Teori om automatisk kontrol

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 22. oktober 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Teorien om automatisk kontrol ( TAU ) er en videnskabelig disciplin , der studerer processerne for automatisk kontrol af objekter af forskellig fysisk karakter. Samtidig afsløres egenskaberne ved automatiske kontrolsystemer ved hjælp af matematiske midler, og anbefalinger til deres design udvikles.

Det er en integreret del af teknisk kybernetik og er beregnet til at udvikle generelle principper for automatisk kontrol, såvel som metoder til analyse (forskning af funktion) og syntese (valg af parametre) af automatiske kontrolsystemer (ACS) til tekniske objekter.

For denne teori er det kun karakteren [1] af signaltransformationer af kontrolobjekter, der har betydning.

Historie

For første gang dukkede oplysninger om automater op i begyndelsen af vores æra i værkerne af Heron of Alexandria " Pneumatics " og " Mechanics ", som beskriver automater skabt af Heron selv og hans lærer Ctesibius : en pneumatisk automat til at åbne dørene til et tempel, et vandregel, en automat til at sælge helligt vand osv. Herons ideer var langt forud for deres tid og fandt ikke anvendelse i hans tid.

I middelalderen modtog efterligning af "android"-mekanik betydelig udvikling, da mekaniske designere skabte en række automater, der efterlignede individuelle menneskelige handlinger, og for at forstærke indtrykket gav opfinderne automaterne en ekstern lighed med en person og kaldte dem " androider ", det vil sige menneskelignende. I øjeblikket kaldes sådanne enheder robotter , i modsætning til de automatiske kontrolenheder, der er meget udbredt inden for alle områder af menneskelig aktivitet, som kaldes automater.

I det 13. århundrede byggede den tyske skolastiske filosof og alkymist Albert von Bolstadt en robot til at åbne og lukke døre.

Meget interessante androider blev skabt i XVII-XVIII århundreder. I det 18. århundrede skabte de schweiziske urmagere Pierre Droz og hans søn Henri en mekanisk skriver, en mekanisk kunstner m.fl. Et smukt automatteater blev skabt i det 18. århundrede. Russisk autodidakt mekaniker Kulibin . Hans teater, holdt i Eremitagen , er anbragt i et "æggefigurur".

I sin vorden er mange bestemmelser i teorien om automatisk kontrol indeholdt i den generelle teori om (lineære) regulatorer, som hovedsageligt blev udviklet i 1868-1876 i værker af Maxwell og Vyshnegradsky . De grundlæggende værker af Vyshnegradsky er: "Om den generelle teori om regulatorer", "Om regulatorer af indirekte handling". I disse værker kan man finde oprindelsen til moderne ingeniørmetoder til at studere stabiliteten og kvaliteten af regulering.

Værkerne af den fremragende sovjetiske matematiker Andrei Markov (junior) , grundlæggeren af den sovjetiske konstruktivistiske matematikskole, forfatteren til værker om teorien om algoritmer og matematisk logik , spillede en afgørende indflydelse på udviklingen af den indenlandske metodologi til at studere teori om automatisk kontrol . Disse undersøgelser har fundet anvendelse i akademiker Lebedevs videnskabelige og praktiske aktiviteter om militære emner - automatisk kontrol af torpedoer og styring af kanoner og stabiliteten af store energisystemer .

I begyndelsen af det 20. århundrede og i dets første årti bliver teorien om automatisk kontrol dannet som en generel videnskabelig disciplin med en række anvendte sektioner.

Grundlæggende begreber

Automation er en gren af videnskab og teknologi, der dækker teori og praksis for automatisk styring, såvel som principperne for opbygning af automatiske systemer og de tekniske midler, der danner dem.

Et kontrolobjekt (OC) er en enhed, en fysisk proces eller et sæt af processer, der skal styres for at opnå det ønskede resultat. Interaktion med OS sker ved at anvende en kontrolhandling til dets betingede input (som korrigerer de processer, der forekommer i OS), mens outputtet er en ændret parameter (som er en proces-konsekvens).

Styring er et påvirkning (signal), der påføres kontrolobjektets input og sikrer et sådant flow af processer i kontrolobjektet, der sikrer opnåelsen af det specificerede kontrolmål ved dets output.

Målet er det ønskede flow af processer i kontrolobjektet og opnåelse af den ønskede ændring i parameteren ved dets output.

Objekter:

lykkedes
ustyret

Det automatiske styresystem (ACS) omfatter et kontrolobjekt og en kontrolenhed.

