Certain topics in telegraph transmission theory " 1928 , taler vi i dette værk kun om den nødvendige båndbredde af en kommunikationslinje til at transmittere et pulserende signal (gentagelsen). hastigheden skal være mindre end det dobbelte af båndbredden). I forbindelse med prøvetagningssætningen er det således rimeligt kun at tale om Nyquist-frekvensen. Omtrent på samme tid fik Karl Küpfmüller samme resultat [6] . Muligheden for en fuldstændig rekonstruktion af det originale signal fra diskrete aflæsninger er ikke diskuteret i disse værker. Sætningen blev foreslået og bevist af Vladimir Kotelnikov i 1933 i hans arbejde "Om transmissionskapaciteten af ​​æteren og ledningen i telekommunikation", hvor især en af ​​teoremerne blev formuleret som følger [7] [8] : " Enhver funktion bestående af frekvenser fra 0 til , kan transmitteres kontinuerligt med enhver præcision ved hjælp af tal, der følger efter hinanden i sekunder » . Uafhængigt af ham blev denne teorem bevist i 1949 (16 år senere) af Claude Shannon [9] , hvorfor denne teorem i vestlig litteratur ofte kaldes Shannons teorem. I 1999 anerkendte Eduard Rein International Science Foundation (Tyskland) Kotelnikovs prioritet ved at tildele ham en pris i nomineringen "for grundforskning" for den første matematisk præcist formulerede og beviste i kommunikationsteknologiernes aspekt af sampling-sætningen [10] . Historisk forskning viser imidlertid, at prøvetagningssætningen, både med hensyn til at hævde muligheden for at rekonstruere et analogt signal fra diskrete aflæsninger, og med hensyn til metoden til rekonstruktion, blev betragtet i matematiske termer af mange videnskabsmænd tidligere. Især den første del blev formuleret tilbage i 1897 af Borel [11] .

Variationer og generaliseringer

Efterfølgende blev der foreslået en lang række forskellige metoder til at approksimere signaler med et begrænset spektrum, ved at generalisere prøvetagningssætningen [12] [13] . Så i stedet for en kardinalserie i sinc-funktioner , som er forskudte kopier af impulsresponsen af ​​et ideelt lavpasfilter, kan du bruge serier i endelige eller uendelige foldninger af sinc-funktioner . For eksempel er følgende generalisering af Kotelnikov-serien af ​​en kontinuert funktion med et endeligt spektrum gyldig baseret på Fourier-transformationer af atomfunktioner [14] :

hvor parametrene og opfylder uligheden og diskretiseringsintervallet:

Se også

• Whittaker-Shannon interpolationsformel
• Nyquist frekvens
• Digital hovedkanal
• Nul orden ekstrapolator
• Første ordens ekstrapolator
• Kvantisering (signalbehandling)
• Gensampling
• Sampling-sætningen i frekvensdomænet

Noter

1. ↑ Bikkenin, Chesnokov, 2010 .
2. ↑ Kotelnikov V. A. Om gennemstrømningen af ​​ether og tråd i telekommunikation - All-Union Energy Committee. // Materialer til 1. All-Union Congress om teknisk rekonstruktion af kommunikation og udvikling af lavspændingsindustrien, 1933. Genoptryk af artiklen i UFN, 176:7 (2006), 762-770.
3. ↑ John C. Bellamy. Digital telefoni. - Radio og kommunikation, 1986.
4. ↑ Gitlits M. V., Lev A. Yu. Teoretisk grundlag for multikanalkommunikation. - M .: Radio og kommunikation, 1985.
5. ↑ Ziatdinov S. I. / Rekonstruktion af signaler fra hans prøver baseret på prøvetagningssætningen fra Kotelnikovs arkivkopi af 25. februar 2015 på Wayback Machine . — Instrumentering (nr. 5, 2010). — UDC 621.396:681.323.
6. ↑ K. Küpfmüller. Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler. Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, nr. 11, s. 459-467, 1928. (tysk); K. Küpfmüller, On the dynamics of automatic gain controllers, Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, nr. 11, s. 459-467. (Engelsk oversættelse).
7. ↑ Kotelnikov V. A. Om gennemstrømningen af ​​"ether" og tråd i telekommunikation  // Uspekhi fizicheskikh nauk : Journal. - 2006. - Nr. 7 . - S. 762-770 . Arkiveret fra originalen den 23. juni 2013.
8. ↑ Kharkevich A. A. Spectra og analyse - 4. udg. - Moskva: URSS: LKI, 2007. - S. 89.
9. ↑ C.E. Shannon. Kommunikation i nærvær af støj. Proc. Institut for Radioingeniører. Vol. 37. Nej. 1. S. 10-21. Jan. 1949.
10. ↑ På 100-årsdagen for akademikeren Vladimir Alexandrovich Kotelnikovs fødsel Arkiveret kopi dateret 23. juni 2013 på Wayback Machine .
11. ↑ Erik Meijering. En kronologi af interpolation fra gammel astronomi til moderne signal- og billedbehandling, Proc. IEEE, 90, 2002. doi : 10.1109/5.993400 .
12. ↑ Jerry A. J. Shannons prøveudtagningssætning, dens forskellige generaliseringer og anvendelser. Anmeldelse. - TIIER, bind 65, nr. 11, 1977, s. 53-89.
13. ↑ Khurgin Ya. I., Yakovlev V. P. Fremskridt i Sovjetunionen inden for teorien om endelige funktioner og dens anvendelser inden for fysik og teknologi. - TIIER, 1977, v. 65, nr. 7, s. 16-45.
14. ↑ Basarab M. A., Zelkin E. G., Kravchenko V. F., Yakovlev V. P. Digital signalbehandling baseret på Whittaker-Kotelnikov-Shannon-sætningen. - M .: Radioteknik, 2004.

Litteratur

• H. Nyquist . Visse emner inden for telegraftransmissionsteori. Trans. AIEE, bind. 47, s. 617-644, apr. 1928.
• Kotelnikov V. A. Om kapaciteten af ​​ether og tråd i telekommunikation - All-Union Energy Committee. // Materialer til 1. All-Union Congress om teknisk rekonstruktion af kommunikation og udvikling af lavspændingsindustrien, 1933. Genoptryk af artiklen i UFN, 176:7 (2006), 762-770.
• Bikkenin R. R., Chesnokov M. N. Teori om elektrisk kommunikation. - M . : Publishing Center "Academy", 2010. - 329 s. - ISBN 978-5-7695-6510-6 .

Links

• Kotelnikovs teorem på dsplib.org
• Sampling af analoge signaler En interaktiv præsentation af tidssampling. Institut for Telekommunikation, Stuttgart Universitet