Baker-Hegner-Stark-sætning

Baker-Hegner-Stark-sætningen [1]  er et udsagn i algebraisk talteori om præcis hvilke kvadratiske komplekse talfelter, der tillader en unik nedbrydning i dens ring af heltal . Sætningen løser et særligt tilfælde af det Gaussiske problem med antallet af klasser , hvor det er nødvendigt at bestemme antallet af imaginære kvadratiske felter, der har et givet fast antal klasser .

Det algebraiske talfelt (hvor  er et heltal , der ikke er et kvadrat) er en endelig forlængelse af feltet med rationelle tal af orden 2, kaldet en kvadratisk forlængelse. Antallet af feltklasser  er antallet af ækvivalensklasser af idealerne i feltets heltalring , hvor to idealer og er ækvivalente, hvis og kun hvis der eksisterer hovedidealer ) og , sådan at . Så er feltets heltalring et principielt ideelt domæne (og dermed et domæne med en unik dekomponering ), hvis og kun hvis antallet af feltklasser er lig med 1. Baker-Hegner-Stark-sætningen kan således formuleres som følger: hvis , så er antallet af feltklasser lig med 1 hvis og kun hvis:

.

Disse tal er kendt som Hegner-numre .

Ved at erstatte -1 med -4 og -2 med -8 (hvilket ikke ændrer marginen), kan listen skrives som følger [2] :

,

hvor fortolkes som diskriminanten (af enten et algebraisk felt eller en elliptisk kurve med kompleks multiplikation ). Dette er en mere standard tilgang, da det er den grundlæggende diskriminerende .

Historie

Hypotesen blev formuleret af Gauss i afsnit 303 i Arithmetic Investigations . Det første bevis blev givet af Kurt Hegner i 1952 , men det indeholdt en række tekniske fejl og blev ikke accepteret af matematikere, før Harold Stark gav et fuldstændigt strengt bevis i 1967, som havde meget til fælles med Hegners arbejde [3] . Hegner "døde før nogen rigtig forstod, hvad han havde gjort" [4] . Andre papirer gav lignende beviser ved hjælp af modulære funktioner, men Stark koncentrerede sig udelukkende om at udfylde Hegners huller og afsluttede det endelig i 1969 [5] .

Alan Baker gav noget tidligere ( 1966 ) et helt andet bevis for Starks arbejde (mere præcist reducerede Baker resultatet til et begrænset antal beregninger, selvom Stark allerede havde udført disse beregninger i 1963/4-afhandlingerne) og modtog Fields-prisen for hans metoder. Stark påpegede senere, at Bakers bevis ved brug af lineære former i 3 logaritmer kunne reduceres til 2 logaritmer, hvis resultatet i 1949 havde været kendt af Gelfond og Linnik [6] .

I et papir fra 1969 citerede Stark [5] også en tekst fra Heinrich Martin Weber fra 1895 og bemærkede, at hvis Weber havde "bemærket, at reduktionsevnen [af nogle ligninger] fører til en diofantisk ligning , kunne klassetalsproblemerne have været løst efter 60 år. siden." Brian Birch bemærkede, at Webers bog, og faktisk hele feltet af modulære funktioner, faldt ud af betragtning i et halvt århundrede: "Desværre var der i 1952 ingen tilbage, der var tilstrækkelig ekspert i Webers algebra til at værdsætte Hegners præstation" [7] .

Deuring, Siegel og Choula gav et lidt anderledes bevis baseret på modulære funktioner lige efter Stark [8] . Andre versioner i denne genre er dukket op gennem årene. For eksempel gav Monsour Kenku i 1985 et bevis ved hjælp af Klein-kvartikken (dog også ved hjælp af modulære funktioner) [9] . Så i 1999 gav Yiming Chen en anden version af beviset ved hjælp af modulære funktioner (ifølge Siegels skitse) [10] .

Gross og Zagirs (1986) [11] arbejde i kombination med Goldfelds (1976) giver også et alternativt bevis [4] .

Ægte tilfælde

Det vides ikke, om der er uendeligt mange , hvor antallet af klasser har 1. Beregningsresultater viser, at der er mange sådanne felter; en liste over numeriske felter vedligeholdes med antallet af klasser 1 .

Noter

  1. ↑ Elkies ( Elkies 1999 ) omtaler sætningen som Hegner-Stark-sætningen (som havende en fælles oprindelse med Stark-Hegner-punkterne på Darmons artikelside ( Darmon 2004 )), men omtalen uden Bakers navn er atypisk. Chowla ( 1970 ) føjede ugrundet Duering og Siegel til titlen på sit papir.
  2. ↑ Elkies, 1999 , s. 93.
  3. ↑ Stark, 2011 , s. 42.
  4. ↑ 12 Goldfeld , 1985 .
  5. ↑ 12 Stark, 1969a .
  6. ↑ Stark, 1969b .
  7. ↑ Birch, 2004 .
  8. ↑ Chowla, 1970 .
  9. ↑ Kenku, 1985 .
  10. ↑ Chen, 1999 .
  11. ↑ Gross, Zagier, 1986 .

Litteratur