Kontrolenhed (CU) er et sæt enheder, der styrer indgangene til kontrolobjektet.

Regulering er et særligt tilfælde af kontrol, hvis formål er at fastholde en eller flere udgange af kontrolobjektet på et givet niveau.

Regulator - konverterer kontrolfejlen ε(t) til en kontrolhandling, der ankommer til kontrolobjektet.

Indstillingshandlingen g(t) bestemmer den nødvendige regulering af udgangsværdien.

Reguleringsfejl ε(t) = g(t) - y(t), forskellen mellem den påkrævede værdi af den kontrollerede variabel og dens aktuelle værdi. Hvis ε(t) er ikke-nul, så føres dette signal til controllerens input, som genererer en sådan kontrolhandling, at ε(t) = 0 over tid.

Forstyrrende handling f(t) er en proces ved input af kontrolobjektet, som er en hindring for kontrol.

Automatiske styresystemer:

Åben:

program kontrolsystem. CU'en udsender en kontrolhandling uden at modtage information om systemets tilstand på basis af eventuelle tegn, et tidsprogram (enkelhed og øget pålidelighed, lav kontrolkvalitet);
SU på indignation. CU'en genererer en kontrolhandling baseret på information om størrelsen af den forstyrrende effekt på systemet.

Lukket: CU genererer en kontrolhandling baseret på den målte information om objektets tilstand for den valgte parameter.
Kombineret system: CU genererer en kontrolhandling baseret på information om objektets parametre og på baggrund af informationen om den forstyrrende handling.

Funktionelle diagrammer

Funktionelt diagram af et element - et diagram over et automatisk regulerings- og kontrolsystem, kompileret i henhold til den funktion, som dette element udfører.

Udgangssignaler er parametre, der karakteriserer kontrolobjektets tilstand og er væsentlige for kontrolprocessen.

Systemoutput er punkter i systemet, hvor udgangssignaler kan observeres i form af bestemte fysiske størrelser.

Systeminput er punkter i systemet, hvor ydre påvirkninger anvendes.

Indgangssignaler:

interferens - signaler, der ikke er forbundet med informationskilder om ledelsens opgaver og resultater.
nyttige - signaler forbundet med informationskilder om ledelsens opgaver og resultater.

Systemer:

endimensionelle - systemer med én indgang og én udgang.
multidimensional - systemer med flere input og output.

ACS kontrolprincipper

Feedback er en forbindelse, hvor den reelle værdi af udgangsvariablen, såvel som den indstillede værdi af den styrede variabel, føres til regulatorindgangen .

hårdt - sådan et OS, hvor controllerens input modtager et signal, der er proportionalt med objektets outputsignal til enhver tid.
fleksibel - sådan et OS, hvor controllerens input ikke kun modtager et signal, der er proportionalt med objektets udgangssignal, men også et signal, der er proportionalt med udgangsvariablens afledte.

Styring efter princippet om afvigelse af den kontrollerede variabel - feedbacken danner en lukket sløjfe. Det kontrollerede objekt udsættes for en handling, der er proportional med summen (forskellen) mellem outputvariablen og den indstillede værdi, således at denne sum (forskellen) falder.

Styring efter princippet om kompensation af forstyrrelser - et signal, der er proportionalt med den forstyrrende effekt, kommer ind i controllerens input. Der er ingen sammenhæng mellem kontrolhandlingen og resultatet af denne handling på objektet.

Styring baseret på princippet om kombineret regulering - der anvendes både forstyrrelses- og afvigelseskontrol, hvilket sikrer den højeste reguleringsnøjagtighed.

Princippet om afvigelse af den kontrollerede variabel i TAU
Forstyrrelseserstatningsprincip i TAU
Princippet om kombineret regulering i TAU

Klassificering af ACS

I henhold til kontrollens art:

kontrolsystemer
kontrolsystemer

Af handlingens art:

kontinuerlige systemer
diskrete handlingssystemer
relæaktionssystemer

I henhold til graden af brug af information om tilstanden af kontrolobjektet:

OS kontrol
kontrol uden OS

I henhold til graden af brug af information om kontrolobjektets parametre og struktur:

fleksibel
utilpasset
Søg
søgeløs
med identifikation
med variabel struktur

Ifølge graden af koordinattransformation i ACS:

deterministisk
stokastisk (med tilfældige påvirkninger)

Ved form af den matematiske model for koordinattransformation:

lineær
ikke-lineær (relæ, logisk osv.)

