Modificeret Z-transform

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. marts 2020; verifikation kræver 1 redigering .

Den modificerede (skiftede) Z-transform er et mere generelt tilfælde af den sædvanlige Z-transform , der indeholder en ideel forsinkelse, der er et multiplum af samplingsfrekvensen . Matematisk skrevet som:

{\displaystyle F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k))

hvor

T - prøveudtagningsperiode
m ("offset parameter") - en del af prøvetagningsperioden $[0,T).$

Den modificerede Z-transform er meget udbredt i kontrolteori, især til mere nøjagtig modellering af systemer med forsinkelser.

Egenskaber

Hvis offset-parameteren m er fast, så er alle egenskaber for den modificerede z-transformation de samme som dem for den normale Z-transform.

Linearitet

Z\left[\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right]=\sum _{k=1}^{n}c_{k} F(z,m).

Timeshift

Z\venstre[u(t-nT)f(t-nT)\right]=z^{-n}F(z,m).

Svækkelse

Z\left[f(t)e^{-a\,t}\right]=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).

Multiplikation af et argument

Z\left[t^{y}f(t)\right]=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m) .

Endelig værdisætning

\lim _{k=\infty }f(kT+m)=\lim _{k=1+}F(z,m).

Tabel over grundlæggende transformationer

f(t)	F(z, m)
1 (t)	${\frac {z}{z-1}}$
t	${\frac {zmT}{z-1}}+{\frac {zT}{(z-1)^{2}}}$
e -at	${\displaystyle {\frac {ze^{-amT}}{ze^{-aT))))$
1-e- kl	${\frac {z}{z-1}}-{\frac {ze^{-amT}}{ze^{-aT}}}$
synd ωt	${\frac {z^{2}\sin {(m\omega T)}+z\sin {[(1-m)\omega T]}}{z^{2}-2z\cos { \omega T}+1}}$

Eksempel

Lad originalen konvertere . Derefter: $f(t)=\cos(\omega t)$

F(z,m)=Z\venstre[\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right]

F(z,m)=Z\venstre[\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right]

F(z,m)=\cos(\omega m)Z\venstre[\cos(\omega kT)\right]-\sin(\omega m)Z\venstre[\sin(\omega kT) \ret]

F(z,m)=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\ omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}

F(z,m)={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (Tm))}{z^{2}-2z\cos(\ omega T)+1}}.

Hvis , falder sammen med Z-transformationen: $m=0$ $F(z,m)$

F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1))

Digital signalbehandling
Teori	Signal diskret signal Kotelnikovs teorem Teori om statistiske skøn Signaldetektionsteori
Underafsnit	Digital lydsignalbehandling Teori om automatisk kontrol Digital billedbehandling Talebehandling Statistisk signalbehandling
Teknikker	Diskret Fourier Transform (DFT) Time Discrete Fourier Transform (DTFT) Impulsresponsinvarians Bilineær transformation Konsistent Z-transformation Modificeret Z-transform
Prøveudtagning	Supersampling subsampling Reducer opløsning Forøgelse af opløsning Aliasing filter Sampling frekvens Nyquist frekvens