Efter type kontrolhandlinger:

analog
diskret (intermitterende, puls, digital)

I henhold til graden af menneskelig deltagelse:

brugervejledning
automatisk
automatiseret (mand i kontrol)

Ifølge loven om ændring af outputvariablen:

stabiliserende : den foreskrevne værdi af outputvariablen er uændret.
program : outputvariablen ændres i henhold til et bestemt, forudbestemt program.
sporing : den foreskrevne værdi af outputvariablen afhænger af værdien af variablen ukendt på forhånd ved indgangen til det automatiske system.

Ved antallet af kontrollerede og regulerede variable:

endimensionel : hvis objektet kun har én manipuleret værdi;
multidimensional: hvis objektet har et relativt stort antal kontrollerede variable og det tilsvarende antal kontrolhandlinger.

I henhold til graden af selvjustering, tilpasning, optimering og intelligens:

ekstrem
selvjustering
intellektuelle

I henhold til virkningen af det følsomme (måle-) element på tilsynsorganet:

direkte kontrolsystemer
indirekte kontrolsystemer

Intelligente selvkørende kanoner

ISAS er systemer, der tillader træning, tilpasning eller tuning ved at huske og analysere information om et objekts adfærd, dets kontrolsystem og eksterne påvirkninger. Et træk ved disse systemer er tilstedeværelsen af en database med en inferensmotor, et forklaringsundersystem osv.

Vidensgrundlag - formaliserede regler i form af logiske formler, tabeller osv. IMS bruges til at håndtere dårligt formaliserede eller komplekse tekniske objekter.

ISU-klassen svarer til funktionerne:

Tilgængelighed af CS-interaktioner med den virkelige omverden ved hjælp af informationskommunikationskanaler.
Systemets åbenhed er nødvendig for at genopbygge og tilegne sig viden.
Tilgængelighed af mekanismer til at forudsige ændringer i miljøet af systemets funktion.
Unøjagtigheden af information om CO kan kompenseres ved at øge intellektualiseringen af kontrolalgoritmen.
Bevarelse af funktion ved et kommunikationsbrud.

Hvis ISU'en opfylder alle 5 kriterier, så er den intelligent i den "store", ellers i den "lille" forstand.

Matematiske modeller af lineær ACS

Deterministisk

$W_{0}(p)={\frac {A(p)}{B(p)))$

$W_{0}(p)={\frac {K_{0}}{T_{0}p}}e^{-p\tau }$

Statistisk

Statistisk er karakteriseret ved et sæt statistiske parametre og fordelingsfunktioner. Til deres undersøgelse anvendes metoder til matematisk statistik .

Adaptiv

Adaptive bruger deterministisk-stokastiske metoder til at beskrive kontrolobjektet.

Typer af påvirkninger. Overgang, vægt, overførselsfunktioner

Identitetstrinfunktionen er en speciel matematisk funktion , hvis værdi er nul for negative argumenter og én for positive argumenter. Det er den naturlige enkleste påvirkning af kontrolobjektet. I matematik er det udtrykt ved Heaviside-identitetsfunktionen .
Enhedsimpulsfunktionen er den afledede af enhedstrinfunktionen. Det karakteriserer en impuls med uendelig stor amplitude, der flyder over en uendelig lille periode. Den geometriske betydning er, at området afgrænset af denne funktion er lig med 1. Det bruges i en række tilfælde, hvor processen med at bestemme de dynamiske egenskaber på den enkleste måde på grund af overskridelsen af outputværdien ved en given værdi er umulig . [2]
Overgangsfunktionen er systemets reaktion på et enkelttrinssignal.
Vægtfunktionen er systemets reaktion på en enkelt impuls.
Overførselsfunktionen er forholdet mellem Laplace-transformationen af udgangssignalet og Laplace-transformationen af inputsignalet under nul begyndelsesbetingelser og nul eksterne forstyrrelser.

Overførselsfunktion for forbindelse af links

Seriel forbindelse

W e (p) \u003d W 1 (p) W 2 (p) ... W n (p) \u003d (p) $\prod _{i=1}^{n}W_{i}$

Parallelforbindelse

W e (p) \u003d W 1 (p) + W 2 (p) + ... + W n (p) \u003d (p) $\sum _{i=1}^{n}W_{i}$

Overførselsfunktion af et lukket system

W OC (p) er en ligning, der beskriver feedbackkredsløbet
W(p) er en ligning, der beskriver linket
G(p) er en ligning, der beskriver inputhandlingen
U OC (p) er en ligning, der beskriver udgangssignalet fra feedbackforbindelsen
ΔU(p) er en ligning, der beskriver summen (forskellen) G(p) og U OC (p)
Y(p) er en ligning, der beskriver systemets udgangssignal

$f(n)=\venstre\{{\begin{matrix}Y(p)=W(p)\Delta U(p)\\U_{OC}(p)=W_{OC}(p)Y(p) )\\\Delta U(p)=G(p)\mp U_{OC}(p)\end{matrix}}\right.$

Ved at løse dette ligningssystem får vi følgende resultater:

$Y(p)=W(p)(G(p)\mp W_{OC}(p)Y(p))$

$Y(p)\pm W(p)W_{OC}(p)Y(p)=W(p)G(p)$

$Y(p)={{W(p)G(p)} \over {1\pm W(p)W_{OC}(p)}}$

$W_{\ni }(p)={Y(p) \over G(p)}={W(p) \over 1\pm W(p)W_{OC}(p)}$

Opnåelse af tilstands-rumoverførselsfunktionen

Systemet i tilstandsrummet er givet som:

$\venstre\{{\begin{matrix}{\dot {x}}(t)=A\cdot x(t)+B\cdot u(t)\\y(t)=C\cdot x(t) +D\cdot u(t)\end{matrix}}\right.$

Systemet har m indgange u(t), l udgange y(t), n tilstande x(t), n>= max(m, l), A,B,C,D er numeriske matricer af den tilsvarende dimension nxn, nxm, lxn..

Lad mig være en nxn identitetsmatrix, så:

pI X(p) - AX(p) = BU(p)

(pI - A)X(p) = BU(p)

x(0) = 0

X(p)=Wxu(p)U(p); Wxu(p) = (pI - A)^{-1)B

Y(p)=Wyu(p)U(p); Wyu(p)=C (pI - A)^{-1) B + D

Linearisering af systemer og links

Lad ACS styres og beskrives med en ikke-lineær ligning

$F(x,{\dot {x}},y,{\dot {y}},{\ddot {y}},...,f,{\dot {f}},{\ddot {f} })=0$

Desuden er ikke-lineariteten ubetydelig, det vil sige, at denne funktion kan udvides i en Taylor-serie i nærheden af et stationært punkt, for eksempel med en ekstern forstyrrelse f = 0 .

Ligningen for dette link i steady state er som følger:

$F(x^{0},0,y^{0},0,0)=0,x_{k}^{0},y_{k}^{0}$ , begyndelsespunkter, derivater er fraværende.

Udvider vi den ikke-lineære funktion i en Taylor-serie, får vi:

$F(x^{0},y^{0})+\venstre({\frac {\partial F}{\partial x))\right)^{0}\Delta x+\left({\frac {\ delvis F}{\partial {\dot {x}}}}\right)^{0}\Delta {\dot {x}}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\ højre)^{0}\Delta y+\left({\frac {\partial F}{\partial {\dot {y))))\right)^{0}\Delta {\dot {y))+\ venstre({\frac {\partial F}{\partial {\ddot {y))))\right)^{0}\Delta {\ddot {y}}+R_{n}=0,R_{n} ,$ - resten

$F(x,y)^{0}+\venstre(-b_{1}\right)\Delta x+\left(-b_{0}\right)\Delta {\dot {x}}+\left(a_ {2}\right)\Delta y+\left(a_{1}\right)\Delta {\dot {y}}+\left(a_{0}\right)\Delta {\ddot {y}}+R_ {n}=0$

$\left\{{\begin{matrix}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{matrix}}\right.\Rightarrow R_{n}\rightarrow 0$

$a_{0}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+a_{1}{\frac {dy}{dt}}+a_{2}y=b_{0}{ \frac {dx}{dt}}+b_{1}x$

Vi skiftede fra ikke-lineær til lineær. Lad os gå videre til operatorligningen:

$(a_{0}p^{2}+a_{1}p+a_{2})y=(b_{0}p+b_{1})x$

$F()\højrepil F(\Delta x,\Delta y)\højrepil LE\højrepil OE$

Styrbarhed, observerbarhed af selvkørende kanoner

ACS'en er kontrollerbar (fuldstændig kontrollerbar), hvis den kan overføres fra enhver begyndelsestilstand x 0 (t) til en anden vilkårlig tilstand x 1 (t) på et vilkårligt tidspunkt ved at anvende en stykkevis kontinuerlig handling U(t)∈[t 0 ;t1 ] .

ACS er observerbar (fuldstændig observerbar), hvis alle tilstandsvariable x(t) kan bestemmes ud fra output (målt) effekt y(t).

Stabilitet af lineære systemer

Stabilitet er ACS' egenskab til at vende tilbage til en given eller tæt på stabil tilstand efter enhver forstyrrelse. Stabil ACS er et system, hvor transiente processer dæmpes.

$(a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n})y=(b_{0}p^{m}+b_{1 }p^{{m-1}}+...+b_{m})g$ er operatorformen for den lineariserede ligning.

y(t) \u003d y sæt (t) + y p \ u003d y ud (t) + y st

y mund (y ud ) er en særlig løsning af den lineariserede ligning.

y p (y st ) er den generelle løsning af den lineariserede ligning som en homogen differentialligning, dvs. $D(p)=(a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n})y=0$

ACS er stabil, hvis de transiente processer y n (t) forårsaget af forstyrrelser vil blive dæmpet over tid , dvs. $y_{n}(t)\højrepil 0$ $t\højrepil {\mathcal {1}}$

Ved at løse differentialligningen i det generelle tilfælde opnår vi komplekse rødder p i , p i+1 = ±α i ± jβ i

Hvert par komplekse konjugerede rødder svarer til følgende komponent i den forbigående ligning:

$c_{i}e^{{(\alpha _{i}+j\beta _{i})t}}+c_{{i+1}}e^{{(\alpha _{i}-j\ beta _{i})t}}=\alpha _{i}(c_{i}e^{{j\beta _{i}t}}+c_{{i+1}}e^{{-j \beta _{i}t)))=Ae^{{\alpha _{i}t}}\sin {(\beta _{i}t+\varphi _{i})}$ , hvor , $A={\sqrt {c_{i}^{2}+c_{{i+1}}^{2}}}$ $\operatørnavn {tg}{\varphi _{i}}={c_{i}+c_{{i+1}} \over c_{i}-c_{{i+1}}}$

Ud fra de opnåede resultater kan det ses, at:

for ∀α i <0 er stabilitetsbetingelsen opfyldt, dvs. den forbigående proces har en tendens til y mund over tid (Lyapunovs sætning 1);
når ∃α i >0, er ustabilitetsbetingelsen opfyldt (Lyapunovs sætning 2), det vil sige , hvilket fører til divergerende svingninger; $Ae^{{\alpha _{i}t}}\sin {(\beta _{i}t+\varphi _{i})}\højrepil {\mathcal {1}}$
for ∃α i =0 og ¬∃α i >0 , hvilket fører til udæmpede sinusformede oscillationer af systemet (et system på stabilitetsgrænsen) (Lyapunovs sætning 3). $Ae^{{\alpha _{i}t}}\sin {(\beta _{i}t+\varphi _{i})}=const$

Kriterier for stabilitet

Ruth-kriterium

For at bestemme stabiliteten af systemet bygges tabeller af formularen:

Odds	Strenge	kolonne 1	kolonne 2	kolonne 3
	en	$C_{{11}}=a_{0}=T_{1}T_{2}T_{3}$	$C_{{12}}=a_{2}=T_{1}+T_{2}+T_{3}$	$C_{{13}}=a_{4}$
	2	$C_{{21}}=a_{1}=T_{1}T_{2}+T_{2}T_{3}+T_{1}+T_{3}$	$C_{{22}}=a_{3}=1+k$	$C_{{23}}=a_{5}$
$r_{3}={\frac {C_{{11}}}{C_{{21}}}}$	3	$C_{{31}}=C_{{12}}-r_{3}C_{{22}}$	$C_{{32}}=C_{{13}}-r_{3}C_{{23}}$	$C_{{33}}=C_{{14}}-r_{3}C_{{24}}$
$r_{4}={\frac {C_{{21}}}{C_{{31}}}}$	fire	$C_{{41}}=C_{{22}}-r_{4}C_{{32}}$	$C_{42}=C_{23}-r_{4}C_{33}$	$C_{{43}}=C_{{24}}-r_{4}C_{{34}}$

For systemets stabilitet er det nødvendigt, at alle elementer i den første kolonne har positive værdier; hvis der er negative elementer i den første kolonne, er systemet ustabilt; hvis mindst et element er lig med nul, og resten er positive, så er systemet på grænsen af stabilitet.

Hurwitz- kriterium

$D(p)=a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n}$

$\Delta _{n}=a_{n}\cdot \Delta _{{n-1}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&...&0\\a_ {0}&a_{2}&a_{4}&...&0\\0&a_{1}&a_{3}&...&0\\...&...&...&...&. ..\\0&...&...&...&a_{n}\end{vmatrix}}$ - Hurwitz determinant

Sætning : for stabiliteten af et lukket ACS er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at Hurwitz-determinanten og alle dens mindreårige er positive ved $a_{0}>0.$

Mikhailovs kriterium

$D(p)=a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n}$

Lad os erstatte , hvor ω er vinkelfrekvensen af svingningerne svarende til den rent imaginære rod af det givne karakteristiske polynomium. $p=j\omega$

$D(j\omega )=X(\omega )+jY(\omega )=A(\omega )e^{{j\psi (\omega )}}$

$X(\omega )=a_{n}-a_{{n-2}}\omega ^{2}+...$

$Y(\omega )=a_{{n-1}}\omega -a_{{n-3}}\omega ^{3}+...$

Kriterium : for stabiliteten af et lineært system af n. orden er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at Mikhailov-kurven, konstrueret i koordinater , passerer sekventielt gennem n kvadranter. $X(\omega),Y(\omega)$

$D(p)=a_{0}(p-p_{1})(p-p_{2})...(p-p_{n})$

$p=j\omega \Rightarrow D(j\omega )=a_{0}(j\omega -p_{1})(j\omega -p_{2})...(j\omega -p_{n} )$

Overvej forholdet mellem Mikhailov-kurven og tegnene på dens rødder (α>0 og β>0)

1) Roden af den karakteristiske ligning er et negativt reelt tal $p_{1}=-\alpha _{1}$

Faktoren svarende til den givne rod $(\alpha _{1}+j\omega )$

$\left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{1}=-\alpha _{1}\end{matrix}}\right.\Rightarrow \psi \ højrepil {\frac {\pi }{2))$

2) Roden af den karakteristiske ligning er et positivt reelt tal $p_{1}=+\alpha _{1}$

Faktoren svarende til den givne rod $(\alpha _{1}-j\omega )$

$\left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{1}=+\alpha _{1}\end{matrix}}\right.\Rightarrow \psi \ højrepil -{\frac {\pi }{2}}$

3) Roden af den karakteristiske ligning er et komplekst talpar med en negativ reel del $p_{{2,3}}=-\alpha _{1}\pm j\beta$

Faktoren svarende til den givne rod $(j\omega +\alpha _{1}-j\beta )(j\omega +\alpha _{1}+j\beta )$

$\left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{2}=-\alpha _{1}+j\beta \\p_{3}=-\alpha _{1}-j\beta \end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}\psi _{2}\rightarrow +{\frac {\pi }{2}}- \gamma \\\psi _{3}\rightarrow +{\frac {\pi }{2}}+\gamma \end{matrix}}\right.\Rightarrow \psi \rightarrow +2{\frac {\pi }{2}}=+\pi$ , hvor $\gamma =\operatørnavn {arctg}{\frac {\beta }{\alpha ))$

4) Roden af den karakteristiske ligning er et komplekst talpar med en positiv reel del $p_{{2,3}}=+\alpha _{1}\pm j\beta$

Faktoren svarende til den givne rod $(j\omega -\alpha _{1}-j\beta )(j\omega -\alpha _{1}+j\beta )$

$\left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{2}=+\alpha _{1}+j\beta \\p_{3}=+\alpha _{1}-j\beta \end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}\psi _{2}\rightarrow -{\frac {\pi }{2}}+ \gamma \\\psi _{3}\rightarrow -{\frac {\pi }{2}}-\gamma \end{matrix}}\right.\Rightarrow \psi \rightarrow -2{\frac {\pi }{2}}=-\pi$ , hvor $\gamma =\operatørnavn {arctg}{\frac {\beta }{\alpha ))$

Nyquist kriterium

Nyquist-kriteriet er et grafanalytisk kriterium. Dets karakteristiske træk er, at konklusionen om stabiliteten eller ustabiliteten af et lukket system er lavet afhængigt af typen af amplitude-fase eller logaritmiske frekvenskarakteristika for et åbent system.

Lad det åbne system være repræsenteret som et polynomium $W(p)={\frac {R(p)}{Q(p)}}={\frac {b_{0}p^{n}+b_{1}p^{n-1} +...+b^{n}}{a_{0}p^{m}+a_{1}p^{m-1}+...+a^{m}}}$

så laver vi en udskiftning og får: $p=j\omega$ $W(j\omega )={\frac {R(j\omega )}{Q(j\omega )}}(*)=X(\omega )+jY(\omega )=A(\omega )e^ {{j\psi (\omega )}}$

For mere bekvem konstruktion af hodografen for n>2 bringer vi ligningen (*) til "standard"-formen: $W(j\omega )={\frac {K(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})[(1-\tau _{3}^{ 2}\omega ^{2})+2j\xi _{3}\tau _{3}\omega ]...}{(j\omega )'[(1-T_{2}^{2}\ omega ^{2})+2j\xi _{2}T_{2}\omega ](-1+j\omega T_{3})...}}$

Med denne repræsentation er modulet A(ω) = | W(jω)| er lig med forholdet mellem modulerne af tæller og nævner, og argumentet (fase) ψ(ω) er forskellen mellem deres argumenter. Til gengæld er modulet af produktet af komplekse tal lig med produktet af modulerne, og argumentet er summen af argumenterne.

Moduler og argumenter svarende til faktorerne i overførselsfunktionen:

Faktor	$A(\omega)$	$\psi (\omega)$
k	k	0
s	ω	${\frac {\pi }{2))$
$p^{2}$	$\omega ^{2}$	$\pi$
$Tp+1$	${\sqrt {1+T^{2}\omega ^{2}}}$	$\operatørnavn {arctg}\omega T$
$Tp-1$	${\sqrt {1+T^{2}\omega ^{2}}}$	$\pi -\operatørnavn {arctg}\omega T$
$1-Tp$	${\sqrt {1+T^{2}\omega ^{2}}}$	$-\operatørnavn {arctg}\omega T$
$T^{2}p^{2}+1$	$\left\|1-T^{2}\omega ^{2}\right\|$	${\begin{matrix}0,&\omega <{\frac {1}{T}}\\\pi ,&\omega >{\frac {1}{T}}\end{matrix}}$
$T^{2}p^{2}+2\xi Tp+1$	${\sqrt {(1-T^{2}\omega ^{2})^{2}+4\xi ^{2}T^{2}\omega ^{2))}$	${\begin{matrix}\operatørnavn {arctg}{\frac {2\xi \omega T}{1-T^{2}\omega ^{2}}},&\omega <{\frac {1}{ T}}\\\pi +\operatørnavn {arctg}{\frac {2\xi \omega T}{1-T^{2}\omega ^{2}}},&\omega \geqslant {\frac { 1}{T}}\end{matrix}}$

Derefter konstruerer vi en hodograf til hjælpefunktionen , som vi vil skifte til $W_{1}(j\omega )=1+W(j\omega )$ $\omega [0;{\mathcal {1)))$

For , men for (fordi n<m og ) $\omega =0,\quad W_{1}(j\omega )=K+1$ $\omega ={\mathcal {1)),\quad W_{1}(j\omega )=1$ $W(j\omega )=0$

For at bestemme den resulterende rotationsvinkel finder vi forskellen mellem argumenterne for tælleren og nævneren $\psi_{1}$ $\psi_{2}$

Polynomiet af hjælpefunktionens tæller har samme grad som polynomiet for dens nævner, hvilket betyder , at den resulterende rotationsvinkel for hjælpefunktionen er 0. Dette betyder, at for stabiliteten af det lukkede system er hodografen af hjælpefunktionsvektoren bør ikke dække henholdsvis oprindelsen og hodografen for funktionen et punkt med koordinater $\psi_{1}=\psi_{2}$ $W(j\omega)$ $(-1;j0)$

Margin af selvkørende kanoner stabilitet

Under driftsforhold kan systemets parametre af den ene eller anden grund ændre sig inden for visse grænser (ældning, temperaturudsving osv.). Disse udsving i parametre kan føre til tab af systemstabilitet, hvis det opererer nær stabilitetsgrænsen. Derfor stræber de efter at designe systemet, så det fungerer langt fra stabilitetsgrænsen. Graden af denne fjernelse kaldes stabilitetsmarginen.

Behovet for en stabilitetsmargin er bestemt af følgende betingelser:

Afvisning af ikke-lineære termer under linearisering.
Koefficienterne inkluderet i ligningen, der beskriver ACS, er bestemt med en fejl.
Forskningsstabilitet for typiske systemer under typiske forhold.

Kriterier

Rutkriterium: For at modellere en stabilitetsmargin er det nødvendigt, at elementerne i den første kolonne er større end en fast værdi ε>0, kaldet stabilitetsmarginfaktoren.
Hurwitz- kriterium : stabilitetsmarginen bestemmes på samme måde som Routh-stabilitetsmarginen, kun ε karakteriserer værdien af Hurwitz-determinanten.
Mikhailovs kriterium: en cirkel med radius, der ikke er nul med et centrum i punktet O (0; 0) er indskrevet. Marginen bestemmes af radius af denne cirkel. Systemet er ustabilt, når Mikhailov-kriteriet overtrædes, eller når Mikhailov-kurven skærer en cirkel.
Nyquist kriterium : her er det kritiske punkt (-1; j0), derfor bygges en forbudt zone omkring dette punkt, hvis radius vil repræsentere stabilitetsfaktoren.

Sammenlignende karakteristika for stabilitetskriterier

Frekvens Nyquist-kriteriet er primært anvendeligt, når det er vanskeligt at opnå fasekarakteristika eksperimentelt. Imidlertid er beregningen af AFC'er, især frekvenser, vanskeligere end konstruktionen af Mikhailov-kurver. Derudover giver placeringen af AFC ikke et direkte svar på spørgsmålet: er systemet stabilt, det vil sige, at der kræves yderligere forskning om stabiliteten af systemet i åben tilstand.

Mikhailov-kriteriet anvendes på systemer af enhver rækkefølge, i modsætning til Routh-kriteriet. Ved hjælp af frekvens Nyquist-kriteriet og Mikhailov-kriteriet kan de karakteristiske kurver bygges gradvist under hensyntagen til påvirkningen af hvert led, hvilket gør kriterierne klare og løser problemet med at vælge systemparametre fra stabilitetstilstanden.

Se også

Noter

↑ Drej V.Ya. Teori om automatisk kontrol. - 2., revideret. og yderligere .. - Moskva: MPEI, 2004. - S. 3-15. - 400 sek. - ISBN 5-7046-0924-4 .
↑ A. V. Andryushin, V. R. Sabanin, N. I. Smirnov. Ledelse og innovation inden for termisk kraftteknik. - M: MPEI, 2011. - S. 15. - 392 s. — ISBN 978-5-38300539-2

Litteratur

Besekersky V.A. Teori om automatiske kontrolsystemer: lærebog. godtgørelse. - Sankt Petersborg. : Profession, 2007.
Besekersky V.A., Popov E.P. 4. udgave // Teori om automatiske styresystemer. - Sankt Petersborg. : Profession, 2003.
Vasiliev DV, Chuich VG Beregning af automatiske styresystemer. - M. - L .: Mashgiz, 1959. - 390 s.
Goodwin G.K., Grebe S.F., Salgado M.E. Design af styresystemer. - M . : Binom, Basic Knowledge Laboratory, 2004.
Dorf R., Biskop R. Moderne styresystemer. - M . : Binom, Basic Knowledge Laboratory, 2004.
Egorov, AI Osnovy teorii upravleniya: ucheb. godtgørelse. — M .: Fizmatlit, 2007.
Zubov, V. I. Forelæsninger om kontrolteori: lærebog. godtgørelse. - Sankt Petersborg. : Lan, 2009.
Knorring, V. I. Teori, praksis og ledelseskunst: en lærebog for universiteter. - M . : Norma, 2007 (mærket af Den Russiske Føderations Forsvarsministerium).
Miroshnik I.V. Teori om automatisk kontrol. Lineære systemer. - Sankt Petersborg. : Peter, 2005.
Parakhina V.N. Workshop om kontrolteori: lærebog. godtgørelse. - M. : Finans og statistik, 2009 (certificeret af UMO MO RF).
Pervozvansky A.A. Kursus i teorien om automatisk kontrol. — M .: Nauka, 1986.
Popov E.P. Teori om lineære systemer for automatisk regulering og kontrol .. - M . : Nauka, 1989.
Ruzhnikov G.M. Et forelæsningsforløb om TAU.
Senigov P.N. Teori om automatisk kontrol. Forelæsningsnotater.
Makarov I. M., Lokhin V. M., Manko S. V., Romanov M. P. Kunstig intelligens og intelligente kontrolsystemer. - M. : Nauka, 2006. - 333 s. — ISBN 5-02-033782-X .

Ordbøger og encyklopædier	jorden rundt
I bibliografiske kataloger	GND : 4076594-5